MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlipgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlipgt0 29701
Description: The inner product of a Hilbert space vector by itself is positive. (Contributed by NM, 8-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hlipgt0.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
hlipgt0.5 𝑍 = (0vec𝑈)
hlipgt0.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
hlipgt0 ((𝑈 ∈ CHilOLD𝐴𝑋𝐴𝑍) → 0 < (𝐴𝑃𝐴))

Proof of Theorem hlipgt0
StepHypRef Expression
1 hlnv 29678 . 2 (𝑈 ∈ CHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
2 hlipgt0.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 eqid 2736 . . . . . 6 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
42, 3nvcl 29448 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((normCV𝑈)‘𝐴) ∈ ℝ)
543adant3 1132 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑍) → ((normCV𝑈)‘𝐴) ∈ ℝ)
6 hlipgt0.5 . . . . . . . 8 𝑍 = (0vec𝑈)
72, 6, 3nvz 29456 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((normCV𝑈)‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑍))
87biimpd 228 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((normCV𝑈)‘𝐴) = 0 → 𝐴 = 𝑍))
98necon3d 2962 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑍 → ((normCV𝑈)‘𝐴) ≠ 0))
1093impia 1117 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑍) → ((normCV𝑈)‘𝐴) ≠ 0)
115, 10sqgt0d 14107 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑍) → 0 < (((normCV𝑈)‘𝐴)↑2))
12 hlipgt0.7 . . . . 5 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
132, 3, 12ipidsq 29497 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) = (((normCV𝑈)‘𝐴)↑2))
14133adant3 1132 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑍) → (𝐴𝑃𝐴) = (((normCV𝑈)‘𝐴)↑2))
1511, 14breqtrrd 5131 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑍) → 0 < (𝐴𝑃𝐴))
161, 15syl3an1 1163 1 ((𝑈 ∈ CHilOLD𝐴𝑋𝐴𝑍) → 0 < (𝐴𝑃𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941   class class class wbr 5103  cfv 6493  (class class class)co 7351  cr 11008  0cc0 11009   < clt 11147  2c2 12166  cexp 13921  NrmCVeccnv 29371  BaseSetcba 29373  0veccn0v 29375  normCVcnmcv 29377  ·𝑖OLDcdip 29487  CHilOLDchlo 29672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-sup 9336  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-rp 12870  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-seq 13861  df-exp 13922  df-hash 14185  df-cj 14938  df-re 14939  df-im 14940  df-sqrt 15074  df-abs 15075  df-clim 15324  df-sum 15525  df-grpo 29280  df-gid 29281  df-ginv 29282  df-ablo 29332  df-vc 29346  df-nv 29379  df-va 29382  df-ba 29383  df-sm 29384  df-0v 29385  df-nmcv 29387  df-dip 29488  df-cbn 29650  df-hlo 29673
This theorem is referenced by:  axhis4-zf  29784
  Copyright terms: Public domain W3C validator