Theorem hlnv 31372

Description: Every complex Hilbert space is a normed complex vector space. (Contributed by NM, 17-Mar-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hlnv	⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)

Proof of Theorem hlnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlobn 31369	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ CBan)
2		bnnv 31347	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CBan → 𝑈 ∈ NrmCVec)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  NrmCVeccnv 31065  CBanccbn 31343  CHil_OLDchlo 31366

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-iota 6489  df-fv 6541  df-cbn 31344  df-hlo 31367

This theorem is used by:  hlnvi  31373  hlvc  31374  hladdf  31380  hlcom  31381  hlass  31382  hl0cl  31383  hladdid  31384  hlmulf  31385  hlmulid  31386  hlmulass  31387  hldi  31388  hldir  31389  hlmul0  31390  hlipf  31391  hlipcj  31392  hlipgt0  31395