MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlmulass Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hlmulass 30668
Description: Hilbert space scalar multiplication associative law. (Contributed by NM, 7-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hlmulf.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
hlmulf.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
hlmulass ((π‘ˆ ∈ CHilOLD ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴 Β· 𝐡)𝑆𝐢) = (𝐴𝑆(𝐡𝑆𝐢)))
Proof of Theorem hlmulass
StepHypRef Expression
1 hlnv 30653 . 2 (π‘ˆ ∈ CHilOLD β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
2 hlmulf.1 . . 3 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
3 hlmulf.4 . . 3 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
42, 3nvsass 30390 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴 Β· 𝐡)𝑆𝐢) = (𝐴𝑆(𝐡𝑆𝐢)))
51, 4sylan 579 1 ((π‘ˆ ∈ CHilOLD ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴 Β· 𝐡)𝑆𝐢) = (𝐴𝑆(𝐡𝑆𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110   Β· cmul 11117  NrmCVeccnv 30346  BaseSetcba 30348   ·𝑠OLD cns 30349  CHilOLDchlo 30647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-vc 30321  df-nv 30354  df-va 30357  df-ba 30358  df-sm 30359  df-0v 30360  df-nmcv 30362  df-cbn 30625  df-hlo 30648
This theorem is referenced by:  axhvmulass-zf  30751
  Copyright terms: Public domain W3C validator