Theorem erngdvlem2-rN 41504

Description: Lemma for eringring 41499. (Contributed by NM, 6-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ernggrp.h-r	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ernggrp.d-r	⊢ 𝐷 = ((EDRingR‘𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.b-r	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ernggrplem.t-r	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.e-r	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
ernggrplem.p-r	⊢ 𝑃 = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))
ernggrplem.o-r	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
ernggrplem.i-r	⊢ 𝐼 = (𝑎 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑎‘𝑓)))

Assertion

Ref	Expression
erngdvlem2-rN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Abel)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑎,𝑏,𝐸   𝑓,𝑎,𝐾,𝑏   𝑓,𝐻   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓   𝑊,𝑎,𝑏,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐷(𝑓,𝑎,𝑏)   𝑃(𝑓,𝑎,𝑏)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑎,𝑏)   𝐼(𝑓,𝑎,𝑏)   𝑂(𝑓,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem erngdvlem2-rN

Dummy variables 𝑡 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ernggrp.h-r	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		ernggrplem.t-r	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		ernggrplem.e-r	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		ernggrp.d-r	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((EDRingR‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	erngbase-rN 41316	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝐷) = 𝐸)
7	6	eqcomd 2747	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
8		ernggrplem.p-r	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))
9		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
10	1, 2, 3, 4, 9	erngfplus-rN 41317	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (+g‘𝐷) = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓)))))
11	8, 10	eqtr4id 2795	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑃 = (+g‘𝐷))
12		ernggrplem.b-r	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
13		ernggrplem.o-r	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
14		ernggrplem.i-r	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑎 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑎‘𝑓)))
15	1, 4, 12, 2, 3, 8, 13, 14	erngdvlem1-rN 41503	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Grp)
16	1, 2, 3, 8	tendoplcom 41289	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠𝑃𝑡) = (𝑡𝑃𝑠))
17	7, 11, 15, 16	isabld 19765	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ↦ cmpt 5156   I cid 5515  ^◡ccnv 5620   ↾ cres 5623   ∘ ccom 5625  ‘cfv 6489   ∈ cmpo 7362  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  Abelcabl 19751  HLchlt 39857  LHypclh 40491  LTrncltrn 40608  TEndoctendo 41259  EDRing_Rcedring-rN 41261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-riotaBAD 39460

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-undef 8217  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-0g 17399  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-p1 18385  df-lat 18393  df-clat 18460  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-oposet 39683  df-ol 39685  df-oml 39686  df-covers 39773  df-ats 39774  df-atl 39805  df-cvlat 39829  df-hlat 39858  df-llines 40005  df-lplanes 40006  df-lvols 40007  df-lines 40008  df-psubsp 40010  df-pmap 40011  df-padd 40303  df-lhyp 40495  df-laut 40496  df-ldil 40611  df-ltrn 40612  df-trl 40666  df-tendo 41262  df-edring-rN 41263

This theorem is referenced by: (None)