Theorem gex2abl 19090

Description: A group with exponent 2 (or 1) is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexex.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexex.2	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gex2abl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem gex2abl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gexex.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → 𝑋 = (Base‘𝐺))
3		eqidd 2739	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺))
4		simpl 486	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → 𝐺 ∈ Grp)
5		simp1l 1198	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
6		simp2 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
7		simp3 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑋)
8		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
9	1, 8	grpass 18228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑦)))
10	5, 6, 7, 7, 9	syl13anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑦)))
11		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
12	1, 11, 8	mulg2 18355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → (2(.g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑦))
13	7, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2(.g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑦))
14		simp1r 1199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐸 ∥ 2)
15		gexex.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
16		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
17	1, 15, 11, 16	gexdvdsi 18826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 2) → (2(.g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺))
18	5, 7, 14, 17	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2(.g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺))
19	13, 18	eqtr3d 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺))
20	19	oveq2d 7186	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑦)) = (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)))
21	1, 8, 16	grprid 18252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥)
22	5, 6, 21	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥)
23	10, 20, 22	3eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑥)
24	23	oveq1d 7185	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑥))
25	1, 11, 8	mulg2 18355	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → (2(.g‘𝐺)𝑥) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑥))
26	6, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2(.g‘𝐺)𝑥) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑥))
27	1, 15, 11, 16	gexdvdsi 18826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 2) → (2(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
28	5, 6, 14, 27	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
29	24, 26, 28	3eqtr2d 2779	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
30	1, 8	grpcl 18227	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
31	5, 6, 7, 30	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
32	1, 15, 11, 16	gexdvdsi 18826	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 2) → (2(.g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = (0g‘𝐺))
33	5, 31, 14, 32	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2(.g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = (0g‘𝐺))
34	1, 11, 8	mulg2 18355	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 → (2(.g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
35	31, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2(.g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
36	29, 33, 35	3eqtr2d 2779	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑥) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
37	1, 8	grpass 18228	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑥) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
38	5, 31, 7, 6, 37	syl13anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑥) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
39	36, 38	eqtr3d 2775	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
40	1, 8	grpcl 18227	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑋)
41	5, 7, 6, 40	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑋)
42	1, 8	grplcan 18279	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)) → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
43	5, 31, 41, 31, 42	syl13anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
44	39, 43	mpbid 235	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
45	2, 3, 4, 44	isabld 19038	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5030  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170  2c2 11771   ∥ cdvds 15699  Basecbs 16586  +_gcplusg 16668  0_gc0g 16816  Grpcgrp 18219  ._gcmg 18342  gExcgex 18771  Abelcabl 19025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-sup 8979  df-inf 8980  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-seq 13461  df-dvds 15700  df-0g 16818  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-mulg 18343  df-gex 18775  df-cmn 19026  df-abl 19027

This theorem is referenced by:  lt6abl  19134