Theorem lmodabl 20846

Description: A left module is an abelian group (of vectors, under addition). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lmodabl	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)

Proof of Theorem lmodabl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2734	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
2		eqidd 2734	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
3		lmodgrp 20804	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
4		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5		eqid 2733	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
6	4, 5	lmodcom 20845	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑊)𝑥))
7	1, 2, 3, 6	isabld 19711	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6488  Basecbs 17124  +_gcplusg 17165  Abelcabl 19697  LModclmod 20797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-plusg 17178  df-0g 17349  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20063  df-ur 20104  df-ring 20157  df-lmod 20799

This theorem is referenced by:  lmodcmn  20847  lmodnegadd  20848  lmodvsubadd  20850  lmodvaddsub4  20851  lssvancl1  20882  invlmhm  20980  lmhmplusg  20982  lsmcl  21021  lspprabs  21033  pj1lmhm  21038  pj1lmhm2  21039  lvecindp  21079  lvecindp2  21080  lsmcv  21082  zlmlmod  21463  pjdm2  21652  pjf2  21655  pjfo  21656  ocvpj  21658  frlmsslsp  21737  nlmtlm  24612  ngpocelbl  24622  nmhmplusg  24675  clmabl  24999  cvsi  25060  minveclem2  25356  pjthlem2  25368  ttgcontlem1  28866  quslmod  33332  quslmhm  33333  lindsunlem  33660  qusdimsum  33664  fedgmullem2  33666  bj-modssabl  37347  lcvexchlem3  39158  lcvexchlem4  39159  lcvexchlem5  39160  lsatcvatlem  39171  lsatcvat  39172  lsatcvat3  39174  l1cvat  39177  lshpsmreu  39231  lshpkrlem5  39236  dia2dimlem5  41190  dihjatc3  41435  dihmeetlem9N  41437  dihjatcclem1  41540  dihjat  41545  lclkrlem2b  41630  baerlem3lem1  41829  baerlem5alem1  41830  baerlem5blem1  41831  baerlem3lem2  41832  baerlem5alem2  41833  baerlem5blem2  41834  hdmaprnlem7N  41977  isnumbasgrplem3  43225  gsumlsscl  48507