Theorem tz6.26 6295

Description: All nonempty subclasses of a class having a well-ordered set-like relation have minimal elements for that relation. Proposition 6.26 of [TakeutiZaring] p. 31. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jan-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.) (Proof shortened by Scott Fenton, 17-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
tz6.26	⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝑅

Proof of Theorem tz6.26

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wefr 5609	. . . 4 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Fr 𝐴)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Fr 𝐴)
3		weso 5610	. . . . 5 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴)
4		sopo 5546	. . . . 5 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Po 𝐴)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Po 𝐴)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Po 𝐴)
7		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Se 𝐴)
8	2, 6, 7	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴))
9		frpomin2 6289	. 2 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)
10	8, 9	sylan 580	1 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284   Po wpo 5525   Or wor 5526   Fr wfr 5569   Se wse 5570   We wwe 5571  Predcpred 6248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-br 5093  df-opab 5155  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-cnv 5627  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249

This theorem is referenced by:  tz6.26i  6296  wzel  35802  wsuclem  35803