Theorem lmodabl 20511

Description: A left module is an abelian group (of vectors, under addition). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lmodabl	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)

Proof of Theorem lmodabl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2733	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
2		eqidd 2733	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
3		lmodgrp 20470	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
4		eqid 2732	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5		eqid 2732	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
6	4, 5	lmodcom 20510	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑊)𝑥))
7	1, 2, 3, 6	isabld 19657	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6540  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  Abelcabl 19643  LModclmod 20463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465

This theorem is referenced by:  lmodcmn  20512  lmodnegadd  20513  lmodvsubadd  20515  lmodvaddsub4  20516  lssvancl1  20547  invlmhm  20645  lmhmplusg  20647  lsmcl  20686  lspprabs  20698  pj1lmhm  20703  pj1lmhm2  20704  lvecindp  20743  lvecindp2  20744  lsmcv  20746  zlmlmod  21067  pjdm2  21257  pjf2  21260  pjfo  21261  ocvpj  21263  frlmsslsp  21342  nlmtlm  24202  ngpocelbl  24212  nmhmplusg  24265  clmabl  24576  cvsi  24637  minveclem2  24934  pjthlem2  24946  ttgcontlem1  28131  quslmod  32457  quslmhm  32458  lindsunlem  32697  qusdimsum  32701  fedgmullem2  32703  bj-modssabl  36149  lcvexchlem3  37894  lcvexchlem4  37895  lcvexchlem5  37896  lsatcvatlem  37907  lsatcvat  37908  lsatcvat3  37910  l1cvat  37913  lshpsmreu  37967  lshpkrlem5  37972  dia2dimlem5  39927  dihjatc3  40172  dihmeetlem9N  40174  dihjatcclem1  40277  dihjat  40282  lclkrlem2b  40367  baerlem3lem1  40566  baerlem5alem1  40567  baerlem5blem1  40568  baerlem3lem2  40569  baerlem5alem2  40570  baerlem5blem2  40571  hdmaprnlem7N  40714  isnumbasgrplem3  41832  gsumlsscl  47012