MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrabl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dchrabl 27137
Description: The set of Dirichlet characters is an Abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dchrabl.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
Assertion
Ref Expression
dchrabl (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐺 ∈ Abel)
Proof of Theorem dchrabl
Dummy variables π‘₯ π‘Ž 𝑏 𝑐 π‘˜ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2727 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ))
2 eqidd 2727 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ))
3 dchrabl.g . . . 4 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
4 eqid 2726 . . . 4 (β„€/nβ„€β€˜π‘) = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
5 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
6 eqid 2726 . . . 4 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
7 simp2 1134 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
8 simp3 1135 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
93, 4, 5, 6, 7, 8dchrmulcl 27132 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
10 fvexd 6899 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ V)
11 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) = (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))
123, 4, 5, 11, 7dchrf 27125 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ π‘₯:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚)
13123adant3r3 1181 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ π‘₯:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚)
143, 4, 5, 11, 8dchrf 27125 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ 𝑦:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚)
15143adant3r3 1181 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ 𝑦:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚)
16 simpr3 1193 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
173, 4, 5, 11, 16dchrf 27125 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ 𝑧:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚)
18 mulass 11197 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚) β†’ ((π‘Ž Β· 𝑏) Β· 𝑐) = (π‘Ž Β· (𝑏 Β· 𝑐)))
1918adantl 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ (π‘Ž ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚)) β†’ ((π‘Ž Β· 𝑏) Β· 𝑐) = (π‘Ž Β· (𝑏 Β· 𝑐)))
2010, 13, 15, 17, 19caofass 7703 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯ ∘f Β· 𝑦) ∘f Β· 𝑧) = (π‘₯ ∘f Β· (𝑦 ∘f Β· 𝑧)))
21 simpr1 1191 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
22 simpr2 1192 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
233, 4, 5, 6, 21, 22dchrmul 27131 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (π‘₯ ∘f Β· 𝑦))
2423oveq1d 7419 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∘f Β· 𝑧) = ((π‘₯ ∘f Β· 𝑦) ∘f Β· 𝑧))
253, 4, 5, 6, 22, 16dchrmul 27131 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) = (𝑦 ∘f Β· 𝑧))
2625oveq2d 7420 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (π‘₯ ∘f Β· (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)) = (π‘₯ ∘f Β· (𝑦 ∘f Β· 𝑧)))
2720, 24, 263eqtr4d 2776 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∘f Β· 𝑧) = (π‘₯ ∘f Β· (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)))
2893adant3r3 1181 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
293, 4, 5, 6, 28, 16dchrmul 27131 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(+gβ€˜πΊ)𝑧) = ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∘f Β· 𝑧))
303, 4, 5, 6, 22, 16dchrmulcl 27132 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
313, 4, 5, 6, 21, 30dchrmul 27131 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)(𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)) = (π‘₯ ∘f Β· (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)))
3227, 29, 313eqtr4d 2776 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(+gβ€˜πΊ)𝑧) = (π‘₯(+gβ€˜πΊ)(𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)))
33 eqid 2726 . . . 4 (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) = (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))
34 eqid 2726 . . . 4 (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), 1, 0)) = (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), 1, 0))
35 id 22 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•)
363, 4, 5, 11, 33, 34, 35dchr1cl 27134 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), 1, 0)) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
37 simpr 484 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
383, 4, 5, 11, 33, 34, 6, 37dchrmullid 27135 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), 1, 0))(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = π‘₯)
39 eqid 2726 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), (1 / (π‘₯β€˜π‘˜)), 0)) = (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), (1 / (π‘₯β€˜π‘˜)), 0))
403, 4, 5, 11, 33, 34, 6, 37, 39dchrinvcl 27136 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), (1 / (π‘₯β€˜π‘˜)), 0)) ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ ((π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), (1 / (π‘₯β€˜π‘˜)), 0))(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), 1, 0))))
4140simpld 494 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), (1 / (π‘₯β€˜π‘˜)), 0)) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
4240simprd 495 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), (1 / (π‘₯β€˜π‘˜)), 0))(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), 1, 0)))
431, 2, 9, 32, 36, 38, 41, 42isgrpd 18885 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐺 ∈ Grp)
44 fvexd 6899 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ V)
45 mulcom 11195 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„‚) β†’ (π‘Ž Β· 𝑏) = (𝑏 Β· π‘Ž))
4645adantl 481 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„‚)) β†’ (π‘Ž Β· 𝑏) = (𝑏 Β· π‘Ž))
4744, 12, 14, 46caofcom 7701 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯ ∘f Β· 𝑦) = (𝑦 ∘f Β· π‘₯))
483, 4, 5, 6, 7, 8dchrmul 27131 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (π‘₯ ∘f Β· 𝑦))
493, 4, 5, 6, 8, 7dchrmul 27131 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝑦 ∘f Β· π‘₯))
5047, 48, 493eqtr4d 2776 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
511, 2, 43, 50isabld 19712 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐺 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  ifcif 4523   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∘f cof 7664  β„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   Β· cmul 11114   / cdiv 11872  β„•cn 12213  Basecbs 17150  +gcplusg 17203  Abelcabl 19698  Unitcui 20254  β„€/nβ„€czn 21384  DChrcdchr 27115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-0g 17393  df-imas 17460  df-qus 17461  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-subg 19047  df-nsg 19048  df-eqg 19049  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-cring 20138  df-oppr 20233  df-dvdsr 20256  df-unit 20257  df-invr 20287  df-subrng 20443  df-subrg 20468  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-lsp 20816  df-sra 21018  df-rgmod 21019  df-lidl 21064  df-rsp 21065  df-2idl 21104  df-cnfld 21236  df-zring 21329  df-zn 21388  df-dchr 27116
This theorem is referenced by:  dchr1  27140  dchrinv  27144  dchr1re  27146  dchrpt  27150  dchrsum2  27151  sumdchr2  27153  dchrhash  27154  dchr2sum  27156  rpvmasumlem  27370  rpvmasum2  27395  dchrisum0re  27396
  Copyright terms: Public domain W3C validator