MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hl0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hl0cl 29305
Description: The Hilbert space zero vector. (Contributed by NM, 7-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hl0cl.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
hl0cl.5 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
hl0cl (π‘ˆ ∈ CHilOLD β†’ 𝑍 ∈ 𝑋)

Proof of Theorem hl0cl
StepHypRef Expression
1 hlnv 29294 . 2 (π‘ˆ ∈ CHilOLD β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
2 hl0cl.1 . . 3 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
3 hl0cl.5 . . 3 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
42, 3nvzcl 29037 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑍 ∈ 𝑋)
51, 4syl 17 1 (π‘ˆ ∈ CHilOLD β†’ 𝑍 ∈ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  β€˜cfv 6454  NrmCVeccnv 28987  BaseSetcba 28989  0veccn0v 28991  CHilOLDchlo 29288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361  ax-un 7616
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5496  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-grpo 28896  df-gid 28897  df-ablo 28948  df-vc 28962  df-nv 28995  df-va 28998  df-ba 28999  df-sm 29000  df-0v 29001  df-nmcv 29003  df-cbn 29266  df-hlo 29289
This theorem is referenced by:  axhv0cl-zf  29388
  Copyright terms: Public domain W3C validator