Theorem lmodabl 21235

Description: A left module is an abelian group (of vectors, under addition). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lmodabl	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)

Proof of Theorem lmodabl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2764	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
2		eqidd 2764	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
3		lmodgrp 21193	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5		eqid 2763	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
6	4, 5	lmodcom 21234	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑊)𝑥))
7	1, 2, 3, 6	isabld 20060	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  Abelcabl 20046  LModclmod 21186

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-ur 20459  df-ring 20512  df-lmod 21188

This theorem is used by:  lmodcmn  21236  lmodnegadd  21237  lmodvsubadd  21239  lmodvaddsub4  21240  lssvancl1  21271  invlmhm  21368  lmhmplusg  21370  lsmcl  21409  lspprabs  21421  pj1lmhm  21426  pj1lmhm2  21427  lvecindp  21467  lvecindp2  21468  lsmcv  21470  zlmlmod  21883  pjdm2  22072  pjf2  22075  pjfo  22076  ocvpj  22078  frlmsslsp  22157  nlmtlm  25068  ngpocelbl  25078  nmhmplusg  25131  clmabl  25445  cvsi  25506  minveclem2  25802  pjthlem2  25814  ttgcontlem1  29519  quslmod  34023  quslmhm  34024  lindsunlem  34367  qusdimsum  34371  fedgmullem2  34373  bj-modssabl  38469  lcvexchlem3  40359  lcvexchlem4  40360  lcvexchlem5  40361  lsatcvatlem  40372  lsatcvat  40373  lsatcvat3  40375  l1cvat  40378  lshpsmreu  40432  lshpkrlem5  40437  dia2dimlem5  42391  dihjatc3  42636  dihmeetlem9N  42638  dihjatcclem1  42741  dihjat  42746  lclkrlem2b  42831  baerlem3lem1  43030  baerlem5alem1  43031  baerlem5blem1  43032  baerlem3lem2  43033  baerlem5alem2  43034  baerlem5blem2  43035  hdmaprnlem7N  43178  isnumbasgrplem3  44372  gsumlsscl  49823