MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlmul0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlmul0 30932
Description: Hilbert space scalar multiplication by zero. (Contributed by NM, 7-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hlmul0.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
hlmul0.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
hlmul0.5 𝑍 = (0vec𝑈)
Assertion
Ref Expression
hlmul0 ((𝑈 ∈ CHilOLD𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) = 𝑍)

Proof of Theorem hlmul0
StepHypRef Expression
1 hlnv 30914 . 2 (𝑈 ∈ CHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
2 hlmul0.1 . . 3 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 hlmul0.4 . . 3 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 hlmul0.5 . . 3 𝑍 = (0vec𝑈)
52, 3, 4nv0 30660 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) = 𝑍)
61, 5sylan 579 1 ((𝑈 ∈ CHilOLD𝐴𝑋) → (0𝑆𝐴) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2103  cfv 6572  (class class class)co 7445  0cc0 11180  NrmCVeccnv 30607  BaseSetcba 30609   ·𝑠OLD cns 30610  0veccn0v 30611  CHilOLDchlo 30908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-id 5597  df-po 5611  df-so 5612  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-ltxr 11325  df-grpo 30516  df-gid 30517  df-ginv 30518  df-ablo 30568  df-vc 30582  df-nv 30615  df-va 30618  df-ba 30619  df-sm 30620  df-0v 30621  df-nmcv 30623  df-cbn 30886  df-hlo 30909
This theorem is referenced by:  axhvmul0-zf  31015
  Copyright terms: Public domain W3C validator