Theorem dchrabl 27225

Description: The set of Dirichlet characters is an Abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
dchrabl.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
dchrabl	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem dchrabl

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 𝑐 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2738	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
2		eqidd 2738	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺))
3		dchrabl.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (ℤ/nℤ‘𝑁) = (ℤ/nℤ‘𝑁)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
7		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
8		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	dchrmulcl 27220	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
10		fvexd 6850	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ V)
11		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
12	3, 4, 5, 11, 7	dchrf 27213	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
13	12	3adant3r3 1186	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑥:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
14	3, 4, 5, 11, 8	dchrf 27213	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑦:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
15	14	3adant3r3 1186	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑦:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
16		simpr3 1198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
17	3, 4, 5, 11, 16	dchrf 27213	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑧:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
18		mulass 11118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎 · 𝑏) · 𝑐) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑐)))
19	18	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) · 𝑐) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑐)))
20	10, 13, 15, 17, 19	caofass 7664	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥 ∘f · 𝑦) ∘f · 𝑧) = (𝑥 ∘f · (𝑦 ∘f · 𝑧)))
21		simpr1 1196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
22		simpr2 1197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
23	3, 4, 5, 6, 21, 22	dchrmul 27219	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥 ∘f · 𝑦))
24	23	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∘f · 𝑧) = ((𝑥 ∘f · 𝑦) ∘f · 𝑧))
25	3, 4, 5, 6, 22, 16	dchrmul 27219	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑦 ∘f · 𝑧))
26	25	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥 ∘f · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (𝑥 ∘f · (𝑦 ∘f · 𝑧)))
27	20, 24, 26	3eqtr4d 2782	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∘f · 𝑧) = (𝑥 ∘f · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
28	9	3adant3r3 1186	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
29	3, 4, 5, 6, 28, 16	dchrmul 27219	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∘f · 𝑧))
30	3, 4, 5, 6, 22, 16	dchrmulcl 27220	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺))
31	3, 4, 5, 6, 21, 30	dchrmul 27219	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (𝑥 ∘f · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
32	27, 29, 31	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑥(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
33		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
34		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), 1, 0)) = (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), 1, 0))
35		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
36	3, 4, 5, 11, 33, 34, 35	dchr1cl 27222	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), 1, 0)) ∈ (Base‘𝐺))
37		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
38	3, 4, 5, 11, 33, 34, 6, 37	dchrmullid 27223	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), 1, 0))(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
39		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (1 / (𝑥‘𝑘)), 0)) = (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (1 / (𝑥‘𝑘)), 0))
40	3, 4, 5, 11, 33, 34, 6, 37, 39	dchrinvcl 27224	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (1 / (𝑥‘𝑘)), 0)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (1 / (𝑥‘𝑘)), 0))(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), 1, 0))))
41	40	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (1 / (𝑥‘𝑘)), 0)) ∈ (Base‘𝐺))
42	40	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (1 / (𝑥‘𝑘)), 0))(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), 1, 0)))
43	1, 2, 9, 32, 36, 38, 41, 42	isgrpd 18892	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Grp)
44		fvexd 6850	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ V)
45		mulcom 11116	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 · 𝑏) = (𝑏 · 𝑎))
46	45	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 · 𝑏) = (𝑏 · 𝑎))
47	44, 12, 14, 46	caofcom 7661	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∘f · 𝑦) = (𝑦 ∘f · 𝑥))
48	3, 4, 5, 6, 7, 8	dchrmul 27219	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥 ∘f · 𝑦))
49	3, 4, 5, 6, 8, 7	dchrmul 27219	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 ∘f · 𝑥))
50	47, 48, 49	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
51	1, 2, 43, 50	isabld 19728	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441  ifcif 4480   ↦ cmpt 5180  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   ∘_f cof 7622  ℂcc 11028  0cc0 11030  1c1 11031   · cmul 11035   / cdiv 11798  ℕcn 12149  Basecbs 17140  +_gcplusg 17181  Abelcabl 19714  Unitcui 20295  ℤ/nℤczn 21461  DChrcdchr 27203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-addf 11109  ax-mulf 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-ec 8639  df-qs 8643  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-fz 13428  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-0g 17365  df-imas 17433  df-qus 17434  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18712  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-subg 19057  df-nsg 19058  df-eqg 19059  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20277  df-dvdsr 20297  df-unit 20298  df-invr 20328  df-subrng 20483  df-subrg 20507  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-lsp 20927  df-sra 21129  df-rgmod 21130  df-lidl 21167  df-rsp 21168  df-2idl 21209  df-cnfld 21314  df-zring 21406  df-zn 21465  df-dchr 27204

This theorem is referenced by:  dchr1  27228  dchrinv  27232  dchr1re  27234  dchrpt  27238  dchrsum2  27239  sumdchr2  27241  dchrhash  27242  dchr2sum  27244  rpvmasumlem  27458  rpvmasum2  27483  dchrisum0re  27484