Theorem frpoins3g 6338

Description: Well-Founded Induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 19-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
frpoins3g.1	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑥)𝜓 → 𝜑))
frpoins3g.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
frpoins3g.3	⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
frpoins3g	⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem frpoins3g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frpoins3g.1	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑥)𝜓 → 𝜑))
2		frpoins3g.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	1, 2	frpoins2g 6337	. 2 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
4		frpoins3g.3	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))
5	4	rspccva 3575	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜒)
6	3, 5	sylan 592	1 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜒)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   Po wpo 5553   Fr wfr 5597   Se wse 5598  Predcpred 6292

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-br 5103  df-opab 5167  df-po 5555  df-fr 5600  df-se 5601  df-xp 5653  df-cnv 5655  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293

This theorem is used by:  noinds  28264