Theorem lmodabl 21093

Description: A left module is an abelian group (of vectors, under addition). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lmodabl	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)

Proof of Theorem lmodabl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2761	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
2		eqidd 2761	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
3		lmodgrp 21051	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5		eqid 2760	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
6	4, 5	lmodcom 21092	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑊)𝑥))
7	1, 2, 3, 6	isabld 19922	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  Basecbs 17301  +_gcplusg 17342  Abelcabl 19908  LModclmod 21044

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-plusg 17355  df-0g 17526  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-ur 20321  df-ring 20374  df-lmod 21046

This theorem is used by:  lmodcmn  21094  lmodnegadd  21095  lmodvsubadd  21097  lmodvaddsub4  21098  lssvancl1  21129  invlmhm  21226  lmhmplusg  21228  lsmcl  21267  lspprabs  21279  pj1lmhm  21284  pj1lmhm2  21285  lvecindp  21325  lvecindp2  21326  lsmcv  21328  zlmlmod  21735  pjdm2  21924  pjf2  21927  pjfo  21928  ocvpj  21930  frlmsslsp  22009  nlmtlm  24920  ngpocelbl  24930  nmhmplusg  24983  clmabl  25297  cvsi  25358  minveclem2  25654  pjthlem2  25666  ttgcontlem1  29341  quslmod  33798  quslmhm  33799  lindsunlem  34134  qusdimsum  34138  fedgmullem2  34140  bj-modssabl  38032  lcvexchlem3  39909  lcvexchlem4  39910  lcvexchlem5  39911  lsatcvatlem  39922  lsatcvat  39923  lsatcvat3  39925  l1cvat  39928  lshpsmreu  39982  lshpkrlem5  39987  dia2dimlem5  41941  dihjatc3  42186  dihmeetlem9N  42188  dihjatcclem1  42291  dihjat  42296  lclkrlem2b  42381  baerlem3lem1  42580  baerlem5alem1  42581  baerlem5blem1  42582  baerlem3lem2  42583  baerlem5alem2  42584  baerlem5blem2  42585  hdmaprnlem7N  42728  isnumbasgrplem3  43946  gsumlsscl  49310