Theorem lmodabl 19803

Description: A left module is an abelian group (of vectors, under addition). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lmodabl	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)

Proof of Theorem lmodabl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2740	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
2		eqidd 2740	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
3		lmodgrp 19763	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
4		eqid 2739	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5		eqid 2739	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
6	4, 5	lmodcom 19802	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑊)𝑥))
7	1, 2, 3, 6	isabld 19041	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6340  Basecbs 16589  +_gcplusg 16671  Abelcabl 19028  LModclmod 19756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-er 8323  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-nn 11720  df-2 11782  df-ndx 16592  df-slot 16593  df-base 16595  df-sets 16596  df-plusg 16684  df-0g 16821  df-mgm 17971  df-sgrp 18020  df-mnd 18031  df-grp 18225  df-minusg 18226  df-cmn 19029  df-abl 19030  df-mgp 19362  df-ur 19374  df-ring 19421  df-lmod 19758

This theorem is referenced by:  lmodcmn  19804  lmodnegadd  19805  lmodvsubadd  19807  lmodvaddsub4  19808  lssvancl1  19838  invlmhm  19936  lmhmplusg  19938  lsmcl  19977  lspprabs  19989  pj1lmhm  19994  pj1lmhm2  19995  lvecindp  20032  lvecindp2  20033  lsmcv  20035  zlmlmod  20346  pjdm2  20530  pjf2  20533  pjfo  20534  ocvpj  20536  frlmsslsp  20615  nlmtlm  23450  ngpocelbl  23460  nmhmplusg  23513  clmabl  23824  cvsi  23885  minveclem2  24181  pjthlem2  24193  ttgcontlem1  26834  quslmod  31129  quslmhm  31130  lindsunlem  31280  qusdimsum  31284  fedgmullem2  31286  bj-modssabl  35095  lcvexchlem3  36696  lcvexchlem4  36697  lcvexchlem5  36698  lsatcvatlem  36709  lsatcvat  36710  lsatcvat3  36712  l1cvat  36715  lshpsmreu  36769  lshpkrlem5  36774  dia2dimlem5  38728  dihjatc3  38973  dihmeetlem9N  38975  dihjatcclem1  39078  dihjat  39083  lclkrlem2b  39168  baerlem3lem1  39367  baerlem5alem1  39368  baerlem5blem1  39369  baerlem3lem2  39370  baerlem5alem2  39371  baerlem5blem2  39372  hdmaprnlem7N  39515  isnumbasgrplem3  40525  gsumlsscl  45283