MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprlem2 8325
Description: Lemma for well-founded recursion with a partial order. Establish a subset relation. (Contributed by Scott Fenton, 11-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
fprlem2 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → ∀𝑤 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑅,𝑧   𝑤,𝐴,𝑧

Proof of Theorem fprlem2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3482 . . . . 5 𝑤 ∈ V
21elpred 6340 . . . 4 (𝑧 ∈ V → (𝑤 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ↔ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)))
32elv 3483 . . 3 (𝑤 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ↔ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧))
4 simprl 771 . . . . . . 7 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)) → 𝑥𝐴)
5 simpll2 1212 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) → 𝑅 Po 𝐴)
65adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)) → 𝑅 Po 𝐴)
7 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) → 𝑤𝐴)
87adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)) → 𝑤𝐴)
9 simpllr 776 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)) → 𝑧𝐴)
104, 8, 93jca 1127 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)) → (𝑥𝐴𝑤𝐴𝑧𝐴))
116, 10jca 511 . . . . . . . 8 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)) → (𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴𝑧𝐴)))
12 simprr 773 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)) → 𝑥𝑅𝑤)
13 simplrr 778 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)) → 𝑤𝑅𝑧)
1412, 13jca 511 . . . . . . . 8 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)) → (𝑥𝑅𝑤𝑤𝑅𝑧))
15 potr 5610 . . . . . . . 8 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴𝑧𝐴)) → ((𝑥𝑅𝑤𝑤𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
1611, 14, 15sylc 65 . . . . . . 7 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)) → 𝑥𝑅𝑧)
174, 16jca 511 . . . . . 6 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)) → (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧))
1817ex 412 . . . . 5 ((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) → ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤) → (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)))
19 vex 3482 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
2019elpred 6340 . . . . . 6 (𝑤 ∈ V → (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)))
2120elv 3483 . . . . 5 (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤))
2219elpred 6340 . . . . . 6 (𝑧 ∈ V → (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)))
2322elv 3483 . . . . 5 (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧))
2418, 21, 233imtr4g 296 . . . 4 ((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) → (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) → 𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))
2524ssrdv 4001 . . 3 ((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
263, 25sylan2b 594 . 2 ((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
2726ralrimiva 3144 1 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → ∀𝑤 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  wss 3963   class class class wbr 5148   Po wpo 5595   Fr wfr 5638   Se wse 5639  Predcpred 6322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-po 5597  df-xp 5695  df-cnv 5697  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323
This theorem is referenced by:  fpr1  8327
  Copyright terms: Public domain W3C validator