Theorem frpoins2g 6302

Description: Well-Founded Induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 24-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frpoins2g.1	⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))
frpoins2g.3	⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
frpoins2g	⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑧   𝑦,𝑅,𝑧   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝜓(𝑧)

Proof of Theorem frpoins2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frpoins2g.1	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))
2		nfv 1916	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦𝜓
3		frpoins2g.3	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	1, 2, 3	frpoins2fg 6301	1 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114  ∀wral 3050   Po wpo 5529   Fr wfr 5573   Se wse 5574  Predcpred 6257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pr 5376

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-br 5098  df-opab 5160  df-po 5531  df-fr 5576  df-se 5577  df-xp 5629  df-cnv 5631  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258

This theorem is referenced by:  frpoins3g  6303  frpoins3xpg  8082  frpoins3xp3g  8083  fpr3g  8227