MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrabl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dchrabl 26754
Description: The set of Dirichlet characters is an Abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dchrabl.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
Assertion
Ref Expression
dchrabl (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐺 ∈ Abel)
Proof of Theorem dchrabl
Dummy variables π‘₯ π‘Ž 𝑏 𝑐 π‘˜ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2733 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ))
2 eqidd 2733 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ))
3 dchrabl.g . . . 4 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
4 eqid 2732 . . . 4 (β„€/nβ„€β€˜π‘) = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
5 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
6 eqid 2732 . . . 4 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
7 simp2 1137 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
8 simp3 1138 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
93, 4, 5, 6, 7, 8dchrmulcl 26749 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
10 fvexd 6906 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ V)
11 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) = (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))
123, 4, 5, 11, 7dchrf 26742 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ π‘₯:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚)
13123adant3r3 1184 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ π‘₯:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚)
143, 4, 5, 11, 8dchrf 26742 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ 𝑦:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚)
15143adant3r3 1184 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ 𝑦:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚)
16 simpr3 1196 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
173, 4, 5, 11, 16dchrf 26742 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ 𝑧:(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))βŸΆβ„‚)
18 mulass 11197 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚) β†’ ((π‘Ž Β· 𝑏) Β· 𝑐) = (π‘Ž Β· (𝑏 Β· 𝑐)))
1918adantl 482 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ (π‘Ž ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚)) β†’ ((π‘Ž Β· 𝑏) Β· 𝑐) = (π‘Ž Β· (𝑏 Β· 𝑐)))
2010, 13, 15, 17, 19caofass 7706 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯ ∘f Β· 𝑦) ∘f Β· 𝑧) = (π‘₯ ∘f Β· (𝑦 ∘f Β· 𝑧)))
21 simpr1 1194 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
22 simpr2 1195 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
233, 4, 5, 6, 21, 22dchrmul 26748 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (π‘₯ ∘f Β· 𝑦))
2423oveq1d 7423 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∘f Β· 𝑧) = ((π‘₯ ∘f Β· 𝑦) ∘f Β· 𝑧))
253, 4, 5, 6, 22, 16dchrmul 26748 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) = (𝑦 ∘f Β· 𝑧))
2625oveq2d 7424 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (π‘₯ ∘f Β· (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)) = (π‘₯ ∘f Β· (𝑦 ∘f Β· 𝑧)))
2720, 24, 263eqtr4d 2782 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∘f Β· 𝑧) = (π‘₯ ∘f Β· (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)))
2893adant3r3 1184 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
293, 4, 5, 6, 28, 16dchrmul 26748 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(+gβ€˜πΊ)𝑧) = ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∘f Β· 𝑧))
303, 4, 5, 6, 22, 16dchrmulcl 26749 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
313, 4, 5, 6, 21, 30dchrmul 26748 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)(𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)) = (π‘₯ ∘f Β· (𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)))
3227, 29, 313eqtr4d 2782 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(+gβ€˜πΊ)𝑧) = (π‘₯(+gβ€˜πΊ)(𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)))
33 eqid 2732 . . . 4 (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) = (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))
34 eqid 2732 . . . 4 (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), 1, 0)) = (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), 1, 0))
35 id 22 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•)
363, 4, 5, 11, 33, 34, 35dchr1cl 26751 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), 1, 0)) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
37 simpr 485 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
383, 4, 5, 11, 33, 34, 6, 37dchrmullid 26752 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), 1, 0))(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = π‘₯)
39 eqid 2732 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), (1 / (π‘₯β€˜π‘˜)), 0)) = (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), (1 / (π‘₯β€˜π‘˜)), 0))
403, 4, 5, 11, 33, 34, 6, 37, 39dchrinvcl 26753 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), (1 / (π‘₯β€˜π‘˜)), 0)) ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ ((π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), (1 / (π‘₯β€˜π‘˜)), 0))(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), 1, 0))))
4140simpld 495 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), (1 / (π‘₯β€˜π‘˜)), 0)) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
4240simprd 496 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), (1 / (π‘₯β€˜π‘˜)), 0))(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↦ if(π‘˜ ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)), 1, 0)))
431, 2, 9, 32, 36, 38, 41, 42isgrpd 18843 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐺 ∈ Grp)
44 fvexd 6906 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ∈ V)
45 mulcom 11195 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„‚) β†’ (π‘Ž Β· 𝑏) = (𝑏 Β· π‘Ž))
4645adantl 482 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž ∈ β„‚ ∧ 𝑏 ∈ β„‚)) β†’ (π‘Ž Β· 𝑏) = (𝑏 Β· π‘Ž))
4744, 12, 14, 46caofcom 7704 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯ ∘f Β· 𝑦) = (𝑦 ∘f Β· π‘₯))
483, 4, 5, 6, 7, 8dchrmul 26748 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (π‘₯ ∘f Β· 𝑦))
493, 4, 5, 6, 8, 7dchrmul 26748 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝑦 ∘f Β· π‘₯))
5047, 48, 493eqtr4d 2782 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
511, 2, 43, 50isabld 19662 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐺 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  ifcif 4528   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∘f cof 7667  β„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   Β· cmul 11114   / cdiv 11870  β„•cn 12211  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  Abelcabl 19648  Unitcui 20168  β„€/nβ„€czn 21051  DChrcdchr 26732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-imas 17453  df-qus 17454  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-nsg 19003  df-eqg 19004  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-lidl 20786  df-rsp 20787  df-2idl 20856  df-cnfld 20944  df-zring 21017  df-zn 21055  df-dchr 26733
This theorem is referenced by:  dchr1  26757  dchrinv  26761  dchr1re  26763  dchrpt  26767  dchrsum2  26768  sumdchr2  26770  dchrhash  26771  dchr2sum  26773  rpvmasumlem  26987  rpvmasum2  27012  dchrisum0re  27013
  Copyright terms: Public domain W3C validator