Theorem hlvc 31528

Description: Every complex Hilbert space is a complex vector space. (Contributed by NM, 7-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hlvc.1	⊢ 𝑊 = (1st ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hlvc	⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑊 ∈ CVecOLD)

Proof of Theorem hlvc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlnv 31526	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2		hlvc.1	. . 3 ⊢ 𝑊 = (1st ‘𝑈)
3	2	nvvc 31250	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑊 ∈ CVecOLD)
4	1, 3	syl 18	1 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑊 ∈ CVecOLD)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6561  1^st c1st 8026  CVec_OLDcvc 31193  NrmCVeccnv 31219  CHil_OLDchlo 31520

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-vc 31194  df-nv 31227  df-va 31230  df-ba 31231  df-sm 31232  df-0v 31233  df-nmcv 31235  df-cbn 31498  df-hlo 31521

This theorem is used by: (None)