Theorem frpoins3g 6314

Description: Well-Founded Induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 19-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
frpoins3g.1	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑥)𝜓 → 𝜑))
frpoins3g.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
frpoins3g.3	⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
frpoins3g	⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem frpoins3g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frpoins3g.1	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑥)𝜓 → 𝜑))
2		frpoins3g.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	1, 2	frpoins2g 6313	. 2 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
4		frpoins3g.3	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))
5	4	rspccva 3577	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜒)
6	3, 5	sylan 581	1 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜒)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   Po wpo 5540   Fr wfr 5584   Se wse 5585  Predcpred 6268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-pr 5381

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-po 5542  df-fr 5587  df-se 5588  df-xp 5640  df-cnv 5642  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269

This theorem is referenced by:  noinds  27958