MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gex2abl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gex2abl 19884
Description: A group with exponent 2 (or 1) is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexex.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexex.2 𝐸 = (gEx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
gex2abl ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem gex2abl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gexex.1 . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
21a1i 11 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → 𝑋 = (Base‘𝐺))
3 eqidd 2736 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → (+g𝐺) = (+g𝐺))
4 simpl 482 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → 𝐺 ∈ Grp)
5 simp1l 1196 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
6 simp2 1136 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 𝑥𝑋)
7 simp3 1137 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
8 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
91, 8grpass 18973 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑦)))
105, 6, 7, 7, 9syl13anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑦)))
11 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (.g𝐺) = (.g𝐺)
121, 11, 8mulg2 19114 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑋 → (2(.g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑦))
137, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (2(.g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑦))
14 simp1r 1197 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 𝐸 ∥ 2)
15 gexex.2 . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (gEx‘𝐺)
16 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐺) = (0g𝐺)
171, 15, 11, 16gexdvdsi 19616 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑋𝐸 ∥ 2) → (2(.g𝐺)𝑦) = (0g𝐺))
185, 7, 14, 17syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (2(.g𝐺)𝑦) = (0g𝐺))
1913, 18eqtr3d 2777 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑦(+g𝐺)𝑦) = (0g𝐺))
2019oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑦)) = (𝑥(+g𝐺)(0g𝐺)))
211, 8, 16grprid 18999 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(+g𝐺)(0g𝐺)) = 𝑥)
225, 6, 21syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(+g𝐺)(0g𝐺)) = 𝑥)
2310, 20, 223eqtrd 2779 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑦) = 𝑥)
2423oveq1d 7446 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑥) = (𝑥(+g𝐺)𝑥))
251, 11, 8mulg2 19114 . . . . . . 7 (𝑥𝑋 → (2(.g𝐺)𝑥) = (𝑥(+g𝐺)𝑥))
266, 25syl 17 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (2(.g𝐺)𝑥) = (𝑥(+g𝐺)𝑥))
271, 15, 11, 16gexdvdsi 19616 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋𝐸 ∥ 2) → (2(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
285, 6, 14, 27syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (2(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
2924, 26, 283eqtr2d 2781 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
301, 8grpcl 18972 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
315, 6, 7, 30syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
321, 15, 11, 16gexdvdsi 19616 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋𝐸 ∥ 2) → (2(.g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = (0g𝐺))
335, 31, 14, 32syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (2(.g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = (0g𝐺))
341, 11, 8mulg2 19114 . . . . . 6 ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 → (2(.g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)))
3531, 34syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (2(.g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)))
3629, 33, 353eqtr2d 2781 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑥) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)))
371, 8grpass 18973 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋𝑦𝑋𝑥𝑋)) → (((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑥) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑥)))
385, 31, 7, 6, 37syl13anc 1371 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑥) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑥)))
3936, 38eqtr3d 2777 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑥)))
401, 8grpcl 18972 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑋𝑥𝑋) → (𝑦(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝑋)
415, 7, 6, 40syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑦(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝑋)
421, 8grplcan 19031 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)) → (((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
435, 31, 41, 31, 42syl13anc 1371 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
4439, 43mpbid 232 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
452, 3, 4, 44isabld 19828 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → 𝐺 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  2c2 12319  cdvds 16287  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  .gcmg 19098  gExcgex 19558  Abelcabl 19814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-dvds 16288  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-gex 19562  df-cmn 19815  df-abl 19816
This theorem is referenced by:  lt6abl  19928
  Copyright terms: Public domain W3C validator