Theorem frpoins3g 6333

Description: Well-Founded Induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 19-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
frpoins3g.1	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑥)𝜓 → 𝜑))
frpoins3g.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
frpoins3g.3	⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
frpoins3g	⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem frpoins3g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frpoins3g.1	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑥)𝜓 → 𝜑))
2		frpoins3g.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	1, 2	frpoins2g 6332	. 2 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
4		frpoins3g.3	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))
5	4	rspccva 3581	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜒)
6	3, 5	sylan 589	1 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜒)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∀wral 3077   Po wpo 5554   Fr wfr 5598   Se wse 5599  Predcpred 6287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-pr 5391

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-br 5102  df-opab 5164  df-po 5556  df-fr 5601  df-se 5602  df-xp 5654  df-cnv 5656  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288

This theorem is referenced by:  noinds  28045