Theorem lmodabl 21059

Description: A left module is an abelian group (of vectors, under addition). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lmodabl	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)

Proof of Theorem lmodabl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2766	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
2		eqidd 2766	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
3		lmodgrp 21017	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
4		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5		eqid 2765	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
6	4, 5	lmodcom 21058	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑊)𝑥))
7	1, 2, 3, 6	isabld 19888	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  Basecbs 17286  +_gcplusg 17327  Abelcabl 19874  LModclmod 21010

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-plusg 17340  df-0g 17511  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-cmn 19875  df-abl 19876  df-mgp 20240  df-ur 20287  df-ring 20340  df-lmod 21012

This theorem is used by:  lmodcmn  21060  lmodnegadd  21061  lmodvsubadd  21063  lmodvaddsub4  21064  lssvancl1  21095  invlmhm  21192  lmhmplusg  21194  lsmcl  21233  lspprabs  21245  pj1lmhm  21250  pj1lmhm2  21251  lvecindp  21291  lvecindp2  21292  lsmcv  21294  zlmlmod  21701  pjdm2  21890  pjf2  21893  pjfo  21894  ocvpj  21896  frlmsslsp  21975  nlmtlm  24880  ngpocelbl  24890  nmhmplusg  24943  clmabl  25257  cvsi  25318  minveclem2  25614  pjthlem2  25626  ttgcontlem1  29263  quslmod  33701  quslmhm  33702  lindsunlem  34037  qusdimsum  34041  fedgmullem2  34043  bj-modssabl  37957  lcvexchlem3  39843  lcvexchlem4  39844  lcvexchlem5  39845  lsatcvatlem  39856  lsatcvat  39857  lsatcvat3  39859  l1cvat  39862  lshpsmreu  39916  lshpkrlem5  39921  dia2dimlem5  41875  dihjatc3  42120  dihmeetlem9N  42122  dihjatcclem1  42225  dihjat  42230  lclkrlem2b  42315  baerlem3lem1  42514  baerlem5alem1  42515  baerlem5blem1  42516  baerlem3lem2  42517  baerlem5alem2  42518  baerlem5blem2  42519  hdmaprnlem7N  42662  isnumbasgrplem3  43865  gsumlsscl  49193