Theorem frpoins3g 6369

Description: Well-Founded Induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 19-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
frpoins3g.1	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑥)𝜓 → 𝜑))
frpoins3g.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
frpoins3g.3	⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
frpoins3g	⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem frpoins3g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frpoins3g.1	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑥)𝜓 → 𝜑))
2		frpoins3g.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	1, 2	frpoins2g 6368	. 2 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
4		frpoins3g.3	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))
5	4	rspccva 3621	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜒)
6	3, 5	sylan 580	1 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜒)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   Po wpo 5595   Fr wfr 5638   Se wse 5639  Predcpred 6322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-po 5597  df-fr 5641  df-se 5642  df-xp 5695  df-cnv 5697  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323

This theorem is referenced by:  noinds  27993