MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrabl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dchrabl 27207
Description: The set of Dirichlet characters is an Abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dchrabl.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
Assertion
Ref Expression
dchrabl (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐺 ∈ Abel)
Proof of Theorem dchrabl
Dummy variables π‘₯ π‘Ž 𝑏 𝑐 π‘˜ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2729 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ))
2 eqidd 2729 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ))
3 dchrabl.g . . . 4 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
4 eqid 2728 . . . 4 (β„€/nβ„€β€˜π‘) = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
5 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
6 eqid 2728 . . . 4 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
7 simp2 1134 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
8 simp3 1135 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
93, 4, 5, 6, 7, 8dchrmulcl 27202 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
10 fvexd 6917 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ V)
11 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) = (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))
123, 4, 5, 11, 7dchrf 27195 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ π‘₯:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚)
13123adant3r3 1181 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ π‘₯:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚)
143, 4, 5, 11, 8dchrf 27195 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ 𝑦:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚)
15143adant3r3 1181 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ 𝑦:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚)
16 simpr3 1193 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
173, 4, 5, 11, 16dchrf 27195 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ 𝑧:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚)
18 mulass 11234 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚) β†’ ((π‘Ž Β· 𝑏) Β· 𝑐) = (π‘Ž Β· (𝑏 Β· 𝑐)))
1918adantl 480 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ (π‘Ž ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚)) β†’ ((π‘Ž Β· 𝑏) Β· 𝑐) = (π‘Ž Β· (𝑏 Β· 𝑐)))
2010, 13, 15, 17, 19caofass 7728 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯ ∘f Β· 𝑦) ∘f Β· 𝑧) = (π‘₯ ∘f Β· (𝑦 ∘f Β· 𝑧)))
21 simpr1 1191 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
22 simpr2 1192 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
233, 4, 5, 6, 21, 22dchrmul 27201 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (π‘₯ ∘f Β· 𝑦))
2423oveq1d 7441 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∘f Β· 𝑧) = ((π‘₯ ∘f Β· 𝑦) ∘f Β· 𝑧))
253, 4, 5, 6, 22, 16dchrmul 27201 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) = (𝑦 ∘f Β· 𝑧))
2625oveq2d 7442 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (π‘₯ ∘f Β· (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)) = (π‘₯ ∘f Β· (𝑦 ∘f Β· 𝑧)))
2720, 24, 263eqtr4d 2778 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∘f Β· 𝑧) = (π‘₯ ∘f Β· (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)))
2893adant3r3 1181 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
293, 4, 5, 6, 28, 16dchrmul 27201 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(+gβ€˜πΊ)𝑧) = ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∘f Β· 𝑧))
303, 4, 5, 6, 22, 16dchrmulcl 27202 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
313, 4, 5, 6, 21, 30dchrmul 27201 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)(𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)) = (π‘₯ ∘f Β· (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)))
3227, 29, 313eqtr4d 2778 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(+gβ€˜πΊ)𝑧) = (π‘₯(+gβ€˜πΊ)(𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)))
33 eqid 2728 . . . 4 (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) = (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))
34 eqid 2728 . . . 4 (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), 1, 0)) = (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), 1, 0))
35 id 22 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•)
363, 4, 5, 11, 33, 34, 35dchr1cl 27204 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), 1, 0)) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
37 simpr 483 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
383, 4, 5, 11, 33, 34, 6, 37dchrmullid 27205 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), 1, 0))(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = π‘₯)
39 eqid 2728 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), (1 / (π‘₯β€˜π‘˜)), 0)) = (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), (1 / (π‘₯β€˜π‘˜)), 0))
403, 4, 5, 11, 33, 34, 6, 37, 39dchrinvcl 27206 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), (1 / (π‘₯β€˜π‘˜)), 0)) ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ ((π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), (1 / (π‘₯β€˜π‘˜)), 0))(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), 1, 0))))
4140simpld 493 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), (1 / (π‘₯β€˜π‘˜)), 0)) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
4240simprd 494 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), (1 / (π‘₯β€˜π‘˜)), 0))(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), 1, 0)))
431, 2, 9, 32, 36, 38, 41, 42isgrpd 18922 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐺 ∈ Grp)
44 fvexd 6917 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ V)
45 mulcom 11232 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„‚) β†’ (π‘Ž Β· 𝑏) = (𝑏 Β· π‘Ž))
4645adantl 480 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„‚)) β†’ (π‘Ž Β· 𝑏) = (𝑏 Β· π‘Ž))
4744, 12, 14, 46caofcom 7726 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯ ∘f Β· 𝑦) = (𝑦 ∘f Β· π‘₯))
483, 4, 5, 6, 7, 8dchrmul 27201 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (π‘₯ ∘f Β· 𝑦))
493, 4, 5, 6, 8, 7dchrmul 27201 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝑦 ∘f Β· π‘₯))
5047, 48, 493eqtr4d 2778 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
511, 2, 43, 50isabld 19757 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐺 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473  ifcif 4532   ↦ cmpt 5235  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∘f cof 7689  β„‚cc 11144  0cc0 11146  1c1 11147   Β· cmul 11151   / cdiv 11909  β„•cn 12250  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  Abelcabl 19743  Unitcui 20301  β„€/nβ„€czn 21435  DChrcdchr 27185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-addf 11225  ax-mulf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-ec 8733  df-qs 8737  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-0g 17430  df-imas 17497  df-qus 17498  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-nsg 19086  df-eqg 19087  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-lidl 21111  df-rsp 21112  df-2idl 21151  df-cnfld 21287  df-zring 21380  df-zn 21439  df-dchr 27186
This theorem is referenced by:  dchr1  27210  dchrinv  27214  dchr1re  27216  dchrpt  27220  dchrsum2  27221  sumdchr2  27223  dchrhash  27224  dchr2sum  27226  rpvmasumlem  27440  rpvmasum2  27465  dchrisum0re  27466
  Copyright terms: Public domain W3C validator