Theorem cygabl 19828

Description: A cyclic group is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 20-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cygabl	⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem cygabl

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑎 𝑏 𝑖 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
3	1, 2	iscyg3 19823	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
4		eqidd 2731	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
5		eqidd 2731	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺))
6		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) → 𝐺 ∈ Grp)
7		oveq1 7397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑛(.g‘𝐺)𝑥) = (𝑖(.g‘𝐺)𝑥))
8	7	eqeq2d 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥) ↔ 𝑦 = (𝑖(.g‘𝐺)𝑥)))
9	8	cbvrexvw 3217	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑖(.g‘𝐺)𝑥))
10	9	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥) → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑖(.g‘𝐺)𝑥))
11	10	ralimi 3067	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥) → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑖 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑖(.g‘𝐺)𝑥))
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑖 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑖(.g‘𝐺)𝑥))
13	12	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐺)) → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑖 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑖(.g‘𝐺)𝑥))
14		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → 𝐺 ∈ Grp)
15		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
16	15	anim1ci 616	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)))
17		df-3an 1088	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ↔ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)))
18	16, 17	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)))
19		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
20	1, 2, 19	mulgdir 19045	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑚 + 𝑛)(.g‘𝐺)𝑥) = ((𝑚(.g‘𝐺)𝑥)(+g‘𝐺)(𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
21	14, 18, 20	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → ((𝑚 + 𝑛)(.g‘𝐺)𝑥) = ((𝑚(.g‘𝐺)𝑥)(+g‘𝐺)(𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
22	21	ralrimivva 3181	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → ∀𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ ((𝑚 + 𝑛)(.g‘𝐺)𝑥) = ((𝑚(.g‘𝐺)𝑥)(+g‘𝐺)(𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) → ∀𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ ((𝑚 + 𝑛)(.g‘𝐺)𝑥) = ((𝑚(.g‘𝐺)𝑥)(+g‘𝐺)(𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
24	23	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐺)) → ∀𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ ((𝑚 + 𝑛)(.g‘𝐺)𝑥) = ((𝑚(.g‘𝐺)𝑥)(+g‘𝐺)(𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
25		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝐺))
26		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝐺))
27		zsscn 12544	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐺)) → ℤ ⊆ ℂ)
29	13, 24, 25, 26, 28	cyccom 19142	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑏(+g‘𝐺)𝑎))
30	4, 5, 6, 29	isabld 19732	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) → 𝐺 ∈ Abel)
31	30	r19.29an 3138	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) → 𝐺 ∈ Abel)
32	3, 31	sylbi 217	1 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3917  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073   + caddc 11078  ℤcz 12536  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  Grpcgrp 18872  ._gcmg 19006  Abelcabl 19718  CycGrpccyg 19814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-seq 13974  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-mulg 19007  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-cyg 19815

This theorem is referenced by:  lt6abl  19832  frgpcyg  21490