Theorem hlvc 30884

Description: Every complex Hilbert space is a complex vector space. (Contributed by NM, 7-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hlvc.1	⊢ 𝑊 = (1st ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hlvc	⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑊 ∈ CVecOLD)

Proof of Theorem hlvc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlnv 30882	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2		hlvc.1	. . 3 ⊢ 𝑊 = (1st ‘𝑈)
3	2	nvvc 30606	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑊 ∈ CVecOLD)
4	1, 3	syl 17	1 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑊 ∈ CVecOLD)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6489  1^st c1st 7928  CVec_OLDcvc 30549  NrmCVeccnv 30575  CHil_OLDchlo 30876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-vc 30550  df-nv 30583  df-va 30586  df-ba 30587  df-sm 30588  df-0v 30589  df-nmcv 30591  df-cbn 30854  df-hlo 30877

This theorem is referenced by: (None)