Theorem dchrabl 27233

Description: The set of Dirichlet characters is an Abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
dchrabl.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
dchrabl	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem dchrabl

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 𝑐 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2738	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
2		eqidd 2738	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺))
3		dchrabl.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (ℤ/nℤ‘𝑁) = (ℤ/nℤ‘𝑁)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
7		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
8		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	dchrmulcl 27228	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
10		fvexd 6857	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ V)
11		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
12	3, 4, 5, 11, 7	dchrf 27221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
13	12	3adant3r3 1186	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑥:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
14	3, 4, 5, 11, 8	dchrf 27221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑦:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
15	14	3adant3r3 1186	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑦:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
16		simpr3 1198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
17	3, 4, 5, 11, 16	dchrf 27221	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑧:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
18		mulass 11126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎 · 𝑏) · 𝑐) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑐)))
19	18	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) · 𝑐) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑐)))
20	10, 13, 15, 17, 19	caofass 7672	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥 ∘f · 𝑦) ∘f · 𝑧) = (𝑥 ∘f · (𝑦 ∘f · 𝑧)))
21		simpr1 1196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
22		simpr2 1197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
23	3, 4, 5, 6, 21, 22	dchrmul 27227	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥 ∘f · 𝑦))
24	23	oveq1d 7383	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∘f · 𝑧) = ((𝑥 ∘f · 𝑦) ∘f · 𝑧))
25	3, 4, 5, 6, 22, 16	dchrmul 27227	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑦 ∘f · 𝑧))
26	25	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥 ∘f · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (𝑥 ∘f · (𝑦 ∘f · 𝑧)))
27	20, 24, 26	3eqtr4d 2782	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∘f · 𝑧) = (𝑥 ∘f · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
28	9	3adant3r3 1186	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
29	3, 4, 5, 6, 28, 16	dchrmul 27227	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∘f · 𝑧))
30	3, 4, 5, 6, 22, 16	dchrmulcl 27228	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺))
31	3, 4, 5, 6, 21, 30	dchrmul 27227	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (𝑥 ∘f · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
32	27, 29, 31	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑥(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
33		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
34		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), 1, 0)) = (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), 1, 0))
35		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
36	3, 4, 5, 11, 33, 34, 35	dchr1cl 27230	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), 1, 0)) ∈ (Base‘𝐺))
37		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
38	3, 4, 5, 11, 33, 34, 6, 37	dchrmullid 27231	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), 1, 0))(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
39		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (1 / (𝑥‘𝑘)), 0)) = (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (1 / (𝑥‘𝑘)), 0))
40	3, 4, 5, 11, 33, 34, 6, 37, 39	dchrinvcl 27232	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (1 / (𝑥‘𝑘)), 0)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (1 / (𝑥‘𝑘)), 0))(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), 1, 0))))
41	40	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (1 / (𝑥‘𝑘)), 0)) ∈ (Base‘𝐺))
42	40	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (1 / (𝑥‘𝑘)), 0))(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), 1, 0)))
43	1, 2, 9, 32, 36, 38, 41, 42	isgrpd 18900	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Grp)
44		fvexd 6857	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ V)
45		mulcom 11124	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 · 𝑏) = (𝑏 · 𝑎))
46	45	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 · 𝑏) = (𝑏 · 𝑎))
47	44, 12, 14, 46	caofcom 7669	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∘f · 𝑦) = (𝑦 ∘f · 𝑥))
48	3, 4, 5, 6, 7, 8	dchrmul 27227	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥 ∘f · 𝑦))
49	3, 4, 5, 6, 8, 7	dchrmul 27227	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 ∘f · 𝑥))
50	47, 48, 49	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
51	1, 2, 43, 50	isabld 19736	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  ifcif 4481   ↦ cmpt 5181  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∘_f cof 7630  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   / cdiv 11806  ℕcn 12157  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  Abelcabl 19722  Unitcui 20303  ℤ/nℤczn 21469  DChrcdchr 27211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-ec 8647  df-qs 8651  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-0g 17373  df-imas 17441  df-qus 17442  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19065  df-nsg 19066  df-eqg 19067  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-sra 21137  df-rgmod 21138  df-lidl 21175  df-rsp 21176  df-2idl 21217  df-cnfld 21322  df-zring 21414  df-zn 21473  df-dchr 27212

This theorem is referenced by:  dchr1  27236  dchrinv  27240  dchr1re  27242  dchrpt  27246  dchrsum2  27247  sumdchr2  27249  dchrhash  27250  dchr2sum  27252  rpvmasumlem  27466  rpvmasum2  27491  dchrisum0re  27492