Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gex2abl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gex2abl 18893
 Description: A group with exponent 2 (or 1) is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexex.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexex.2 𝐸 = (gEx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
gex2abl ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem gex2abl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gexex.1 . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
21a1i 11 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → 𝑋 = (Base‘𝐺))
3 eqidd 2826 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → (+g𝐺) = (+g𝐺))
4 simpl 483 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → 𝐺 ∈ Grp)
5 simp1l 1191 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
6 simp2 1131 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 𝑥𝑋)
7 simp3 1132 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
8 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
91, 8grpass 18044 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑦)))
105, 6, 7, 7, 9syl13anc 1366 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑦)))
11 eqid 2825 . . . . . . . . . . . 12 (.g𝐺) = (.g𝐺)
121, 11, 8mulg2 18169 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑋 → (2(.g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑦))
137, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (2(.g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑦))
14 simp1r 1192 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 𝐸 ∥ 2)
15 gexex.2 . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (gEx‘𝐺)
16 eqid 2825 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐺) = (0g𝐺)
171, 15, 11, 16gexdvdsi 18630 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑋𝐸 ∥ 2) → (2(.g𝐺)𝑦) = (0g𝐺))
185, 7, 14, 17syl3anc 1365 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (2(.g𝐺)𝑦) = (0g𝐺))
1913, 18eqtr3d 2862 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑦(+g𝐺)𝑦) = (0g𝐺))
2019oveq2d 7167 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑦)) = (𝑥(+g𝐺)(0g𝐺)))
211, 8, 16grprid 18066 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(+g𝐺)(0g𝐺)) = 𝑥)
225, 6, 21syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(+g𝐺)(0g𝐺)) = 𝑥)
2310, 20, 223eqtrd 2864 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑦) = 𝑥)
2423oveq1d 7166 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑥) = (𝑥(+g𝐺)𝑥))
251, 11, 8mulg2 18169 . . . . . . 7 (𝑥𝑋 → (2(.g𝐺)𝑥) = (𝑥(+g𝐺)𝑥))
266, 25syl 17 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (2(.g𝐺)𝑥) = (𝑥(+g𝐺)𝑥))
271, 15, 11, 16gexdvdsi 18630 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋𝐸 ∥ 2) → (2(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
285, 6, 14, 27syl3anc 1365 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (2(.g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
2924, 26, 283eqtr2d 2866 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑥) = (0g𝐺))
301, 8grpcl 18043 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
315, 6, 7, 30syl3anc 1365 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
321, 15, 11, 16gexdvdsi 18630 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋𝐸 ∥ 2) → (2(.g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = (0g𝐺))
335, 31, 14, 32syl3anc 1365 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (2(.g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = (0g𝐺))
341, 11, 8mulg2 18169 . . . . . 6 ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 → (2(.g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)))
3531, 34syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (2(.g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)))
3629, 33, 353eqtr2d 2866 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑥) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)))
371, 8grpass 18044 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋𝑦𝑋𝑥𝑋)) → (((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑥) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑥)))
385, 31, 7, 6, 37syl13anc 1366 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑥) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑥)))
3936, 38eqtr3d 2862 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑥)))
401, 8grpcl 18043 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑋𝑥𝑋) → (𝑦(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝑋)
415, 7, 6, 40syl3anc 1365 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑦(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝑋)
421, 8grplcan 18093 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝑋 ∧ (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)) → (((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
435, 31, 41, 31, 42syl13anc 1366 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑥(+g𝐺)𝑦)) = ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
4439, 43mpbid 233 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
452, 3, 4, 44isabld 18842 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∥ 2) → 𝐺 ∈ Abel)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5062  ‘cfv 6351  (class class class)co 7151  2c2 11684   ∥ cdvds 15599  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  0gc0g 16705  Grpcgrp 18035  .gcmg 18156  gExcgex 18575  Abelcabl 18829 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886  df-seq 13363  df-dvds 15600  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-mulg 18157  df-gex 18579  df-cmn 18830  df-abl 18831 This theorem is referenced by:  lt6abl  18937
 Copyright terms: Public domain W3C validator