Theorem lmodabl 21190

Description: A left module is an abelian group (of vectors, under addition). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lmodabl	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)

Proof of Theorem lmodabl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2761	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
2		eqidd 2761	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
3		lmodgrp 21148	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5		eqid 2760	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
6	4, 5	lmodcom 21189	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑊)𝑥))
7	1, 2, 3, 6	isabld 20015	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6539  Basecbs 17393  +_gcplusg 17434  Abelcabl 20001  LModclmod 21141

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-plusg 17447  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-ur 20414  df-ring 20467  df-lmod 21143

This theorem is used by:  lmodcmn  21191  lmodnegadd  21192  lmodvsubadd  21194  lmodvaddsub4  21195  lssvancl1  21226  invlmhm  21323  lmhmplusg  21325  lsmcl  21364  lspprabs  21376  pj1lmhm  21381  pj1lmhm2  21382  lvecindp  21422  lvecindp2  21423  lsmcv  21425  zlmlmod  21834  pjdm2  22023  pjf2  22026  pjfo  22027  ocvpj  22029  frlmsslsp  22108  nlmtlm  25019  ngpocelbl  25029  nmhmplusg  25082  clmabl  25396  cvsi  25457  minveclem2  25753  pjthlem2  25765  ttgcontlem1  29468  quslmod  33966  quslmhm  33967  lindsunlem  34303  qusdimsum  34307  fedgmullem2  34309  bj-modssabl  38295  lcvexchlem3  40187  lcvexchlem4  40188  lcvexchlem5  40189  lsatcvatlem  40200  lsatcvat  40201  lsatcvat3  40203  l1cvat  40206  lshpsmreu  40260  lshpkrlem5  40265  dia2dimlem5  42219  dihjatc3  42464  dihmeetlem9N  42466  dihjatcclem1  42569  dihjat  42574  lclkrlem2b  42659  baerlem3lem1  42858  baerlem5alem1  42859  baerlem5blem1  42860  baerlem3lem2  42861  baerlem5alem2  42862  baerlem5blem2  42863  hdmaprnlem7N  43006  isnumbasgrplem3  44201  gsumlsscl  49586