Theorem lmodabl 21004

Description: A left module is an abelian group (of vectors, under addition). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lmodabl	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)

Proof of Theorem lmodabl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2770	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
2		eqidd 2770	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
3		lmodgrp 20962	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
4		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5		eqid 2769	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
6	4, 5	lmodcom 21003	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑊)𝑥))
7	1, 2, 3, 6	isabld 19861	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6533  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306  Abelcabl 19847  LModclmod 20955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-plusg 17319  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-ur 20260  df-ring 20313  df-lmod 20957

This theorem is referenced by:  lmodcmn  21005  lmodnegadd  21006  lmodvsubadd  21008  lmodvaddsub4  21009  lssvancl1  21040  invlmhm  21137  lmhmplusg  21139  lsmcl  21178  lspprabs  21190  pj1lmhm  21195  pj1lmhm2  21196  lvecindp  21236  lvecindp2  21237  lsmcv  21239  zlmlmod  21637  pjdm2  21826  pjf2  21829  pjfo  21830  ocvpj  21832  frlmsslsp  21911  nlmtlm  24816  ngpocelbl  24826  nmhmplusg  24879  clmabl  25193  cvsi  25254  minveclem2  25550  pjthlem2  25562  ttgcontlem1  29171  quslmod  33617  quslmhm  33618  lindsunlem  33955  qusdimsum  33959  fedgmullem2  33961  bj-modssabl  37807  lcvexchlem3  39695  lcvexchlem4  39696  lcvexchlem5  39697  lsatcvatlem  39708  lsatcvat  39709  lsatcvat3  39711  l1cvat  39714  lshpsmreu  39768  lshpkrlem5  39773  dia2dimlem5  41727  dihjatc3  41972  dihmeetlem9N  41974  dihjatcclem1  42077  dihjat  42082  lclkrlem2b  42167  baerlem3lem1  42366  baerlem5alem1  42367  baerlem5blem1  42368  baerlem3lem2  42369  baerlem5alem2  42370  baerlem5blem2  42371  hdmaprnlem7N  42514  isnumbasgrplem3  43717  gsumlsscl  49038