Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgrpabl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgrpabl 36825
Description: The translation group is an Abelian group. Lemma G of [Crawley] p. 116. (Contributed by NM, 6-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tgrpgrp.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tgrpgrp.g 𝐺 = ((TGrp‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tgrpabl ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem tgrpabl
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgrpgrp.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 eqid 2825 . . . 4 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 tgrpgrp.g . . . 4 𝐺 = ((TGrp‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2825 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
51, 2, 3, 4tgrpbase 36820 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝐺) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
65eqcomd 2831 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = (Base‘𝐺))
7 eqidd 2826 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (+g𝐺) = (+g𝐺))
81, 3tgrpgrp 36824 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)
91, 2ltrncom 36812 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑓𝑔) = (𝑔𝑓))
10 eqid 2825 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
111, 2, 3, 10tgrpov 36822 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑓(+g𝐺)𝑔) = (𝑓𝑔))
12113expa 1151 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑓(+g𝐺)𝑔) = (𝑓𝑔))
13123impb 1147 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑓(+g𝐺)𝑔) = (𝑓𝑔))
141, 2, 3, 10tgrpov 36822 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑔(+g𝐺)𝑓) = (𝑔𝑓))
15143expa 1151 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑔(+g𝐺)𝑓) = (𝑔𝑓))
16153impb 1147 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑔(+g𝐺)𝑓) = (𝑔𝑓))
17163com23 1160 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑔(+g𝐺)𝑓) = (𝑔𝑓))
189, 13, 173eqtr4d 2871 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑓(+g𝐺)𝑔) = (𝑔(+g𝐺)𝑓))
196, 7, 8, 18isabld 18566 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐺 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  ccom 5350  cfv 6127  (class class class)co 6910  Basecbs 16229  +gcplusg 16312  Abelcabl 18554  HLchlt 35424  LHypclh 36058  LTrncltrn 36175  TGrpctgrp 36816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-riotaBAD 35027
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-undef 7669  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-plusg 16325  df-0g 16462  df-proset 17288  df-poset 17306  df-plt 17318  df-lub 17334  df-glb 17335  df-join 17336  df-meet 17337  df-p0 17399  df-p1 17400  df-lat 17406  df-clat 17468  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-grp 17786  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-oposet 35250  df-ol 35252  df-oml 35253  df-covers 35340  df-ats 35341  df-atl 35372  df-cvlat 35396  df-hlat 35425  df-llines 35572  df-lplanes 35573  df-lvols 35574  df-lines 35575  df-psubsp 35577  df-pmap 35578  df-padd 35870  df-lhyp 36062  df-laut 36063  df-ldil 36178  df-ltrn 36179  df-trl 36233  df-tgrp 36817
This theorem is referenced by:  dvaabl  37098
  Copyright terms: Public domain W3C validator