MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgabl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgabl 19746
Description: A subgroup of an abelian group is also abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subgabl.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
subgabl ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ Abel)

Proof of Theorem subgabl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgabl.h . . . 4 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
21subgbas 19047 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
32adantl 481 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
4 eqid 2731 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
51, 4ressplusg 17240 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (+g𝐺) = (+g𝐻))
65adantl 481 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (+g𝐺) = (+g𝐻))
71subggrp 19046 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
87adantl 481 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ Grp)
9 simp1l 1196 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆) → 𝐺 ∈ Abel)
10 simp1r 1197 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
11 eqid 2731 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
1211subgss 19044 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
1310, 12syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
14 simp2 1136 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆) → 𝑥𝑆)
1513, 14sseldd 3983 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
16 simp3 1137 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆) → 𝑦𝑆)
1713, 16sseldd 3983 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
1811, 4ablcom 19709 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
199, 15, 17, 18syl3anc 1370 . 2 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
203, 6, 8, 19isabld 19705 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wss 3948  cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  s cress 17178  +gcplusg 17202  Grpcgrp 18856  SubGrpcsubg 19037  Abelcabl 19691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-grp 18859  df-subg 19040  df-cmn 19692  df-abl 19693
This theorem is referenced by:  pgpfaclem2  19994  pgpfaclem3  19995  ablfaclem3  19999  issubrng2  20447  rnglidlrng  21037  efabl  26296  lidlabl  46913
  Copyright terms: Public domain W3C validator