Theorem cygabl 19984

Description: A cyclic group is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 20-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cygabl	⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem cygabl

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑎 𝑏 𝑖 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
3	1, 2	iscyg3 19979	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
4		eqidd 2766	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
5		eqidd 2766	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺))
6		simpll 779	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) → 𝐺 ∈ Grp)
7		oveq1 7423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑛(.g‘𝐺)𝑥) = (𝑖(.g‘𝐺)𝑥))
8	7	eqeq2d 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥) ↔ 𝑦 = (𝑖(.g‘𝐺)𝑥)))
9	8	cbvrexvw 3246	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑖(.g‘𝐺)𝑥))
10	9	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥) → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑖(.g‘𝐺)𝑥))
11	10	ralimi 3104	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥) → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑖 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑖(.g‘𝐺)𝑥))
12	11	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑖 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑖(.g‘𝐺)𝑥))
13	12	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐺)) → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑖 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑖(.g‘𝐺)𝑥))
14		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → 𝐺 ∈ Grp)
15		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
16	15	anim1ci 628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)))
17		df-3an 1105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ↔ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)))
18	16, 17	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)))
19		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
20	1, 2, 19	mulgdir 19195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑚 + 𝑛)(.g‘𝐺)𝑥) = ((𝑚(.g‘𝐺)𝑥)(+g‘𝐺)(𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
21	14, 18, 20	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → ((𝑚 + 𝑛)(.g‘𝐺)𝑥) = ((𝑚(.g‘𝐺)𝑥)(+g‘𝐺)(𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
22	21	ralrimivva 3210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → ∀𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ ((𝑚 + 𝑛)(.g‘𝐺)𝑥) = ((𝑚(.g‘𝐺)𝑥)(+g‘𝐺)(𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
23	22	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) → ∀𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ ((𝑚 + 𝑛)(.g‘𝐺)𝑥) = ((𝑚(.g‘𝐺)𝑥)(+g‘𝐺)(𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
24	23	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐺)) → ∀𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ ((𝑚 + 𝑛)(.g‘𝐺)𝑥) = ((𝑚(.g‘𝐺)𝑥)(+g‘𝐺)(𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
25		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝐺))
26		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝐺))
27		zsscn 12610	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐺)) → ℤ ⊆ ℂ)
29	13, 24, 25, 26, 28	cyccom 19297	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑏(+g‘𝐺)𝑎))
30	4, 5, 6, 29	isabld 19888	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) → 𝐺 ∈ Abel)
31	30	r19.29an 3171	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) → 𝐺 ∈ Abel)
32	3, 31	sylbi 220	1 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ Abel)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109   + caddc 11114  ℤcz 12602  Basecbs 17286  +_gcplusg 17327  Grpcgrp 19023  ._gcmg 19156  Abelcabl 19874  CycGrpccyg 19970

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-fz 13547  df-seq 14051  df-0g 17511  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-mulg 19157  df-cmn 19875  df-abl 19876  df-cyg 19971

This theorem is used by:  lt6abl  19988  frgpcyg  21752