Theorem lmodabl 20663

Description: A left module is an abelian group (of vectors, under addition). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lmodabl	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)

Proof of Theorem lmodabl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2731	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
2		eqidd 2731	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
3		lmodgrp 20621	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
4		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5		eqid 2730	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
6	4, 5	lmodcom 20662	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑊)𝑥))
7	1, 2, 3, 6	isabld 19704	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104  ‘cfv 6542  Basecbs 17148  +_gcplusg 17201  Abelcabl 19690  LModclmod 20614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-ur 20076  df-ring 20129  df-lmod 20616

This theorem is referenced by:  lmodcmn  20664  lmodnegadd  20665  lmodvsubadd  20667  lmodvaddsub4  20668  lssvancl1  20699  invlmhm  20797  lmhmplusg  20799  lsmcl  20838  lspprabs  20850  pj1lmhm  20855  pj1lmhm2  20856  lvecindp  20896  lvecindp2  20897  lsmcv  20899  zlmlmod  21295  pjdm2  21485  pjf2  21488  pjfo  21489  ocvpj  21491  frlmsslsp  21570  nlmtlm  24431  ngpocelbl  24441  nmhmplusg  24494  clmabl  24816  cvsi  24877  minveclem2  25174  pjthlem2  25186  ttgcontlem1  28409  quslmod  32743  quslmhm  32744  lindsunlem  32997  qusdimsum  33001  fedgmullem2  33003  bj-modssabl  36464  lcvexchlem3  38209  lcvexchlem4  38210  lcvexchlem5  38211  lsatcvatlem  38222  lsatcvat  38223  lsatcvat3  38225  l1cvat  38228  lshpsmreu  38282  lshpkrlem5  38287  dia2dimlem5  40242  dihjatc3  40487  dihmeetlem9N  40489  dihjatcclem1  40592  dihjat  40597  lclkrlem2b  40682  baerlem3lem1  40881  baerlem5alem1  40882  baerlem5blem1  40883  baerlem3lem2  40884  baerlem5alem2  40885  baerlem5blem2  40886  hdmaprnlem7N  41029  isnumbasgrplem3  42149  gsumlsscl  47147