Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrabl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrabl 25836
 Description: The set of Dirichlet characters is an Abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dchrabl.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
Assertion
Ref Expression
dchrabl (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem dchrabl
Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 𝑐 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2823 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
2 eqidd 2823 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (+g𝐺) = (+g𝐺))
3 dchrabl.g . . . 4 𝐺 = (DChr‘𝑁)
4 eqid 2822 . . . 4 (ℤ/nℤ‘𝑁) = (ℤ/nℤ‘𝑁)
5 eqid 2822 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6 eqid 2822 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
7 simp2 1134 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
8 simp3 1135 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
93, 4, 5, 6, 7, 8dchrmulcl 25831 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
10 fvexd 6667 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ V)
11 eqid 2822 . . . . . . . 8 (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
123, 4, 5, 11, 7dchrf 25824 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
13123adant3r3 1181 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑥:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
143, 4, 5, 11, 8dchrf 25824 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑦:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
15143adant3r3 1181 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑦:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
16 simpr3 1193 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
173, 4, 5, 11, 16dchrf 25824 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑧:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
18 mulass 10614 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎 · 𝑏) · 𝑐) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑐)))
1918adantl 485 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) · 𝑐) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑐)))
2010, 13, 15, 17, 19caofass 7428 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥f · 𝑦) ∘f · 𝑧) = (𝑥f · (𝑦f · 𝑧)))
21 simpr1 1191 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
22 simpr2 1192 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
233, 4, 5, 6, 21, 22dchrmul 25830 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥f · 𝑦))
2423oveq1d 7155 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∘f · 𝑧) = ((𝑥f · 𝑦) ∘f · 𝑧))
253, 4, 5, 6, 22, 16dchrmul 25830 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) = (𝑦f · 𝑧))
2625oveq2d 7156 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥f · (𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (𝑥f · (𝑦f · 𝑧)))
2720, 24, 263eqtr4d 2867 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∘f · 𝑧) = (𝑥f · (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
2893adant3r3 1181 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
293, 4, 5, 6, 28, 16dchrmul 25830 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑧) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∘f · 𝑧))
303, 4, 5, 6, 22, 16dchrmulcl 25831 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺))
313, 4, 5, 6, 21, 30dchrmul 25830 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (𝑥f · (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
3227, 29, 313eqtr4d 2867 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑧) = (𝑥(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)))
33 eqid 2822 . . . 4 (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
34 eqid 2822 . . . 4 (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), 1, 0)) = (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), 1, 0))
35 id 22 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
363, 4, 5, 11, 33, 34, 35dchr1cl 25833 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), 1, 0)) ∈ (Base‘𝐺))
37 simpr 488 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
383, 4, 5, 11, 33, 34, 6, 37dchrmulid2 25834 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), 1, 0))(+g𝐺)𝑥) = 𝑥)
39 eqid 2822 . . . . 5 (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (1 / (𝑥𝑘)), 0)) = (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (1 / (𝑥𝑘)), 0))
403, 4, 5, 11, 33, 34, 6, 37, 39dchrinvcl 25835 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (1 / (𝑥𝑘)), 0)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (1 / (𝑥𝑘)), 0))(+g𝐺)𝑥) = (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), 1, 0))))
4140simpld 498 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (1 / (𝑥𝑘)), 0)) ∈ (Base‘𝐺))
4240simprd 499 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (1 / (𝑥𝑘)), 0))(+g𝐺)𝑥) = (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), 1, 0)))
431, 2, 9, 32, 36, 38, 41, 42isgrpd 18116 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Grp)
44 fvexd 6667 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ V)
45 mulcom 10612 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 · 𝑏) = (𝑏 · 𝑎))
4645adantl 485 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 · 𝑏) = (𝑏 · 𝑎))
4744, 12, 14, 46caofcom 7426 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥f · 𝑦) = (𝑦f · 𝑥))
483, 4, 5, 6, 7, 8dchrmul 25830 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥f · 𝑦))
493, 4, 5, 6, 8, 7dchrmul 25830 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦f · 𝑥))
5047, 48, 493eqtr4d 2867 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
511, 2, 43, 50isabld 18911 1 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  Vcvv 3469  ifcif 4439   ↦ cmpt 5122  ⟶wf 6330  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140   ∘f cof 7392  ℂcc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531   / cdiv 11286  ℕcn 11625  Basecbs 16474  +gcplusg 16556  Abelcabl 18898  Unitcui 19383  ℤ/nℤczn 20194  DChrcdchr 25814 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-addf 10605  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-ec 8278  df-qs 8282  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-0g 16706  df-imas 16772  df-qus 16773  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17947  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-subg 18267  df-nsg 18268  df-eqg 18269  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-cring 19291  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-subrg 19524  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-lsp 19735  df-sra 19935  df-rgmod 19936  df-lidl 19937  df-rsp 19938  df-2idl 19996  df-cnfld 20090  df-zring 20162  df-zn 20198  df-dchr 25815 This theorem is referenced by:  dchr1  25839  dchrinv  25843  dchr1re  25845  dchrpt  25849  dchrsum2  25850  sumdchr2  25852  dchrhash  25853  dchr2sum  25855  rpvmasumlem  26069  rpvmasum2  26094  dchrisum0re  26095
 Copyright terms: Public domain W3C validator