Theorem hl0cl 31284

Description: The Hilbert space zero vector. (Contributed by NM, 7-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hl0cl.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
hl0cl.5	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hl0cl	⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑍 ∈ 𝑋)

Proof of Theorem hl0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlnv 31273	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2		hl0cl.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		hl0cl.5	. . 3 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
4	2, 3	nvzcl 31016	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 ∈ 𝑋)
5	1, 4	syl 18	1 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑍 ∈ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  NrmCVeccnv 30966  BaseSetcba 30968  0_veccn0v 30970  CHil_OLDchlo 31267

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-grpo 30875  df-gid 30876  df-ablo 30927  df-vc 30941  df-nv 30974  df-va 30977  df-ba 30978  df-sm 30979  df-0v 30980  df-nmcv 30982  df-cbn 31245  df-hlo 31268

This theorem is used by:  axhv0cl-zf  31367