MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hldir Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hldir 30148
Description: Hilbert space scalar multiplication distributive law. (Contributed by NM, 7-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hldi.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
hldi.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
hldi.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
hldir ((π‘ˆ ∈ CHilOLD ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴 + 𝐡)𝑆𝐢) = ((𝐴𝑆𝐢)𝐺(𝐡𝑆𝐢)))
Proof of Theorem hldir
StepHypRef Expression
1 hlnv 30131 . 2 (π‘ˆ ∈ CHilOLD β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
2 hldi.1 . . 3 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
3 hldi.2 . . 3 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
4 hldi.4 . . 3 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
52, 3, 4nvdir 29871 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴 + 𝐡)𝑆𝐢) = ((𝐴𝑆𝐢)𝐺(𝐡𝑆𝐢)))
61, 5sylan 580 1 ((π‘ˆ ∈ CHilOLD ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴 + 𝐡)𝑆𝐢) = ((𝐴𝑆𝐢)𝐺(𝐡𝑆𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104   + caddc 11109  NrmCVeccnv 29824   +𝑣 cpv 29825  BaseSetcba 29826   ·𝑠OLD cns 29827  CHilOLDchlo 30125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-nmcv 29840  df-cbn 30103  df-hlo 30126
This theorem is referenced by:  axhvdistr2-zf  30231
  Copyright terms: Public domain W3C validator