Theorem hladdid 30839

Description: Hilbert space addition with the zero vector. (Contributed by NM, 7-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hladdid.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
hladdid.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
hladdid.5	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hladdid	⊢ ((𝑈 ∈ CHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝑍) = 𝐴)

Proof of Theorem hladdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlnv 30827	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2		hladdid.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		hladdid.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
4		hladdid.5	. . 3 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
5	2, 3, 4	nv0rid 30571	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝑍) = 𝐴)
6	1, 5	sylan 580	1 ⊢ ((𝑈 ∈ CHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝑍) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394  NrmCVeccnv 30520   +_𝑣 cpv 30521  BaseSetcba 30522  0_veccn0v 30524  CHil_OLDchlo 30821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pr 5395  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-ral 3047  df-rex 3056  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-nul 4305  df-if 4497  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5541  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-grpo 30429  df-gid 30430  df-ablo 30481  df-vc 30495  df-nv 30528  df-va 30531  df-ba 30532  df-sm 30533  df-0v 30534  df-nmcv 30536  df-cbn 30799  df-hlo 30822

This theorem is referenced by:  axhvaddid-zf  30922