Theorem fprlem2 8286

Description: Lemma for well-founded recursion with a partial order. Establish a subset relation. (Contributed by Scott Fenton, 11-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fprlem2	⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑅,𝑧   𝑤,𝐴,𝑧

Proof of Theorem fprlem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3461	. . . . 5 ⊢ 𝑤 ∈ V
2	1	elpred 6309	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ V → (𝑤 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ↔ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)))
3	2	elv 3462	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ↔ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧))
4		simprl 782	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
5		simpll2 1230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) → 𝑅 Po 𝐴)
6	5	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → 𝑅 Po 𝐴)
7		simprl 782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) → 𝑤 ∈ 𝐴)
8	7	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → 𝑤 ∈ 𝐴)
9		simpllr 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
10	4, 8, 9	3jca 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
11	6, 10	jca 520	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → (𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)))
12		simprr 784	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → 𝑥𝑅𝑤)
13		simplrr 789	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → 𝑤𝑅𝑧)
14	12, 13	jca 520	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → (𝑥𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑅𝑧))
15		potr 5573	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑥𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
16	11, 14, 15	sylc 66	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → 𝑥𝑅𝑧)
17	4, 16	jca 520	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧))
18	17	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)))
19		vex 3461	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
20	19	elpred 6309	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ V → (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)))
21	20	elv 3462	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤))
22	19	elpred 6309	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ V → (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)))
23	22	elv 3462	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧))
24	18, 21, 23	3imtr4g 299	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) → (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) → 𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))
25	24	ssrdv 3945	. . 3 ⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
26	3, 25	sylan2b 605	. 2 ⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
27	26	ralrimiva 3157	1 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5105   Po wpo 5558   Fr wfr 5602   Se wse 5603  Predcpred 6291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5106  df-opab 5168  df-po 5560  df-xp 5658  df-cnv 5660  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292

This theorem is referenced by:  fpr1  8288