Theorem gex2abl 19788

Description: A group with exponent 2 (or 1) is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexex.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexex.2	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gex2abl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem gex2abl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gexex.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → 𝑋 = (Base‘𝐺))
3		eqidd 2731	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺))
4		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → 𝐺 ∈ Grp)
5		simp1l 1198	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
6		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
7		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑋)
8		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
9	1, 8	grpass 18881	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑦)))
10	5, 6, 7, 7, 9	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑦)))
11		eqid 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
12	1, 11, 8	mulg2 19022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → (2(.g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑦))
13	7, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2(.g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑦))
14		simp1r 1199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐸 ∥ 2)
15		gexex.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
16		eqid 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
17	1, 15, 11, 16	gexdvdsi 19520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 2) → (2(.g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺))
18	5, 7, 14, 17	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2(.g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺))
19	13, 18	eqtr3d 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺))
20	19	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑦)) = (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)))
21	1, 8, 16	grprid 18907	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥)
22	5, 6, 21	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥)
23	10, 20, 22	3eqtrd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑥)
24	23	oveq1d 7405	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑥))
25	1, 11, 8	mulg2 19022	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → (2(.g‘𝐺)𝑥) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑥))
26	6, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2(.g‘𝐺)𝑥) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑥))
27	1, 15, 11, 16	gexdvdsi 19520	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 2) → (2(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
28	5, 6, 14, 27	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
29	24, 26, 28	3eqtr2d 2771	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
30	1, 8	grpcl 18880	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
31	5, 6, 7, 30	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
32	1, 15, 11, 16	gexdvdsi 19520	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 2) → (2(.g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = (0g‘𝐺))
33	5, 31, 14, 32	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2(.g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = (0g‘𝐺))
34	1, 11, 8	mulg2 19022	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 → (2(.g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
35	31, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2(.g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
36	29, 33, 35	3eqtr2d 2771	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑥) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
37	1, 8	grpass 18881	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑥) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
38	5, 31, 7, 6, 37	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑥) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
39	36, 38	eqtr3d 2767	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
40	1, 8	grpcl 18880	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑋)
41	5, 7, 6, 40	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑋)
42	1, 8	grplcan 18939	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)) → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
43	5, 31, 41, 31, 42	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
44	39, 43	mpbid 232	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
45	2, 3, 4, 44	isabld 19732	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  2c2 12248   ∥ cdvds 16229  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  0_gc0g 17409  Grpcgrp 18872  ._gcmg 19006  gExcgex 19462  Abelcabl 19718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-seq 13974  df-dvds 16230  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-mulg 19007  df-gex 19466  df-cmn 19719  df-abl 19720

This theorem is referenced by:  lt6abl  19832