MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlipgt0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hlipgt0 30742
Description: The inner product of a Hilbert space vector by itself is positive. (Contributed by NM, 8-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hlipgt0.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
hlipgt0.5 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
hlipgt0.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
hlipgt0 ((π‘ˆ ∈ CHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ 0 < (𝐴𝑃𝐴))
Proof of Theorem hlipgt0
StepHypRef Expression
1 hlnv 30719 . 2 (π‘ˆ ∈ CHilOLD β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
2 hlipgt0.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
3 eqid 2727 . . . . . 6 (normCVβ€˜π‘ˆ) = (normCVβ€˜π‘ˆ)
42, 3nvcl 30489 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) ∈ ℝ)
543adant3 1129 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) ∈ ℝ)
6 hlipgt0.5 . . . . . . . 8 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
72, 6, 3nvz 30497 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑍))
87biimpd 228 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) = 0 β†’ 𝐴 = 𝑍))
98necon3d 2957 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 β‰  𝑍 β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) β‰  0))
1093impia 1114 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) β‰  0)
115, 10sqgt0d 14250 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ 0 < (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄)↑2))
12 hlipgt0.7 . . . . 5 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
132, 3, 12ipidsq 30538 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐴) = (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄)↑2))
14133adant3 1129 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ (𝐴𝑃𝐴) = (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄)↑2))
1511, 14breqtrrd 5178 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ 0 < (𝐴𝑃𝐴))
161, 15syl3an1 1160 1 ((π‘ˆ ∈ CHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ 0 < (𝐴𝑃𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2936   class class class wbr 5150  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  β„cr 11143  0cc0 11144   < clt 11284  2c2 12303  β†‘cexp 14064  NrmCVeccnv 30412  BaseSetcba 30414  0veccn0v 30416  normCVcnmcv 30418  Β·π‘–OLDcdip 30528  CHilOLDchlo 30713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14328  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-clim 15470  df-sum 15671  df-grpo 30321  df-gid 30322  df-ginv 30323  df-ablo 30373  df-vc 30387  df-nv 30420  df-va 30423  df-ba 30424  df-sm 30425  df-0v 30426  df-nmcv 30428  df-dip 30529  df-cbn 30691  df-hlo 30714
This theorem is referenced by:  axhis4-zf  30825
  Copyright terms: Public domain W3C validator