Theorem hlnv 31486

Description: Every complex Hilbert space is a normed complex vector space. (Contributed by NM, 17-Mar-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hlnv	⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)

Proof of Theorem hlnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlobn 31483	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ CBan)
2		bnnv 31461	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CBan → 𝑈 ∈ NrmCVec)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  NrmCVeccnv 31179  CBanccbn 31457  CHil_OLDchlo 31480

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-iota 6493  df-fv 6545  df-cbn 31458  df-hlo 31481

This theorem is used by:  hlnvi  31487  hlvc  31488  hladdf  31494  hlcom  31495  hlass  31496  hl0cl  31497  hladdid  31498  hlmulf  31499  hlmulid  31500  hlmulass  31501  hldi  31502  hldir  31503  hlmul0  31504  hlipf  31505  hlipcj  31506  hlipgt0  31509