MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hldir Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hldir 30717
Description: Hilbert space scalar multiplication distributive law. (Contributed by NM, 7-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hldi.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
hldi.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
hldi.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
hldir ((π‘ˆ ∈ CHilOLD ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴 + 𝐡)𝑆𝐢) = ((𝐴𝑆𝐢)𝐺(𝐡𝑆𝐢)))
Proof of Theorem hldir
StepHypRef Expression
1 hlnv 30700 . 2 (π‘ˆ ∈ CHilOLD β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
2 hldi.1 . . 3 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
3 hldi.2 . . 3 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
4 hldi.4 . . 3 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
52, 3, 4nvdir 30440 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴 + 𝐡)𝑆𝐢) = ((𝐴𝑆𝐢)𝐺(𝐡𝑆𝐢)))
61, 5sylan 579 1 ((π‘ˆ ∈ CHilOLD ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴 + 𝐡)𝑆𝐢) = ((𝐴𝑆𝐢)𝐺(𝐡𝑆𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„‚cc 11136   + caddc 11141  NrmCVeccnv 30393   +𝑣 cpv 30394  BaseSetcba 30395   ·𝑠OLD cns 30396  CHilOLDchlo 30694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-vc 30368  df-nv 30401  df-va 30404  df-ba 30405  df-sm 30406  df-0v 30407  df-nmcv 30409  df-cbn 30672  df-hlo 30695
This theorem is referenced by:  axhvdistr2-zf  30800
  Copyright terms: Public domain W3C validator