Theorem tgrpabl 40134

Description: The translation group is an Abelian group. Lemma G of [Crawley] p. 116. (Contributed by NM, 6-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgrpgrp.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tgrpgrp.g	⊢ 𝐺 = ((TGrp‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tgrpabl	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem tgrpabl

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgrpgrp.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2726	. . . 4 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		tgrpgrp.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((TGrp‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	tgrpbase 40129	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝐺) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
6	5	eqcomd 2732	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘𝐺))
7		eqidd 2727	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺))
8	1, 3	tgrpgrp 40133	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)
9	1, 2	ltrncom 40121	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑓 ∘ 𝑔) = (𝑔 ∘ 𝑓))
10		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
11	1, 2, 3, 10	tgrpov 40131	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑓(+g‘𝐺)𝑔) = (𝑓 ∘ 𝑔))
12	11	3expa 1115	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑓(+g‘𝐺)𝑔) = (𝑓 ∘ 𝑔))
13	12	3impb 1112	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑓(+g‘𝐺)𝑔) = (𝑓 ∘ 𝑔))
14	1, 2, 3, 10	tgrpov 40131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑔(+g‘𝐺)𝑓) = (𝑔 ∘ 𝑓))
15	14	3expa 1115	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑔(+g‘𝐺)𝑓) = (𝑔 ∘ 𝑓))
16	15	3impb 1112	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑔(+g‘𝐺)𝑓) = (𝑔 ∘ 𝑓))
17	16	3com23 1123	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑔(+g‘𝐺)𝑓) = (𝑔 ∘ 𝑓))
18	9, 13, 17	3eqtr4d 2776	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑓(+g‘𝐺)𝑔) = (𝑔(+g‘𝐺)𝑓))
19	6, 7, 8, 18	isabld 19712	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∘ ccom 5673  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  +_gcplusg 17203  Abelcabl 19698  HLchlt 38732  LHypclh 39367  LTrncltrn 39484  TGrpctgrp 40125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 38335

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-undef 8256  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-0g 17393  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-p1 18388  df-lat 18394  df-clat 18461  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-oposet 38558  df-ol 38560  df-oml 38561  df-covers 38648  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704  df-hlat 38733  df-llines 38881  df-lplanes 38882  df-lvols 38883  df-lines 38884  df-psubsp 38886  df-pmap 38887  df-padd 39179  df-lhyp 39371  df-laut 39372  df-ldil 39487  df-ltrn 39488  df-trl 39542  df-tgrp 40126

This theorem is referenced by:  dvaabl  40407