Theorem hl0cl 30133

Description: The Hilbert space zero vector. (Contributed by NM, 7-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hl0cl.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
hl0cl.5	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hl0cl	⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑍 ∈ 𝑋)

Proof of Theorem hl0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlnv 30122	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2		hl0cl.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		hl0cl.5	. . 3 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
4	2, 3	nvzcl 29865	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 ∈ 𝑋)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑍 ∈ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6540  NrmCVeccnv 29815  BaseSetcba 29817  0_veccn0v 29819  CHil_OLDchlo 30116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-grpo 29724  df-gid 29725  df-ablo 29776  df-vc 29790  df-nv 29823  df-va 29826  df-ba 29827  df-sm 29828  df-0v 29829  df-nmcv 29831  df-cbn 30094  df-hlo 30117

This theorem is referenced by:  axhv0cl-zf  30216