| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | vex 3484 | . . . . 5
⊢ 𝑤 ∈ V | 
| 2 | 1 | elpred 6338 | . . . 4
⊢ (𝑧 ∈ V → (𝑤 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ↔ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧))) | 
| 3 | 2 | elv 3485 | . . 3
⊢ (𝑤 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ↔ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) | 
| 4 |  | simprl 771 | . . . . . . 7
⊢
(((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → 𝑥 ∈ 𝐴) | 
| 5 |  | simpll2 1214 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) → 𝑅 Po 𝐴) | 
| 6 | 5 | adantr 480 | . . . . . . . . 9
⊢
(((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → 𝑅 Po 𝐴) | 
| 7 |  | simprl 771 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) → 𝑤 ∈ 𝐴) | 
| 8 | 7 | adantr 480 | . . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → 𝑤 ∈ 𝐴) | 
| 9 |  | simpllr 776 | . . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → 𝑧 ∈ 𝐴) | 
| 10 | 4, 8, 9 | 3jca 1129 | . . . . . . . . 9
⊢
(((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) | 
| 11 | 6, 10 | jca 511 | . . . . . . . 8
⊢
(((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → (𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))) | 
| 12 |  | simprr 773 | . . . . . . . . 9
⊢
(((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → 𝑥𝑅𝑤) | 
| 13 |  | simplrr 778 | . . . . . . . . 9
⊢
(((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → 𝑤𝑅𝑧) | 
| 14 | 12, 13 | jca 511 | . . . . . . . 8
⊢
(((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → (𝑥𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) | 
| 15 |  | potr 5605 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑥𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) | 
| 16 | 11, 14, 15 | sylc 65 | . . . . . . 7
⊢
(((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → 𝑥𝑅𝑧) | 
| 17 | 4, 16 | jca 511 | . . . . . 6
⊢
(((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) | 
| 18 | 17 | ex 412 | . . . . 5
⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧))) | 
| 19 |  | vex 3484 | . . . . . . 7
⊢ 𝑥 ∈ V | 
| 20 | 19 | elpred 6338 | . . . . . 6
⊢ (𝑤 ∈ V → (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤))) | 
| 21 | 20 | elv 3485 | . . . . 5
⊢ (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑤)) | 
| 22 | 19 | elpred 6338 | . . . . . 6
⊢ (𝑧 ∈ V → (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧))) | 
| 23 | 22 | elv 3485 | . . . . 5
⊢ (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) | 
| 24 | 18, 21, 23 | 3imtr4g 296 | . . . 4
⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) → (𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) → 𝑥 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))) | 
| 25 | 24 | ssrdv 3989 | . . 3
⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤𝑅𝑧)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)) | 
| 26 | 3, 25 | sylan2b 594 | . 2
⊢ ((((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)) | 
| 27 | 26 | ralrimiva 3146 | 1
⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑤) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)) |