MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gex2abl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gex2abl 19721
Description: A group with exponent 2 (or 1) is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexex.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexex.2 𝐸 = (gEx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
gex2abl ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem gex2abl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gexex.1 . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
21a1i 11 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → 𝑋 = (Base‘𝐺))
3 eqidd 2733 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → (+g𝐺) = (+g𝐺))
4 simpl 483 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → 𝐺 ∈ Grp)
5 simp1l 1197 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
6 simp2 1137 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 𝑥𝑋)
7 simp3 1138 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
8 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
91, 8grpass 18830 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑦)))
105, 6, 7, 7, 9syl13anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑦)))
11 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (.g𝐺) = (.g𝐺)
121, 11, 8mulg2 18965 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑋 → (2(.g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑦))
137, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (2(.g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑦))
14 simp1r 1198 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 𝐸 ∥ 2)
15 gexex.2 . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (gEx‘𝐺)
16 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐺) = (0g𝐺)
171, 15, 11, 16gexdvdsi 19453 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑋𝐸 ∥ 2) → (2(.g𝐺)𝑦) = (0g𝐺))
185, 7, 14, 17syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (2(.g𝐺)𝑦) = (0g𝐺))
1913, 18eqtr3d 2774 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑦(+g𝐺)𝑦) = (0g𝐺))
2019oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑦)) = (𝑥(+g𝐺)(0g𝐺)))
211, 8, 16grprid 18855 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(+g𝐺)(0g𝐺)) = 𝑥)
225, 6, 21syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(+g𝐺)(0g𝐺)) = 𝑥)
2310, 20, 223eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑦) = 𝑥)
2423oveq1d 7426 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑥) = (𝑥(+g𝐺)𝑥))
251, 11, 8mulg2 18965 . . . . . . 7 (𝑥𝑋 → (2(.g𝐺)𝑥) = (𝑥(+g𝐺)𝑥))
266, 25syl 17 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (2(.g𝐺)𝑥) = (𝑥(+g𝐺)𝑥))
271, 15, 11, 16gexdvdsi 19453 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋𝐸 ∥ 2) → (2(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
285, 6, 14, 27syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (2(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
2924, 26, 283eqtr2d 2778 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
301, 8grpcl 18829 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
315, 6, 7, 30syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
321, 15, 11, 16gexdvdsi 19453 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋𝐸 ∥ 2) → (2(.g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = (0g𝐺))
335, 31, 14, 32syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (2(.g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = (0g𝐺))
341, 11, 8mulg2 18965 . . . . . 6 ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 → (2(.g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)))
3531, 34syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (2(.g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)))
3629, 33, 353eqtr2d 2778 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑥) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)))
371, 8grpass 18830 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋𝑦𝑋𝑥𝑋)) → (((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑥) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑥)))
385, 31, 7, 6, 37syl13anc 1372 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑥) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑥)))
3936, 38eqtr3d 2774 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑥)))
401, 8grpcl 18829 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑋𝑥𝑋) → (𝑦(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝑋)
415, 7, 6, 40syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑦(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝑋)
421, 8grplcan 18887 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)) → (((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
435, 31, 41, 31, 42syl13anc 1372 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
4439, 43mpbid 231 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
452, 3, 4, 44isabld 19665 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → 𝐺 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7411  2c2 12269  cdvds 16199  Basecbs 17146  +gcplusg 17199  0gc0g 17387  Grpcgrp 18821  .gcmg 18952  gExcgex 19395  Abelcabl 19651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-seq 13969  df-dvds 16200  df-0g 17389  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-mulg 18953  df-gex 19399  df-cmn 19652  df-abl 19653
This theorem is referenced by:  lt6abl  19765
  Copyright terms: Public domain W3C validator