Theorem lmodabl 20864

Description: A left module is an abelian group (of vectors, under addition). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lmodabl	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)

Proof of Theorem lmodabl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2736	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
2		eqidd 2736	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
3		lmodgrp 20822	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
4		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5		eqid 2735	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
6	4, 5	lmodcom 20863	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑊)𝑥))
7	1, 2, 3, 6	isabld 19774	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6530  Basecbs 17226  +_gcplusg 17269  Abelcabl 19760  LModclmod 20815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-plusg 17282  df-0g 17453  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-cmn 19761  df-abl 19762  df-mgp 20099  df-ur 20140  df-ring 20193  df-lmod 20817

This theorem is referenced by:  lmodcmn  20865  lmodnegadd  20866  lmodvsubadd  20868  lmodvaddsub4  20869  lssvancl1  20900  invlmhm  20998  lmhmplusg  21000  lsmcl  21039  lspprabs  21051  pj1lmhm  21056  pj1lmhm2  21057  lvecindp  21097  lvecindp2  21098  lsmcv  21100  zlmlmod  21481  pjdm2  21669  pjf2  21672  pjfo  21673  ocvpj  21675  frlmsslsp  21754  nlmtlm  24631  ngpocelbl  24641  nmhmplusg  24694  clmabl  25018  cvsi  25079  minveclem2  25376  pjthlem2  25388  ttgcontlem1  28810  quslmod  33319  quslmhm  33320  lindsunlem  33610  qusdimsum  33614  fedgmullem2  33616  bj-modssabl  37244  lcvexchlem3  39000  lcvexchlem4  39001  lcvexchlem5  39002  lsatcvatlem  39013  lsatcvat  39014  lsatcvat3  39016  l1cvat  39019  lshpsmreu  39073  lshpkrlem5  39078  dia2dimlem5  41033  dihjatc3  41278  dihmeetlem9N  41280  dihjatcclem1  41383  dihjat  41388  lclkrlem2b  41473  baerlem3lem1  41672  baerlem5alem1  41673  baerlem5blem1  41674  baerlem3lem2  41675  baerlem5alem2  41676  baerlem5blem2  41677  hdmaprnlem7N  41820  isnumbasgrplem3  43076  gsumlsscl  48303