Theorem lmodabl 20964

Description: A left module is an abelian group (of vectors, under addition). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lmodabl	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)

Proof of Theorem lmodabl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2762	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
2		eqidd 2762	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
3		lmodgrp 20922	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
4		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5		eqid 2761	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
6	4, 5	lmodcom 20963	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑊)𝑥))
7	1, 2, 3, 6	isabld 19826	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6516  Basecbs 17236  +_gcplusg 17277  Abelcabl 19812  LModclmod 20915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-plusg 17290  df-0g 17461  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-cmn 19813  df-abl 19814  df-mgp 20178  df-ur 20219  df-ring 20272  df-lmod 20917

This theorem is referenced by:  lmodcmn  20965  lmodnegadd  20966  lmodvsubadd  20968  lmodvaddsub4  20969  lssvancl1  21000  invlmhm  21097  lmhmplusg  21099  lsmcl  21138  lspprabs  21150  pj1lmhm  21155  pj1lmhm2  21156  lvecindp  21196  lvecindp2  21197  lsmcv  21199  zlmlmod  21562  pjdm2  21751  pjf2  21754  pjfo  21755  ocvpj  21757  frlmsslsp  21836  nlmtlm  24742  ngpocelbl  24752  nmhmplusg  24805  clmabl  25119  cvsi  25180  minveclem2  25476  pjthlem2  25488  ttgcontlem1  29042  quslmod  33505  quslmhm  33506  lindsunlem  33882  qusdimsum  33886  fedgmullem2  33888  bj-modssabl  37733  lcvexchlem3  39621  lcvexchlem4  39622  lcvexchlem5  39623  lsatcvatlem  39634  lsatcvat  39635  lsatcvat3  39637  l1cvat  39640  lshpsmreu  39694  lshpkrlem5  39699  dia2dimlem5  41653  dihjatc3  41898  dihmeetlem9N  41900  dihjatcclem1  42003  dihjat  42008  lclkrlem2b  42093  baerlem3lem1  42292  baerlem5alem1  42293  baerlem5blem1  42294  baerlem3lem2  42295  baerlem5alem2  42296  baerlem5blem2  42297  hdmaprnlem7N  42440  isnumbasgrplem3  43643  gsumlsscl  48963