Theorem ringabl 20510

Description: A ring is an Abelian group. (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.) (Revised by NM, 26-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ringabl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)

Proof of Theorem ringabl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2762	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
2		eqidd 2762	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
3		ringgrp 20464	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5		eqid 2761	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
6	4, 5	ringcom 20509	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑅)𝑥))
7	1, 2, 3, 6	isabld 20009	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  Abelcabl 19995  Ringcrg 20459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-ur 20408  df-ring 20461

This theorem is used by:  ringcmn  20511  ringabld  20512  ringrng  20514  dfring2  20517  lidlnsg  21536  qus1  21568  qusrhm  21570  zringabl  21757  ip2subdi  21950  zlmassa  22211  mplbas2  22351  mdetralt  22923  mdetuni0  22936  matunitlindflem1  22994  cayhamlem1  23184  cpmadugsumlemF  23194  nrgtgp  24991  ply1divmo  26454  r1pid  26479  efabl  26878  jensenlem2  27315  amgmlem  27317  idlsrgcmnd  34047  cnzh  34600  rezh  34601  lflsub  40124  lfladdcom  40129  lflnegcl  40132  baerlem3lem1  42764  isnumbasgrplem3  44106  lidlabl  49328  cznabel  49356