MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlipgt0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hlipgt0 30672
Description: The inner product of a Hilbert space vector by itself is positive. (Contributed by NM, 8-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hlipgt0.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
hlipgt0.5 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
hlipgt0.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
hlipgt0 ((π‘ˆ ∈ CHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ 0 < (𝐴𝑃𝐴))
Proof of Theorem hlipgt0
StepHypRef Expression
1 hlnv 30649 . 2 (π‘ˆ ∈ CHilOLD β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
2 hlipgt0.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
3 eqid 2726 . . . . . 6 (normCVβ€˜π‘ˆ) = (normCVβ€˜π‘ˆ)
42, 3nvcl 30419 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) ∈ ℝ)
543adant3 1129 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) ∈ ℝ)
6 hlipgt0.5 . . . . . . . 8 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
72, 6, 3nvz 30427 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑍))
87biimpd 228 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) = 0 β†’ 𝐴 = 𝑍))
98necon3d 2955 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 β‰  𝑍 β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) β‰  0))
1093impia 1114 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄) β‰  0)
115, 10sqgt0d 14216 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ 0 < (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄)↑2))
12 hlipgt0.7 . . . . 5 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
132, 3, 12ipidsq 30468 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐴) = (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄)↑2))
14133adant3 1129 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ (𝐴𝑃𝐴) = (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜π΄)↑2))
1511, 14breqtrrd 5169 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ 0 < (𝐴𝑃𝐴))
161, 15syl3an1 1160 1 ((π‘ˆ ∈ CHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  𝑍) β†’ 0 < (𝐴𝑃𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„cr 11108  0cc0 11109   < clt 11249  2c2 12268  β†‘cexp 14030  NrmCVeccnv 30342  BaseSetcba 30344  0veccn0v 30346  normCVcnmcv 30348  Β·π‘–OLDcdip 30458  CHilOLDchlo 30643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-grpo 30251  df-gid 30252  df-ginv 30253  df-ablo 30303  df-vc 30317  df-nv 30350  df-va 30353  df-ba 30354  df-sm 30355  df-0v 30356  df-nmcv 30358  df-dip 30459  df-cbn 30621  df-hlo 30644
This theorem is referenced by:  axhis4-zf  30755
  Copyright terms: Public domain W3C validator