Theorem hlnv 31500

Description: Every complex Hilbert space is a normed complex vector space. (Contributed by NM, 17-Mar-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hlnv	⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)

Proof of Theorem hlnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlobn 31497	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ CBan)
2		bnnv 31475	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CBan → 𝑈 ∈ NrmCVec)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  NrmCVeccnv 31193  CBanccbn 31471  CHil_OLDchlo 31494

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-iota 6496  df-fv 6549  df-cbn 31472  df-hlo 31495

This theorem is used by:  hlnvi  31501  hlvc  31502  hladdf  31508  hlcom  31509  hlass  31510  hl0cl  31511  hladdid  31512  hlmulf  31513  hlmulid  31514  hlmulass  31515  hldi  31516  hldir  31517  hlmul0  31518  hlipf  31519  hlipcj  31520  hlipgt0  31523