Theorem gex2abl 18964

Description: A group with exponent 2 (or 1) is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexex.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexex.2	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gex2abl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem gex2abl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gexex.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → 𝑋 = (Base‘𝐺))
3		eqidd 2799	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺))
4		simpl 486	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → 𝐺 ∈ Grp)
5		simp1l 1194	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
6		simp2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
7		simp3 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑋)
8		eqid 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
9	1, 8	grpass 18104	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑦)))
10	5, 6, 7, 7, 9	syl13anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑦)))
11		eqid 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
12	1, 11, 8	mulg2 18229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → (2(.g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑦))
13	7, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2(.g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑦))
14		simp1r 1195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐸 ∥ 2)
15		gexex.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
16		eqid 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
17	1, 15, 11, 16	gexdvdsi 18700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 2) → (2(.g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺))
18	5, 7, 14, 17	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2(.g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺))
19	13, 18	eqtr3d 2835	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺))
20	19	oveq2d 7151	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑦)) = (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)))
21	1, 8, 16	grprid 18126	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥)
22	5, 6, 21	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥)
23	10, 20, 22	3eqtrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑥)
24	23	oveq1d 7150	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑥))
25	1, 11, 8	mulg2 18229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → (2(.g‘𝐺)𝑥) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑥))
26	6, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2(.g‘𝐺)𝑥) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑥))
27	1, 15, 11, 16	gexdvdsi 18700	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 2) → (2(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
28	5, 6, 14, 27	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
29	24, 26, 28	3eqtr2d 2839	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺))
30	1, 8	grpcl 18103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
31	5, 6, 7, 30	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
32	1, 15, 11, 16	gexdvdsi 18700	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 2) → (2(.g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = (0g‘𝐺))
33	5, 31, 14, 32	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2(.g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = (0g‘𝐺))
34	1, 11, 8	mulg2 18229	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 → (2(.g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
35	31, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (2(.g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
36	29, 33, 35	3eqtr2d 2839	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑥) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
37	1, 8	grpass 18104	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑥) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
38	5, 31, 7, 6, 37	syl13anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑥) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
39	36, 38	eqtr3d 2835	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
40	1, 8	grpcl 18103	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑋)
41	5, 7, 6, 40	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑋)
42	1, 8	grplcan 18153	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)) → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
43	5, 31, 41, 31, 42	syl13anc 1369	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))
44	39, 43	mpbid 235	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
45	2, 3, 4, 44	isabld 18912	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  2c2 11680   ∥ cdvds 15599  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  0_gc0g 16705  Grpcgrp 18095  ._gcmg 18216  gExcgex 18645  Abelcabl 18899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-seq 13365  df-dvds 15600  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-mulg 18217  df-gex 18649  df-cmn 18900  df-abl 18901

This theorem is referenced by:  lt6abl  19008