Theorem hlmulid 30840

Description: Hilbert space scalar multiplication by one. (Contributed by NM, 7-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlmulf.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
hlmulf.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hlmulid	⊢ ((𝑈 ∈ CHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem hlmulid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlnv 30826	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2		hlmulf.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		hlmulf.4	. . 3 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4	2, 3	nvsid 30562	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
5	1, 4	sylan 580	1 ⊢ ((𝑈 ∈ CHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  1c1 11075  NrmCVeccnv 30519  BaseSetcba 30521   ·_𝑠OLD cns 30522  CHil_OLDchlo 30820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-vc 30494  df-nv 30527  df-va 30530  df-ba 30531  df-sm 30532  df-0v 30533  df-nmcv 30535  df-cbn 30798  df-hlo 30821

This theorem is referenced by:  axhvmulid-zf  30923