Theorem hlvc 31500

Description: Every complex Hilbert space is a complex vector space. (Contributed by NM, 7-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hlvc.1	⊢ 𝑊 = (1st ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hlvc	⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑊 ∈ CVecOLD)

Proof of Theorem hlvc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlnv 31498	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2		hlvc.1	. . 3 ⊢ 𝑊 = (1st ‘𝑈)
3	2	nvvc 31222	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑊 ∈ CVecOLD)
4	1, 3	syl 18	1 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑊 ∈ CVecOLD)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  1^st c1st 7999  CVec_OLDcvc 31165  NrmCVeccnv 31191  CHil_OLDchlo 31492

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-vc 31166  df-nv 31199  df-va 31202  df-ba 31203  df-sm 31204  df-0v 31205  df-nmcv 31207  df-cbn 31470  df-hlo 31493

This theorem is used by: (None)