Theorem gex2abl 19780

Description: A group with exponent 2 (or 1) is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexex.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexex.2	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gex2abl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem gex2abl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gexex.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → 𝑋 = (Base‘𝐺))
3		eqidd 2737	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺))
4		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → 𝐺 ∈ Grp)
5		simp1l 1198	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
6		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
7		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑋)
8		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
9	1, 8	grpass 18872	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑦)))
10	5, 6, 7, 7, 9	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑦)))
11		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
12	1, 11, 8	mulg2 19013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → (2(.g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑦))
13	7, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2(.g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑦))
14		simp1r 1199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐸 ∥ 2)
15		gexex.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
16		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
17	1, 15, 11, 16	gexdvdsi 19512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 2) → (2(.g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺))
18	5, 7, 14, 17	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2(.g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺))
19	13, 18	eqtr3d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺))
20	19	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑦)) = (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)))
21	1, 8, 16	grprid 18898	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥)
22	5, 6, 21	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥)
23	10, 20, 22	3eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑥)
24	23	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑥))
25	1, 11, 8	mulg2 19013	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → (2(.g‘𝐺)𝑥) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑥))
26	6, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2(.g‘𝐺)𝑥) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑥))
27	1, 15, 11, 16	gexdvdsi 19512	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 2) → (2(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
28	5, 6, 14, 27	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
29	24, 26, 28	3eqtr2d 2777	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
30	1, 8	grpcl 18871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
31	5, 6, 7, 30	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
32	1, 15, 11, 16	gexdvdsi 19512	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 2) → (2(.g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = (0g‘𝐺))
33	5, 31, 14, 32	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2(.g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = (0g‘𝐺))
34	1, 11, 8	mulg2 19013	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 → (2(.g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
35	31, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2(.g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
36	29, 33, 35	3eqtr2d 2777	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑥) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
37	1, 8	grpass 18872	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑥) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
38	5, 31, 7, 6, 37	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑥) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
39	36, 38	eqtr3d 2773	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
40	1, 8	grpcl 18871	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑋)
41	5, 7, 6, 40	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑋)
42	1, 8	grplcan 18930	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)) → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
43	5, 31, 41, 31, 42	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
44	39, 43	mpbid 232	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
45	2, 3, 4, 44	isabld 19724	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  2c2 12200   ∥ cdvds 16179  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  0_gc0g 17359  Grpcgrp 18863  ._gcmg 18997  gExcgex 19454  Abelcabl 19710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-seq 13925  df-dvds 16180  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18998  df-gex 19458  df-cmn 19711  df-abl 19712

This theorem is referenced by:  lt6abl  19824