Theorem dchrabl 27202

Description: The set of Dirichlet characters is an Abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
dchrabl.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
dchrabl	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem dchrabl

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 𝑐 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2734	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
2		eqidd 2734	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺))
3		dchrabl.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
4		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (ℤ/nℤ‘𝑁) = (ℤ/nℤ‘𝑁)
5		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
7		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
8		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	dchrmulcl 27197	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
10		fvexd 6846	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ V)
11		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
12	3, 4, 5, 11, 7	dchrf 27190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
13	12	3adant3r3 1185	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑥:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
14	3, 4, 5, 11, 8	dchrf 27190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑦:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
15	14	3adant3r3 1185	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑦:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
16		simpr3 1197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
17	3, 4, 5, 11, 16	dchrf 27190	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑧:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
18		mulass 11104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎 · 𝑏) · 𝑐) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑐)))
19	18	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) · 𝑐) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑐)))
20	10, 13, 15, 17, 19	caofass 7659	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥 ∘f · 𝑦) ∘f · 𝑧) = (𝑥 ∘f · (𝑦 ∘f · 𝑧)))
21		simpr1 1195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
22		simpr2 1196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
23	3, 4, 5, 6, 21, 22	dchrmul 27196	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥 ∘f · 𝑦))
24	23	oveq1d 7370	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∘f · 𝑧) = ((𝑥 ∘f · 𝑦) ∘f · 𝑧))
25	3, 4, 5, 6, 22, 16	dchrmul 27196	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑦 ∘f · 𝑧))
26	25	oveq2d 7371	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥 ∘f · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (𝑥 ∘f · (𝑦 ∘f · 𝑧)))
27	20, 24, 26	3eqtr4d 2778	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∘f · 𝑧) = (𝑥 ∘f · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
28	9	3adant3r3 1185	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
29	3, 4, 5, 6, 28, 16	dchrmul 27196	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∘f · 𝑧))
30	3, 4, 5, 6, 22, 16	dchrmulcl 27197	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (Base‘𝐺))
31	3, 4, 5, 6, 21, 30	dchrmul 27196	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (𝑥 ∘f · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
32	27, 29, 31	3eqtr4d 2778	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑥(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
33		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
34		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), 1, 0)) = (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), 1, 0))
35		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
36	3, 4, 5, 11, 33, 34, 35	dchr1cl 27199	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), 1, 0)) ∈ (Base‘𝐺))
37		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
38	3, 4, 5, 11, 33, 34, 6, 37	dchrmullid 27200	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), 1, 0))(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
39		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (1 / (𝑥‘𝑘)), 0)) = (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (1 / (𝑥‘𝑘)), 0))
40	3, 4, 5, 11, 33, 34, 6, 37, 39	dchrinvcl 27201	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (1 / (𝑥‘𝑘)), 0)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (1 / (𝑥‘𝑘)), 0))(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), 1, 0))))
41	40	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (1 / (𝑥‘𝑘)), 0)) ∈ (Base‘𝐺))
42	40	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), (1 / (𝑥‘𝑘)), 0))(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑘 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↦ if(𝑘 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)), 1, 0)))
43	1, 2, 9, 32, 36, 38, 41, 42	isgrpd 18881	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Grp)
44		fvexd 6846	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ V)
45		mulcom 11102	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 · 𝑏) = (𝑏 · 𝑎))
46	45	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ)) → (𝑎 · 𝑏) = (𝑏 · 𝑎))
47	44, 12, 14, 46	caofcom 7656	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∘f · 𝑦) = (𝑦 ∘f · 𝑥))
48	3, 4, 5, 6, 7, 8	dchrmul 27196	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥 ∘f · 𝑦))
49	3, 4, 5, 6, 8, 7	dchrmul 27196	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦 ∘f · 𝑥))
50	47, 48, 49	3eqtr4d 2778	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
51	1, 2, 43, 50	isabld 19717	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438  ifcif 4476   ↦ cmpt 5176  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ∘_f cof 7617  ℂcc 11014  0cc0 11016  1c1 11017   · cmul 11021   / cdiv 11784  ℕcn 12135  Basecbs 17130  +_gcplusg 17171  Abelcabl 19703  Unitcui 20283  ℤ/nℤczn 21449  DChrcdchr 27180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-addf 11095  ax-mulf 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-ec 8633  df-qs 8637  df-map 8761  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-7 12203  df-8 12204  df-9 12205  df-n0 12392  df-z 12479  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13418  df-struct 17068  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-ress 17152  df-plusg 17184  df-mulr 17185  df-starv 17186  df-sca 17187  df-vsca 17188  df-ip 17189  df-tset 17190  df-ple 17191  df-ds 17193  df-unif 17194  df-0g 17355  df-imas 17422  df-qus 17423  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-mhm 18701  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19046  df-nsg 19047  df-eqg 19048  df-cmn 19704  df-abl 19705  df-mgp 20069  df-rng 20081  df-ur 20110  df-ring 20163  df-cring 20164  df-oppr 20265  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-subrng 20471  df-subrg 20495  df-lmod 20805  df-lss 20875  df-lsp 20915  df-sra 21117  df-rgmod 21118  df-lidl 21155  df-rsp 21156  df-2idl 21197  df-cnfld 21302  df-zring 21394  df-zn 21453  df-dchr 27181

This theorem is referenced by:  dchr1  27205  dchrinv  27209  dchr1re  27211  dchrpt  27215  dchrsum2  27216  sumdchr2  27218  dchrhash  27219  dchr2sum  27221  rpvmasumlem  27435  rpvmasum2  27460  dchrisum0re  27461