Theorem hladdid 30982

Description: Hilbert space addition with the zero vector. (Contributed by NM, 7-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hladdid.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
hladdid.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
hladdid.5	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hladdid	⊢ ((𝑈 ∈ CHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝑍) = 𝐴)

Proof of Theorem hladdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlnv 30970	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2		hladdid.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		hladdid.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
4		hladdid.5	. . 3 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
5	2, 3, 4	nv0rid 30714	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝑍) = 𝐴)
6	1, 5	sylan 581	1 ⊢ ((𝑈 ∈ CHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝑍) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  NrmCVeccnv 30663   +_𝑣 cpv 30664  BaseSetcba 30665  0_veccn0v 30667  CHil_OLDchlo 30964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-grpo 30572  df-gid 30573  df-ablo 30624  df-vc 30638  df-nv 30671  df-va 30674  df-ba 30675  df-sm 30676  df-0v 30677  df-nmcv 30679  df-cbn 30942  df-hlo 30965

This theorem is referenced by:  axhvaddid-zf  31065