Theorem isabld 18520

Description: Properties that determine an Abelian group. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
isabld.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
isabld.p	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐺))
isabld.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
isabld.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
isabld	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐺,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isabld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabld.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		isabld.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
3		isabld.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝐺))
4		grpmnd 17744	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
6		isabld.c	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
7	2, 3, 5, 6	iscmnd 18519	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
8		isabl 18511	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
9	1, 7, 8	sylanbrc 579	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ‘cfv 6102  (class class class)co 6879  Basecbs 16183  +_gcplusg 16266  Mndcmnd 17608  Grpcgrp 17737  CMndccmn 18507  Abelcabl 18508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3388  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-nul 4117  df-if 4279  df-sn 4370  df-pr 4372  df-op 4376  df-uni 4630  df-br 4845  df-iota 6065  df-fv 6110  df-ov 6882  df-grp 17740  df-cmn 18509  df-abl 18510

This theorem is referenced by:  subgabl  18555  gex2abl  18568  cygabl  18606  ringabl  18895  lmodabl  19227  dchrabl  25330  tgrpabl  36771  erngdvlem2N  37009  erngdvlem2-rN  37017