Theorem hlnv 30131

Description: Every complex Hilbert space is a normed complex vector space. (Contributed by NM, 17-Mar-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hlnv	⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)

Proof of Theorem hlnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlobn 30128	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ CBan)
2		bnnv 30106	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CBan → 𝑈 ∈ NrmCVec)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  NrmCVeccnv 29824  CBanccbn 30102  CHil_OLDchlo 30125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-iota 6492  df-fv 6548  df-cbn 30103  df-hlo 30126

This theorem is referenced by:  hlnvi  30132  hlvc  30133  hladdf  30139  hlcom  30140  hlass  30141  hl0cl  30142  hladdid  30143  hlmulf  30144  hlmulid  30145  hlmulass  30146  hldi  30147  hldir  30148  hlmul0  30149  hlipf  30150  hlipcj  30151  hlipgt0  30154