Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  satfdmfmla Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem satfdmfmla 34689
Description: The domain of the satisfaction predicate as function over wff codes in any model 𝑀 and any binary relation 𝐸 on 𝑀 for a natural number 𝑁 is the set of valid Godel formulas of height 𝑁. (Contributed by AV, 13-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
satfdmfmla ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ π‘Š ∧ 𝑁 ∈ Ο‰) β†’ dom ((𝑀 Sat 𝐸)β€˜π‘) = (Fmlaβ€˜π‘))

Proof of Theorem satfdmfmla
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5306 . . . . . . 7 βˆ… ∈ V
21, 1pm3.2i 469 . . . . . 6 (βˆ… ∈ V ∧ βˆ… ∈ V)
32jctr 523 . . . . 5 ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ π‘Š) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ π‘Š) ∧ (βˆ… ∈ V ∧ βˆ… ∈ V)))
433adant3 1130 . . . 4 ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ π‘Š ∧ 𝑁 ∈ Ο‰) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ π‘Š) ∧ (βˆ… ∈ V ∧ βˆ… ∈ V)))
5 satfdm 34658 . . . 4 (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ π‘Š) ∧ (βˆ… ∈ V ∧ βˆ… ∈ V)) β†’ βˆ€π‘› ∈ Ο‰ dom ((𝑀 Sat 𝐸)β€˜π‘›) = dom ((βˆ… Sat βˆ…)β€˜π‘›))
64, 5syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ π‘Š ∧ 𝑁 ∈ Ο‰) β†’ βˆ€π‘› ∈ Ο‰ dom ((𝑀 Sat 𝐸)β€˜π‘›) = dom ((βˆ… Sat βˆ…)β€˜π‘›))
7 fveq2 6890 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((𝑀 Sat 𝐸)β€˜π‘›) = ((𝑀 Sat 𝐸)β€˜π‘))
87dmeqd 5904 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 β†’ dom ((𝑀 Sat 𝐸)β€˜π‘›) = dom ((𝑀 Sat 𝐸)β€˜π‘))
9 fveq2 6890 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((βˆ… Sat βˆ…)β€˜π‘›) = ((βˆ… Sat βˆ…)β€˜π‘))
109dmeqd 5904 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 β†’ dom ((βˆ… Sat βˆ…)β€˜π‘›) = dom ((βˆ… Sat βˆ…)β€˜π‘))
118, 10eqeq12d 2746 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 β†’ (dom ((𝑀 Sat 𝐸)β€˜π‘›) = dom ((βˆ… Sat βˆ…)β€˜π‘›) ↔ dom ((𝑀 Sat 𝐸)β€˜π‘) = dom ((βˆ… Sat βˆ…)β€˜π‘)))
1211rspcv 3607 . . . 4 (𝑁 ∈ Ο‰ β†’ (βˆ€π‘› ∈ Ο‰ dom ((𝑀 Sat 𝐸)β€˜π‘›) = dom ((βˆ… Sat βˆ…)β€˜π‘›) β†’ dom ((𝑀 Sat 𝐸)β€˜π‘) = dom ((βˆ… Sat βˆ…)β€˜π‘)))
13123ad2ant3 1133 . . 3 ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ π‘Š ∧ 𝑁 ∈ Ο‰) β†’ (βˆ€π‘› ∈ Ο‰ dom ((𝑀 Sat 𝐸)β€˜π‘›) = dom ((βˆ… Sat βˆ…)β€˜π‘›) β†’ dom ((𝑀 Sat 𝐸)β€˜π‘) = dom ((βˆ… Sat βˆ…)β€˜π‘)))
146, 13mpd 15 . 2 ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ π‘Š ∧ 𝑁 ∈ Ο‰) β†’ dom ((𝑀 Sat 𝐸)β€˜π‘) = dom ((βˆ… Sat βˆ…)β€˜π‘))
15 elelsuc 6436 . . . 4 (𝑁 ∈ Ο‰ β†’ 𝑁 ∈ suc Ο‰)
16153ad2ant3 1133 . . 3 ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ π‘Š ∧ 𝑁 ∈ Ο‰) β†’ 𝑁 ∈ suc Ο‰)
17 fmlafv 34669 . . 3 (𝑁 ∈ suc Ο‰ β†’ (Fmlaβ€˜π‘) = dom ((βˆ… Sat βˆ…)β€˜π‘))
1816, 17syl 17 . 2 ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ π‘Š ∧ 𝑁 ∈ Ο‰) β†’ (Fmlaβ€˜π‘) = dom ((βˆ… Sat βˆ…)β€˜π‘))
1914, 18eqtr4d 2773 1 ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ π‘Š ∧ 𝑁 ∈ Ο‰) β†’ dom ((𝑀 Sat 𝐸)β€˜π‘) = (Fmlaβ€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472  βˆ…c0 4321  dom cdm 5675  suc csuc 6365  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Ο‰com 7857   Sat csat 34625  Fmlacfmla 34626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-goel 34629  df-goal 34631  df-sat 34632  df-fmla 34634
This theorem is referenced by:  satffunlem1lem2  34692  satffunlem2lem2  34695  satff  34699  satefvfmla0  34707  satefvfmla1  34714
  Copyright terms: Public domain W3C validator