MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprlem2 8236
Description: Lemma for well-founded recursion with a partial order. Establish a subset relation. (Contributed by Scott Fenton, 11-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
fprlem2 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → ∀𝑤 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑅,𝑧   𝑤,𝐴,𝑧

Proof of Theorem fprlem2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3451 . . . . 5 𝑤 ∈ V
21elpred 6274 . . . 4 (𝑧 ∈ V → (𝑤 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ↔ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)))
32elv 3453 . . 3 (𝑤 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ↔ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧))
4 simprl 770 . . . . . . 7 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)) → 𝑥𝐴)
5 simpll2 1214 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) → 𝑅 Po 𝐴)
65adantr 482 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)) → 𝑅 Po 𝐴)
7 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) → 𝑤𝐴)
87adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)) → 𝑤𝐴)
9 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)) → 𝑧𝐴)
104, 8, 93jca 1129 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)) → (𝑥𝐴𝑤𝐴𝑧𝐴))
116, 10jca 513 . . . . . . . 8 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)) → (𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴𝑧𝐴)))
12 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)) → 𝑥𝑅𝑤)
13 simplrr 777 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)) → 𝑤𝑅𝑧)
1412, 13jca 513 . . . . . . . 8 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)) → (𝑥𝑅𝑤𝑤𝑅𝑧))
15 potr 5562 . . . . . . . 8 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴𝑧𝐴)) → ((𝑥𝑅𝑤𝑤𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
1611, 14, 15sylc 65 . . . . . . 7 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)) → 𝑥𝑅𝑧)
174, 16jca 513 . . . . . 6 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)) → (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧))
1817ex 414 . . . . 5 ((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) → ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤) → (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)))
19 vex 3451 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
2019elpred 6274 . . . . . 6 (𝑤 ∈ V → (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)))
2120elv 3453 . . . . 5 (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤))
2219elpred 6274 . . . . . 6 (𝑧 ∈ V → (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)))
2322elv 3453 . . . . 5 (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧))
2418, 21, 233imtr4g 296 . . . 4 ((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) → (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) → 𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))
2524ssrdv 3954 . . 3 ((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
263, 25sylan2b 595 . 2 ((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
2726ralrimiva 3140 1 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → ∀𝑤 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088  wcel 2107  wral 3061  Vcvv 3447  wss 3914   class class class wbr 5109   Po wpo 5547   Fr wfr 5589   Se wse 5590  Predcpred 6256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-br 5110  df-opab 5172  df-po 5549  df-xp 5643  df-cnv 5645  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257
This theorem is referenced by:  fpr1  8238
  Copyright terms: Public domain W3C validator