Theorem dchrabl 27172

Description: The set of Dirichlet characters is an Abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
dchrabl.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
dchrabl	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem dchrabl

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 𝑐 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2731	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
2		eqidd 2731	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺))
3		dchrabl.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
4		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (ℤ/nℤ‘𝑁) = (ℤ/nℤ‘𝑁)
5		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
7		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
8		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	dchrmulcl 27167	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
10		fvexd 6876	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ V)
11		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
12	3, 4, 5, 11, 7	dchrf 27160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
13	12	3adant3r3 1185	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑥:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
14	3, 4, 5, 11, 8	dchrf 27160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑦:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
15	14	3adant3r3 1185	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑦:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
16		simpr3 1197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
17	3, 4, 5, 11, 16	dchrf 27160	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑧:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
18		mulass 11163	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎 · 𝑏) · 𝑐) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑐)))
19	18	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) · 𝑐) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑐)))
20	10, 13, 15, 17, 19	caofass 7696	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥 ∘f · 𝑦) ∘f · 𝑧) = (𝑥 ∘f · (𝑦 ∘f · 𝑧)))
21		simpr1 1195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
22		simpr2 1196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
23	3, 4, 5, 6, 21, 22	dchrmul 27166	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥 ∘f · 𝑦))
24	23	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∘f · 𝑧) = ((𝑥 ∘f · 𝑦) ∘f · 𝑧))
25	3, 4, 5, 6, 22, 16	dchrmul 27166	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑦 ∘f · 𝑧))
26	25	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥 ∘f · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (𝑥 ∘f · (𝑦 ∘f · 𝑧)))
27	20, 24, 26	3eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∘f · 𝑧) = (𝑥 ∘f · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
28	9	3adant3r3 1185	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
29	3, 4, 5, 6, 28, 16	dchrmul 27166	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∘f · 𝑧))
30	3, 4, 5, 6, 22, 16	dchrmulcl 27167	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺))
31	3, 4, 5, 6, 21, 30	dchrmul 27166	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (𝑥 ∘f · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
32	27, 29, 31	3eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑥(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
33		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
34		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), 1, 0)) = (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), 1, 0))
35		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
36	3, 4, 5, 11, 33, 34, 35	dchr1cl 27169	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), 1, 0)) ∈ (Base‘𝐺))
37		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
38	3, 4, 5, 11, 33, 34, 6, 37	dchrmullid 27170	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), 1, 0))(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
39		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (1 / (𝑥‘𝑘)), 0)) = (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (1 / (𝑥‘𝑘)), 0))
40	3, 4, 5, 11, 33, 34, 6, 37, 39	dchrinvcl 27171	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (1 / (𝑥‘𝑘)), 0)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (1 / (𝑥‘𝑘)), 0))(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), 1, 0))))
41	40	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (1 / (𝑥‘𝑘)), 0)) ∈ (Base‘𝐺))
42	40	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (1 / (𝑥‘𝑘)), 0))(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), 1, 0)))
43	1, 2, 9, 32, 36, 38, 41, 42	isgrpd 18897	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Grp)
44		fvexd 6876	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ V)
45		mulcom 11161	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 · 𝑏) = (𝑏 · 𝑎))
46	45	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 · 𝑏) = (𝑏 · 𝑎))
47	44, 12, 14, 46	caofcom 7693	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∘f · 𝑦) = (𝑦 ∘f · 𝑥))
48	3, 4, 5, 6, 7, 8	dchrmul 27166	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥 ∘f · 𝑦))
49	3, 4, 5, 6, 8, 7	dchrmul 27166	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 ∘f · 𝑥))
50	47, 48, 49	3eqtr4d 2775	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
51	1, 2, 43, 50	isabld 19732	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ifcif 4491   ↦ cmpt 5191  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∘_f cof 7654  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   / cdiv 11842  ℕcn 12193  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  Abelcabl 19718  Unitcui 20271  ℤ/nℤczn 21419  DChrcdchr 27150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-ec 8676  df-qs 8680  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-0g 17411  df-imas 17478  df-qus 17479  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-subg 19062  df-nsg 19063  df-eqg 19064  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-lidl 21125  df-rsp 21126  df-2idl 21167  df-cnfld 21272  df-zring 21364  df-zn 21423  df-dchr 27151

This theorem is referenced by:  dchr1  27175  dchrinv  27179  dchr1re  27181  dchrpt  27185  dchrsum2  27186  sumdchr2  27188  dchrhash  27189  dchr2sum  27191  rpvmasumlem  27405  rpvmasum2  27430  dchrisum0re  27431