Theorem cygabl 19846

Description: A cyclic group is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 20-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cygabl	⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem cygabl

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑎 𝑏 𝑖 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2728	. . 3 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
3	1, 2	iscyg3 19841	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
4		eqidd 2729	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
5		eqidd 2729	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺))
6		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) → 𝐺 ∈ Grp)
7		oveq1 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑛(.g‘𝐺)𝑥) = (𝑖(.g‘𝐺)𝑥))
8	7	eqeq2d 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥) ↔ 𝑦 = (𝑖(.g‘𝐺)𝑥)))
9	8	cbvrexvw 3232	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑖(.g‘𝐺)𝑥))
10	9	biimpi 215	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥) → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑖(.g‘𝐺)𝑥))
11	10	ralimi 3080	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥) → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑖 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑖(.g‘𝐺)𝑥))
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑖 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑖(.g‘𝐺)𝑥))
13	12	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐺)) → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑖 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑖(.g‘𝐺)𝑥))
14		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → 𝐺 ∈ Grp)
15		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
16	15	anim1ci 615	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)))
17		df-3an 1087	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ↔ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)))
18	16, 17	sylibr 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)))
19		eqid 2728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
20	1, 2, 19	mulgdir 19061	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑚 + 𝑛)(.g‘𝐺)𝑥) = ((𝑚(.g‘𝐺)𝑥)(+g‘𝐺)(𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
21	14, 18, 20	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → ((𝑚 + 𝑛)(.g‘𝐺)𝑥) = ((𝑚(.g‘𝐺)𝑥)(+g‘𝐺)(𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
22	21	ralrimivva 3197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → ∀𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ ((𝑚 + 𝑛)(.g‘𝐺)𝑥) = ((𝑚(.g‘𝐺)𝑥)(+g‘𝐺)(𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) → ∀𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ ((𝑚 + 𝑛)(.g‘𝐺)𝑥) = ((𝑚(.g‘𝐺)𝑥)(+g‘𝐺)(𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
24	23	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐺)) → ∀𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ ((𝑚 + 𝑛)(.g‘𝐺)𝑥) = ((𝑚(.g‘𝐺)𝑥)(+g‘𝐺)(𝑛(.g‘𝐺)𝑥)))
25		simp2 1135	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝐺))
26		simp3 1136	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝐺))
27		zsscn 12597	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐺)) → ℤ ⊆ ℂ)
29	13, 24, 25, 26, 28	cyccom 19158	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑏(+g‘𝐺)𝑎))
30	4, 5, 6, 29	isabld 19750	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) → 𝐺 ∈ Abel)
31	30	r19.29an 3155	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛(.g‘𝐺)𝑥)) → 𝐺 ∈ Abel)
32	3, 31	sylbi 216	1 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3058  ∃wrex 3067   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℂcc 11137   + caddc 11142  ℤcz 12589  Basecbs 17180  +_gcplusg 17233  Grpcgrp 18890  ._gcmg 19023  Abelcabl 19736  CycGrpccyg 19832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-seq 14000  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-mulg 19024  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-cyg 19833

This theorem is referenced by:  lt6abl  19850  frgpcyg  21507