Theorem fprlem2 8327

Description: Lemma for well-founded recursion with a partial order. Establish a subset relation. (Contributed by Scott Fenton, 11-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fprlem2	⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑅,𝑧   𝑤,𝐴,𝑧

Proof of Theorem fprlem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3454	. . . . 5 ⊢ 𝑤 ∈ V
2	1	elpred 6324	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ V → (𝑤 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ↔ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)))
3	2	elv 3455	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ↔ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧))
4		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
5		simpll2 1232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) → 𝑅 Po 𝐴)
6	5	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → 𝑅 Po 𝐴)
7		simprl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) → 𝑤 ∈ 𝐴)
8	7	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → 𝑤 ∈ 𝐴)
9		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
10	4, 8, 9	3jca 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
11	6, 10	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → (𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)))
12		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → 𝑥𝑅𝑤)
13		simplrr 790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → 𝑤𝑅𝑧)
14	12, 13	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → (𝑥𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑅𝑧))
15		potr 5572	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑥𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
16	11, 14, 15	sylc 66	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → 𝑥𝑅𝑧)
17	4, 16	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧))
18	17	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)))
19		vex 3454	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
20	19	elpred 6324	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ V → (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)))
21	20	elv 3455	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤))
22	19	elpred 6324	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ V → (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)))
23	22	elv 3455	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧))
24	18, 21, 23	3imtr4g 299	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) → (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) → 𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))
25	24	ssrdv 3915	. . 3 ⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
26	3, 25	sylan2b 606	. 2 ⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
27	26	ralrimiva 3154	1 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896   class class class wbr 5102   Po wpo 5557   Fr wfr 5601   Se wse 5602  Predcpred 6306

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-po 5559  df-xp 5657  df-cnv 5659  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307

This theorem is used by:  fpr1  8329