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Theorem wofib 9585
Description: The only sets which are well-ordered forwards and backwards are finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
wofib.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
wofib ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) ↔ (𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴))

Proof of Theorem wofib
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wofi 9325 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 We 𝐴)
2 cnvso 6308 . . . 4 (𝑅 Or 𝐴𝑅 Or 𝐴)
3 wofi 9325 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 We 𝐴)
42, 3sylanb 581 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 We 𝐴)
51, 4jca 511 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) → (𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴))
6 weso 5676 . . . 4 (𝑅 We 𝐴𝑅 Or 𝐴)
76adantr 480 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → 𝑅 Or 𝐴)
8 peano2 7912 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ∈ ω)
9 sucidg 6465 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → 𝑦 ∈ suc 𝑦)
10 vex 3484 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ V
11 vex 3484 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ V
1210, 11brcnv 5893 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 E 𝑦𝑦 E 𝑧)
13 epel 5587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 E 𝑧𝑦𝑧)
1412, 13bitri 275 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 E 𝑦𝑦𝑧)
15 eleq2 2830 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = suc 𝑦 → (𝑦𝑧𝑦 ∈ suc 𝑦))
1614, 15bitrid 283 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = suc 𝑦 → (𝑧 E 𝑦𝑦 ∈ suc 𝑦))
1716rspcev 3622 . . . . . . . . 9 ((suc 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ω 𝑧 E 𝑦)
188, 9, 17syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ω → ∃𝑧 ∈ ω 𝑧 E 𝑦)
19 dfrex2 3073 . . . . . . . 8 (∃𝑧 ∈ ω 𝑧 E 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧 E 𝑦)
2018, 19sylib 218 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ω → ¬ ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧 E 𝑦)
2120nrex 3074 . . . . . 6 ¬ ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧 E 𝑦
22 ordom 7897 . . . . . . . 8 Ord ω
23 eqid 2737 . . . . . . . . 9 OrdIso(𝑅, 𝐴) = OrdIso(𝑅, 𝐴)
2423oicl 9569 . . . . . . . 8 Ord dom OrdIso(𝑅, 𝐴)
25 ordtri1 6417 . . . . . . . 8 ((Ord ω ∧ Ord dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ↔ ¬ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω))
2622, 24, 25mp2an 692 . . . . . . 7 (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ↔ ¬ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω)
27 wofib.1 . . . . . . . . . . 11 𝐴 ∈ V
2823oion 9576 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ V → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ On)
2927, 28mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ On)
30 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
3129, 30ssexd 5324 . . . . . . . . 9 (((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ω ∈ V)
3223oiiso 9577 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑅 We 𝐴) → OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅 (dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
3327, 32mpan 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 We 𝐴 → OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅 (dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
34 isocnv2 7351 . . . . . . . . . . . 12 (OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅 (dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴) ↔ OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
3533, 34sylib 218 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 We 𝐴 → OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
36 wefr 5675 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 We 𝐴𝑅 Fr 𝐴)
37 isofr 7362 . . . . . . . . . . . 12 (OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴) → ( E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ↔ 𝑅 Fr 𝐴))
3837biimpar 477 . . . . . . . . . . 11 ((OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴) ∧ 𝑅 Fr 𝐴) → E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
3935, 36, 38syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
4039adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
41 1onn 8678 . . . . . . . . . 10 1o ∈ ω
42 ne0i 4341 . . . . . . . . . 10 (1o ∈ ω → ω ≠ ∅)
4341, 42mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ω ≠ ∅)
44 fri 5642 . . . . . . . . 9 (((ω ∈ V ∧ E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) ∧ (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∧ ω ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧 E 𝑦)
4531, 40, 30, 43, 44syl22anc 839 . . . . . . . 8 (((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧 E 𝑦)
4645ex 412 . . . . . . 7 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧 E 𝑦))
4726, 46biimtrrid 243 . . . . . 6 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → (¬ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧 E 𝑦))
4821, 47mt3i 149 . . . . 5 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω)
49 ssid 4006 . . . . 5 dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)
50 ssnnfi 9209 . . . . 5 ((dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω ∧ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin)
5148, 49, 50sylancl 586 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin)
52 simpl 482 . . . . . 6 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → 𝑅 We 𝐴)
5323oien 9578 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ≈ 𝐴)
5427, 52, 53sylancr 587 . . . . 5 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ≈ 𝐴)
55 enfi 9227 . . . . 5 (dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ≈ 𝐴 → (dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
5654, 55syl 17 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → (dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
5751, 56mpbid 232 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
587, 57jca 511 . 2 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → (𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin))
595, 58impbii 209 1 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) ↔ (𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143   E cep 5583   Or wor 5591   Fr wfr 5634   We wwe 5636  ccnv 5684  dom cdm 5685  Ord word 6383  Oncon0 6384  suc csuc 6386   Isom wiso 6562  ωcom 7887  1oc1o 8499  cen 8982  Fincfn 8985  OrdIsocoi 9549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-1o 8506  df-en 8986  df-fin 8989  df-oi 9550
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