MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodabl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodabl 19673
Description: A left module is an abelian group (of vectors, under addition). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
lmodabl (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)

Proof of Theorem lmodabl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2820 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
2 eqidd 2820 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (+g𝑊) = (+g𝑊))
3 lmodgrp 19633 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
4 eqid 2819 . . 3 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5 eqid 2819 . . 3 (+g𝑊) = (+g𝑊)
64, 5lmodcom 19672 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(+g𝑊)𝑦) = (𝑦(+g𝑊)𝑥))
71, 2, 3, 6isabld 18912 1 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2108  cfv 6348  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  Abelcabl 18899  LModclmod 19626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-lmod 19628
This theorem is referenced by:  lmodcmn  19674  lmodnegadd  19675  lmodvsubadd  19677  lmodvaddsub4  19678  lssvancl1  19708  invlmhm  19806  lmhmplusg  19808  lsmcl  19847  lspprabs  19859  pj1lmhm  19864  pj1lmhm2  19865  lvecindp  19902  lvecindp2  19903  lsmcv  19905  zlmlmod  20662  pjdm2  20847  pjf2  20850  pjfo  20851  ocvpj  20853  frlmsslsp  20932  nlmtlm  23295  ngpocelbl  23305  nmhmplusg  23358  clmabl  23665  cvsi  23726  minveclem2  24021  pjthlem2  24033  ttgcontlem1  26663  quslmod  30916  quslmhm  30917  lindsunlem  31013  qusdimsum  31017  fedgmullem2  31019  bj-modssabl  34554  lcvexchlem3  36164  lcvexchlem4  36165  lcvexchlem5  36166  lsatcvatlem  36177  lsatcvat  36178  lsatcvat3  36180  l1cvat  36183  lshpsmreu  36237  lshpkrlem5  36242  dia2dimlem5  38196  dihjatc3  38441  dihmeetlem9N  38443  dihjatcclem1  38546  dihjat  38551  lclkrlem2b  38636  baerlem3lem1  38835  baerlem5alem1  38836  baerlem5blem1  38837  baerlem3lem2  38838  baerlem5alem2  38839  baerlem5blem2  38840  hdmaprnlem7N  38983  isnumbasgrplem3  39696  gsumlsscl  44422
  Copyright terms: Public domain W3C validator