Theorem fprlem2 8282

Description: Lemma for well-founded recursion with a partial order. Establish a subset relation. (Contributed by Scott Fenton, 11-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fprlem2	⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑅,𝑧   𝑤,𝐴,𝑧

Proof of Theorem fprlem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3458	. . . . 5 ⊢ 𝑤 ∈ V
2	1	elpred 6305	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ V → (𝑤 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ↔ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)))
3	2	elv 3459	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ↔ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧))
4		simprl 780	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
5		simpll2 1227	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) → 𝑅 Po 𝐴)
6	5	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → 𝑅 Po 𝐴)
7		simprl 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) → 𝑤 ∈ 𝐴)
8	7	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → 𝑤 ∈ 𝐴)
9		simpllr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
10	4, 8, 9	3jca 1141	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
11	6, 10	jca 519	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → (𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)))
12		simprr 782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → 𝑥𝑅𝑤)
13		simplrr 787	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → 𝑤𝑅𝑧)
14	12, 13	jca 519	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → (𝑥𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑅𝑧))
15		potr 5568	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑥𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
16	11, 14, 15	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → 𝑥𝑅𝑧)
17	4, 16	jca 519	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧))
18	17	ex 416	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)))
19		vex 3458	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
20	19	elpred 6305	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ V → (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)))
21	20	elv 3459	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤))
22	19	elpred 6305	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ V → (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)))
23	22	elv 3459	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧))
24	18, 21, 23	3imtr4g 298	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) → (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) → 𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))
25	24	ssrdv 3942	. . 3 ⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
26	3, 25	sylan2b 603	. 2 ⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
27	26	ralrimiva 3154	1 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5100   Po wpo 5553   Fr wfr 5597   Se wse 5598  Predcpred 6287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-sb 2091  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-po 5555  df-xp 5653  df-cnv 5655  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288

This theorem is referenced by:  fpr1  8284