Theorem hlnv 31550

Description: Every complex Hilbert space is a normed complex vector space. (Contributed by NM, 17-Mar-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hlnv	⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)

Proof of Theorem hlnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlobn 31547	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ CBan)
2		bnnv 31525	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CBan → 𝑈 ∈ NrmCVec)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  NrmCVeccnv 31243  CBanccbn 31521  CHil_OLDchlo 31544

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-iota 6520  df-fv 6574  df-cbn 31522  df-hlo 31545

This theorem is used by:  hlnvi  31551  hlvc  31552  hladdf  31558  hlcom  31559  hlass  31560  hl0cl  31561  hladdid  31562  hlmulf  31563  hlmulid  31564  hlmulass  31565  hldi  31566  hldir  31567  hlmul0  31568  hlipf  31569  hlipcj  31570  hlipgt0  31573