Theorem fpr1 8327

Description: Law of well-founded recursion over a partial order, part one. Establish the functionality and domain of the recursive function generator. Note that by requiring a partial order we can avoid using the axiom of infinity. (Contributed by Scott Fenton, 11-Sep-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
fprr.1	⊢ 𝐹 = frecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
fpr1	⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Fn 𝐴)

Proof of Theorem fpr1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑢 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∣ ∃𝑥(𝑓 Fn 𝑥 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑦𝐺(𝑓 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))} = {𝑓 ∣ ∃𝑥(𝑓 Fn 𝑥 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑦𝐺(𝑓 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))}
2	1	frrlem1 8310	. . 3 ⊢ {𝑓 ∣ ∃𝑥(𝑓 Fn 𝑥 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑦𝐺(𝑓 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))} = {𝑎 ∣ ∃𝑏(𝑎 Fn 𝑏 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐) ⊆ 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑏 (𝑎‘𝑐) = (𝑐𝐺(𝑎 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑐))))}
3		fprr.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = frecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)
4	2, 3	fprlem1 8324	. . 3 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝑔 ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑥(𝑓 Fn 𝑥 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑦𝐺(𝑓 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))} ∧ ℎ ∈ {𝑓 ∣ ∃𝑥(𝑓 Fn 𝑥 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑦𝐺(𝑓 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))})) → ((𝑏𝑔𝑢 ∧ 𝑏ℎ𝑣) → 𝑢 = 𝑣))
5	2, 3, 4	frrlem9 8318	. 2 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → Fun 𝐹)
6		eqid 2735	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)) ∪ {⟨𝑧, (𝑧𝐺(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))⟩}) = ((𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)) ∪ {⟨𝑧, (𝑧𝐺(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧)))⟩})
7		simp1 1135	. . 3 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Fr 𝐴)
8		ssidd 4019	. . 3 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
9		fprlem2 8325	. . 3 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑧)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧))
10		setlikespec 6348	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ∈ V)
11	10	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Se 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ∈ V)
12	11	3ad2antl3 1186	. . 3 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ∈ V)
13		predss 6331	. . . 4 ⊢ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ 𝐴
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑧) ⊆ 𝐴)
15		difssd 4147	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐴 ∖ dom 𝐹) ≠ ∅) → (𝐴 ∖ dom 𝐹) ⊆ 𝐴)
16		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐴 ∖ dom 𝐹) ≠ ∅) → (𝐴 ∖ dom 𝐹) ≠ ∅)
17	15, 16	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐴 ∖ dom 𝐹) ≠ ∅) → ((𝐴 ∖ dom 𝐹) ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ dom 𝐹) ≠ ∅))
18		frpomin2 6364	. . . 4 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ ((𝐴 ∖ dom 𝐹) ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ dom 𝐹) ≠ ∅)) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ dom 𝐹)Pred(𝑅, (𝐴 ∖ dom 𝐹), 𝑧) = ∅)
19	17, 18	syldan 591	. . 3 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐴 ∖ dom 𝐹) ≠ ∅) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ dom 𝐹)Pred(𝑅, (𝐴 ∖ dom 𝐹), 𝑧) = ∅)
20	2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 19	frrlem14 8323	. 2 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → dom 𝐹 = 𝐴)
21		df-fn 6566	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 ↔ (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = 𝐴))
22	5, 20, 21	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Fn 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106  {cab 2712   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  Vcvv 3478   ∖ cdif 3960   ∪ cun 3961   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  {csn 4631  ⟨cop 4637   Po wpo 5595   Fr wfr 5638   Se wse 5639  dom cdm 5689   ↾ cres 5691  Predcpred 6322  Fun wfun 6557   Fn wfn 6558  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  frecscfrecs 8304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-fr 5641  df-se 5642  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-frecs 8305

This theorem is referenced by:  fpr2  8328  fpr3  8329  wfr1  8374  on2recsfn  8704  norecfn  27994  norec2fn  28004