Theorem hlvc 30982

Description: Every complex Hilbert space is a complex vector space. (Contributed by NM, 7-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hlvc.1	⊢ 𝑊 = (1st ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hlvc	⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑊 ∈ CVecOLD)

Proof of Theorem hlvc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlnv 30980	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2		hlvc.1	. . 3 ⊢ 𝑊 = (1st ‘𝑈)
3	2	nvvc 30704	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑊 ∈ CVecOLD)
4	1, 3	syl 17	1 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑊 ∈ CVecOLD)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  1^st c1st 7929  CVec_OLDcvc 30647  NrmCVeccnv 30673  CHil_OLDchlo 30974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-vc 30648  df-nv 30681  df-va 30684  df-ba 30685  df-sm 30686  df-0v 30687  df-nmcv 30689  df-cbn 30952  df-hlo 30975

This theorem is referenced by: (None)