Theorem hlnv 31243

Description: Every complex Hilbert space is a normed complex vector space. (Contributed by NM, 17-Mar-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hlnv	⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)

Proof of Theorem hlnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlobn 31240	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ CBan)
2		bnnv 31218	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CBan → 𝑈 ∈ NrmCVec)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  NrmCVeccnv 30936  CBanccbn 31214  CHil_OLDchlo 31237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-iota 6492  df-fv 6544  df-cbn 31215  df-hlo 31238

This theorem is referenced by:  hlnvi  31244  hlvc  31245  hladdf  31251  hlcom  31252  hlass  31253  hl0cl  31254  hladdid  31255  hlmulf  31256  hlmulid  31257  hlmulass  31258  hldi  31259  hldir  31260  hlmul0  31261  hlipf  31262  hlipcj  31263  hlipgt0  31266