Theorem lmodabl 21177

Description: A left module is an abelian group (of vectors, under addition). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lmodabl	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)

Proof of Theorem lmodabl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2762	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
2		eqidd 2762	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
3		lmodgrp 21135	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
4		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5		eqid 2761	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
6	4, 5	lmodcom 21176	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑊)𝑥))
7	1, 2, 3, 6	isabld 20002	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  Basecbs 17380  +_gcplusg 17421  Abelcabl 19988  LModclmod 21128

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-plusg 17434  df-0g 17605  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-ur 20401  df-ring 20454  df-lmod 21130

This theorem is used by:  lmodcmn  21178  lmodnegadd  21179  lmodvsubadd  21181  lmodvaddsub4  21182  lssvancl1  21213  invlmhm  21310  lmhmplusg  21312  lsmcl  21351  lspprabs  21363  pj1lmhm  21368  pj1lmhm2  21369  lvecindp  21409  lvecindp2  21410  lsmcv  21412  zlmlmod  21821  pjdm2  22010  pjf2  22013  pjfo  22014  ocvpj  22016  frlmsslsp  22095  nlmtlm  25006  ngpocelbl  25016  nmhmplusg  25069  clmabl  25383  cvsi  25444  minveclem2  25740  pjthlem2  25752  ttgcontlem1  29455  quslmod  33912  quslmhm  33913  lindsunlem  34249  qusdimsum  34253  fedgmullem2  34255  bj-modssabl  38181  lcvexchlem3  40073  lcvexchlem4  40074  lcvexchlem5  40075  lsatcvatlem  40086  lsatcvat  40087  lsatcvat3  40089  l1cvat  40092  lshpsmreu  40146  lshpkrlem5  40151  dia2dimlem5  42105  dihjatc3  42350  dihmeetlem9N  42352  dihjatcclem1  42455  dihjat  42460  lclkrlem2b  42545  baerlem3lem1  42744  baerlem5alem1  42745  baerlem5blem1  42746  baerlem3lem2  42747  baerlem5alem2  42748  baerlem5blem2  42749  hdmaprnlem7N  42892  isnumbasgrplem3  44091  gsumlsscl  49461