Theorem tz6.26 6307

Description: All nonempty subclasses of a class having a well-ordered set-like relation have minimal elements for that relation. Proposition 6.26 of [TakeutiZaring] p. 31. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jan-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.) (Proof shortened by Scott Fenton, 17-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
tz6.26	⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝑅

Proof of Theorem tz6.26

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wefr 5616	. . . 4 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Fr 𝐴)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Fr 𝐴)
3		weso 5617	. . . . 5 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴)
4		sopo 5553	. . . . 5 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → 𝑅 Po 𝐴)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Po 𝐴)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Po 𝐴)
7		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Se 𝐴)
8	2, 6, 7	3jca 1129	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴))
9		frpomin2 6301	. 2 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)
10	8, 9	sylan 581	1 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274   Po wpo 5532   Or wor 5533   Fr wfr 5576   Se wse 5577   We wwe 5578  Predcpred 6260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-cnv 5634  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261

This theorem is referenced by:  tz6.26i  6308  wzel  36024  wsuclem  36025