Theorem ringabl 20214

Description: A ring is an Abelian group. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ringabl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)

Proof of Theorem ringabl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2735	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
2		eqidd 2735	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
3		ringgrp 20171	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5		eqid 2734	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
6	4, 5	ringcom 20213	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑅)𝑥))
7	1, 2, 3, 6	isabld 19722	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  Basecbs 17134  +_gcplusg 17175  Abelcabl 19708  Ringcrg 20166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-ur 20115  df-ring 20168

This theorem is referenced by:  ringcmn  20215  ringabld  20216  ringrng  20218  lidlnsg  21201  qus1  21227  qusrhm  21229  zringabl  21404  ip2subdi  21597  zlmassa  21857  mplbas2  21995  mdetralt  22550  mdetuni0  22563  cayhamlem1  22808  cpmadugsumlemF  22818  nrgtgp  24614  ply1divmo  26095  r1pid  26120  efabl  26513  jensenlem2  26952  amgmlem  26954  idlsrgcmnd  33545  cnzh  34074  rezh  34075  matunitlindflem1  37756  lflsub  39266  lfladdcom  39271  lflnegcl  39274  baerlem3lem1  41906  isnumbasgrplem3  43289  lidlabl  48420  cznabel  48448