MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isocnv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isocnv2 7322
Description: Converse law for isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
isocnv2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ↔ 𝐻 Isom 𝑅, 𝑆(𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem isocnv2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ralcom 3287 . . . 4 (∀𝑦𝐴𝑥𝐴 (𝑦𝑅𝑥 ↔ (𝐻𝑦)𝑆(𝐻𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 ↔ (𝐻𝑦)𝑆(𝐻𝑥)))
2 vex 3479 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
3 vex 3479 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
42, 3brcnv 5879 . . . . . 6 (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)
5 fvex 6900 . . . . . . 7 (𝐻𝑥) ∈ V
6 fvex 6900 . . . . . . 7 (𝐻𝑦) ∈ V
75, 6brcnv 5879 . . . . . 6 ((𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦) ↔ (𝐻𝑦)𝑆(𝐻𝑥))
84, 7bibi12i 340 . . . . 5 ((𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)) ↔ (𝑦𝑅𝑥 ↔ (𝐻𝑦)𝑆(𝐻𝑥)))
982ralbii 3129 . . . 4 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 ↔ (𝐻𝑦)𝑆(𝐻𝑥)))
101, 9bitr4i 278 . . 3 (∀𝑦𝐴𝑥𝐴 (𝑦𝑅𝑥 ↔ (𝐻𝑦)𝑆(𝐻𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)))
1110anbi2i 624 . 2 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐴𝑥𝐴 (𝑦𝑅𝑥 ↔ (𝐻𝑦)𝑆(𝐻𝑥))) ↔ (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))))
12 df-isom 6548 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ↔ (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑦𝐴𝑥𝐴 (𝑦𝑅𝑥 ↔ (𝐻𝑦)𝑆(𝐻𝑥))))
13 df-isom 6548 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆(𝐴, 𝐵) ↔ (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))))
1411, 12, 133bitr4i 303 1 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ↔ 𝐻 Isom 𝑅, 𝑆(𝐴, 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 397  wral 3062   class class class wbr 5146  ccnv 5673  1-1-ontowf1o 6538  cfv 6539   Isom wiso 6540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-11 2155  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pr 5425
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4527  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-br 5147  df-opab 5209  df-cnv 5682  df-iota 6491  df-fv 6547  df-isom 6548
This theorem is referenced by:  infiso  9498  wofib  9535  leiso  14415  gtiso  31899
  Copyright terms: Public domain W3C validator