MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlmul0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlmul0 29265
Description: Hilbert space scalar multiplication by zero. (Contributed by NM, 7-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hlmul0.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
hlmul0.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
hlmul0.5 𝑍 = (0vec𝑈)
Assertion
Ref Expression
hlmul0 ((𝑈 ∈ CHilOLD𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) = 𝑍)

Proof of Theorem hlmul0
StepHypRef Expression
1 hlnv 29247 . 2 (𝑈 ∈ CHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
2 hlmul0.1 . . 3 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 hlmul0.4 . . 3 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 hlmul0.5 . . 3 𝑍 = (0vec𝑈)
52, 3, 4nv0 28993 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) = 𝑍)
61, 5sylan 580 1 ((𝑈 ∈ CHilOLD𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  cfv 6431  (class class class)co 7269  0cc0 10870  NrmCVeccnv 28940  BaseSetcba 28942   ·𝑠OLD cns 28943  0veccn0v 28944  CHilOLDchlo 29241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-ltxr 11013  df-grpo 28849  df-gid 28850  df-ginv 28851  df-ablo 28901  df-vc 28915  df-nv 28948  df-va 28951  df-ba 28952  df-sm 28953  df-0v 28954  df-nmcv 28956  df-cbn 29219  df-hlo 29242
This theorem is referenced by:  axhvmul0-zf  29348
  Copyright terms: Public domain W3C validator