Theorem cygabl 19668

Description: A cyclic group is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 20-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cygabl	⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem cygabl

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑎 𝑏 𝑖 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
3	1, 2	iscyg3 19663	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
4		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
5		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺))
6		simpll 765	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) → 𝐺 ∈ Grp)
7		oveq1 7364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑛(.g‘𝐺)𝑥) = (𝑖(.g‘𝐺)𝑥))
8	7	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥) ↔ 𝑦 = (𝑖(.g‘𝐺)𝑥)))
9	8	cbvrexvw 3226	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑖(.g‘𝐺)𝑥))
10	9	biimpi 215	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥) → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑖(.g‘𝐺)𝑥))
11	10	ralimi 3086	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥) → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑖 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑖(.g‘𝐺)𝑥))
12	11	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑖 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑖(.g‘𝐺)𝑥))
13	12	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐺)) → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑖 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑖(.g‘𝐺)𝑥))
14		simpll 765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → 𝐺 ∈ Grp)
15		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
16	15	anim1ci 616	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)))
17		df-3an 1089	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ↔ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)))
18	16, 17	sylibr 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)))
19		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
20	1, 2, 19	mulgdir 18908	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑚 + 𝑛)(.g‘𝐺)𝑥) = ((𝑚(.g‘𝐺)𝑥)(+g‘𝐺)(𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
21	14, 18, 20	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → ((𝑚 + 𝑛)(.g‘𝐺)𝑥) = ((𝑚(.g‘𝐺)𝑥)(+g‘𝐺)(𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
22	21	ralrimivva 3197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → ∀𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ ((𝑚 + 𝑛)(.g‘𝐺)𝑥) = ((𝑚(.g‘𝐺)𝑥)(+g‘𝐺)(𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
23	22	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) → ∀𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ ((𝑚 + 𝑛)(.g‘𝐺)𝑥) = ((𝑚(.g‘𝐺)𝑥)(+g‘𝐺)(𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
24	23	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐺)) → ∀𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ ((𝑚 + 𝑛)(.g‘𝐺)𝑥) = ((𝑚(.g‘𝐺)𝑥)(+g‘𝐺)(𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
25		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝐺))
26		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝐺))
27		zsscn 12507	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐺)) → ℤ ⊆ ℂ)
29	13, 24, 25, 26, 28	cyccom 18996	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑏(+g‘𝐺)𝑎))
30	4, 5, 6, 29	isabld 19577	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) → 𝐺 ∈ Abel)
31	30	r19.29an 3155	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) → 𝐺 ∈ Abel)
32	3, 31	sylbi 216	1 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   ⊆ wss 3910  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049   + caddc 11054  ℤcz 12499  Basecbs 17083  +_gcplusg 17133  Grpcgrp 18748  ._gcmg 18872  Abelcabl 19563  CycGrpccyg 19654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-seq 13907  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-cyg 19655

This theorem is referenced by:  lt6abl  19672  frgpcyg  20980