MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hl0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hl0cl 30650
Description: The Hilbert space zero vector. (Contributed by NM, 7-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hl0cl.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
hl0cl.5 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
hl0cl (π‘ˆ ∈ CHilOLD β†’ 𝑍 ∈ 𝑋)

Proof of Theorem hl0cl
StepHypRef Expression
1 hlnv 30639 . 2 (π‘ˆ ∈ CHilOLD β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
2 hl0cl.1 . . 3 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
3 hl0cl.5 . . 3 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
42, 3nvzcl 30382 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑍 ∈ 𝑋)
51, 4syl 17 1 (π‘ˆ ∈ CHilOLD β†’ 𝑍 ∈ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6534  NrmCVeccnv 30332  BaseSetcba 30334  0veccn0v 30336  CHilOLDchlo 30633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-grpo 30241  df-gid 30242  df-ablo 30293  df-vc 30307  df-nv 30340  df-va 30343  df-ba 30344  df-sm 30345  df-0v 30346  df-nmcv 30348  df-cbn 30611  df-hlo 30634
This theorem is referenced by:  axhv0cl-zf  30733
  Copyright terms: Public domain W3C validator