MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprlem2 8286
Description: Lemma for well-founded recursion with a partial order. Establish a subset relation. (Contributed by Scott Fenton, 11-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
fprlem2 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → ∀𝑤 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑅,𝑧   𝑤,𝐴,𝑧

Proof of Theorem fprlem2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3479 . . . . 5 𝑤 ∈ V
21elpred 6318 . . . 4 (𝑧 ∈ V → (𝑤 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ↔ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)))
32elv 3481 . . 3 (𝑤 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ↔ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧))
4 simprl 770 . . . . . . 7 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)) → 𝑥𝐴)
5 simpll2 1214 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) → 𝑅 Po 𝐴)
65adantr 482 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)) → 𝑅 Po 𝐴)
7 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) → 𝑤𝐴)
87adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)) → 𝑤𝐴)
9 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)) → 𝑧𝐴)
104, 8, 93jca 1129 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)) → (𝑥𝐴𝑤𝐴𝑧𝐴))
116, 10jca 513 . . . . . . . 8 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)) → (𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴𝑧𝐴)))
12 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)) → 𝑥𝑅𝑤)
13 simplrr 777 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)) → 𝑤𝑅𝑧)
1412, 13jca 513 . . . . . . . 8 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)) → (𝑥𝑅𝑤𝑤𝑅𝑧))
15 potr 5602 . . . . . . . 8 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴𝑧𝐴)) → ((𝑥𝑅𝑤𝑤𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
1611, 14, 15sylc 65 . . . . . . 7 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)) → 𝑥𝑅𝑧)
174, 16jca 513 . . . . . 6 (((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)) → (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧))
1817ex 414 . . . . 5 ((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) → ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤) → (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)))
19 vex 3479 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
2019elpred 6318 . . . . . 6 (𝑤 ∈ V → (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤)))
2120elv 3481 . . . . 5 (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑤))
2219elpred 6318 . . . . . 6 (𝑧 ∈ V → (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)))
2322elv 3481 . . . . 5 (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧))
2418, 21, 233imtr4g 296 . . . 4 ((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) → (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) → 𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))
2524ssrdv 3989 . . 3 ((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑤𝐴𝑤𝑅𝑧)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
263, 25sylan2b 595 . 2 ((((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
2726ralrimiva 3147 1 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → ∀𝑤 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088  wcel 2107  wral 3062  Vcvv 3475  wss 3949   class class class wbr 5149   Po wpo 5587   Fr wfr 5629   Se wse 5630  Predcpred 6300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-po 5589  df-xp 5683  df-cnv 5685  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301
This theorem is referenced by:  fpr1  8288
  Copyright terms: Public domain W3C validator