MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frpoins3g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frpoins3g 6301
Description: Well-Founded Induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 19-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
frpoins3g.1 (𝑥𝐴 → (∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑥)𝜓𝜑))
frpoins3g.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
frpoins3g.3 (𝑥 = 𝐵 → (𝜑𝜒))
Assertion
Ref Expression
frpoins3g (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵𝐴) → 𝜒)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑅,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem frpoins3g
StepHypRef Expression
1 frpoins3g.1 . . 3 (𝑥𝐴 → (∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑥)𝜓𝜑))
2 frpoins3g.2 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
31, 2frpoins2g 6300 . 2 ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑥𝐴 𝜑)
4 frpoins3g.3 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → (𝜑𝜒))
54rspccva 3579 . 2 ((∀𝑥𝐴 𝜑𝐵𝐴) → 𝜒)
63, 5sylan 581 1 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵𝐴) → 𝜒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061   Po wpo 5544   Fr wfr 5586   Se wse 5587  Predcpred 6253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5107  df-opab 5169  df-po 5546  df-fr 5589  df-se 5590  df-xp 5640  df-cnv 5642  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254
This theorem is referenced by:  noinds  27279
  Copyright terms: Public domain W3C validator