Theorem hlcom 31252

Description: Hilbert space vector addition is commutative. (Contributed by NM, 7-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hladdf.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
hladdf.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hlcom	⊢ ((𝑈 ∈ CHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) = (𝐵𝐺𝐴))

Proof of Theorem hlcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlnv 31243	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2		hladdf.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		hladdf.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
4	2, 3	nvcom 30973	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) = (𝐵𝐺𝐴))
5	1, 4	syl3an1 1181	1 ⊢ ((𝑈 ∈ CHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) = (𝐵𝐺𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  NrmCVeccnv 30936   +_𝑣 cpv 30937  BaseSetcba 30938  CHil_OLDchlo 31237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-ablo 30897  df-vc 30911  df-nv 30944  df-va 30947  df-ba 30948  df-sm 30949  df-0v 30950  df-nmcv 30952  df-cbn 31215  df-hlo 31238

This theorem is referenced by:  axhvcom-zf  31335