MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hldir Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hldir 30656
Description: Hilbert space scalar multiplication distributive law. (Contributed by NM, 7-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hldi.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
hldi.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
hldi.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
hldir ((π‘ˆ ∈ CHilOLD ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴 + 𝐡)𝑆𝐢) = ((𝐴𝑆𝐢)𝐺(𝐡𝑆𝐢)))
Proof of Theorem hldir
StepHypRef Expression
1 hlnv 30639 . 2 (π‘ˆ ∈ CHilOLD β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
2 hldi.1 . . 3 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
3 hldi.2 . . 3 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
4 hldi.4 . . 3 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
52, 3, 4nvdir 30379 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴 + 𝐡)𝑆𝐢) = ((𝐴𝑆𝐢)𝐺(𝐡𝑆𝐢)))
61, 5sylan 579 1 ((π‘ˆ ∈ CHilOLD ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴 + 𝐡)𝑆𝐢) = ((𝐴𝑆𝐢)𝐺(𝐡𝑆𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„‚cc 11105   + caddc 11110  NrmCVeccnv 30332   +𝑣 cpv 30333  BaseSetcba 30334   ·𝑠OLD cns 30335  CHilOLDchlo 30633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-vc 30307  df-nv 30340  df-va 30343  df-ba 30344  df-sm 30345  df-0v 30346  df-nmcv 30348  df-cbn 30611  df-hlo 30634
This theorem is referenced by:  axhvdistr2-zf  30739
  Copyright terms: Public domain W3C validator