Theorem frpoins3g 6234

Description: Well-Founded Induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 19-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
frpoins3g.1	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑥)𝜓 → 𝜑))
frpoins3g.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
frpoins3g.3	⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
frpoins3g	⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem frpoins3g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frpoins3g.1	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑥)𝜓 → 𝜑))
2		frpoins3g.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	1, 2	frpoins2g 6233	. 2 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
4		frpoins3g.3	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))
5	4	rspccva 3551	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜒)
6	3, 5	sylan 579	1 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝜒)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   Po wpo 5492   Fr wfr 5532   Se wse 5533  Predcpred 6190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-po 5494  df-fr 5535  df-se 5536  df-xp 5586  df-cnv 5588  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191

This theorem is referenced by:  noinds  34029