Theorem wofib 9457

Description: The only sets which are well-ordered forwards and backwards are finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
wofib.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
wofib	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ↔ (𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴))

Proof of Theorem wofib

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wofi 9196	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 We 𝐴)
2		cnvso 6246	. . . 4 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 ↔ ◡𝑅 Or 𝐴)
3		wofi 9196	. . . 4 ⊢ ((◡𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝑅 We 𝐴)
4	2, 3	sylanb 587	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝑅 We 𝐴)
5	1, 4	jca 516	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴))
6		weso 5616	. . . 4 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴)
7	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → 𝑅 Or 𝐴)
8		peano2 7837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ∈ ω)
9		sucidg 6400	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → 𝑦 ∈ suc 𝑦)
10		vex 3436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑧 ∈ V
11		vex 3436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑦 ∈ V
12	10, 11	brcnv 5831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧◡ E 𝑦 ↔ 𝑦 E 𝑧)
13		epel 5528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 E 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧)
14	12, 13	bitri 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧◡ E 𝑦 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧)
15		eleq2 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ suc 𝑦))
16	14, 15	bitrid 284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → (𝑧◡ E 𝑦 ↔ 𝑦 ∈ suc 𝑦))
17	16	rspcev 3567	. . . . . . . . 9 ⊢ ((suc 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ω 𝑧◡ E 𝑦)
18	8, 9, 17	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ∃𝑧 ∈ ω 𝑧◡ E 𝑦)
19		dfrex2 3067	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 ∈ ω 𝑧◡ E 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦)
20	18, 19	sylib 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ¬ ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦)
21	20	nrex 3068	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦
22		ordom 7823	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ω
23		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ OrdIso(𝑅, 𝐴) = OrdIso(𝑅, 𝐴)
24	23	oicl 9441	. . . . . . . 8 ⊢ Ord dom OrdIso(𝑅, 𝐴)
25		ordtri1 6350	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord ω ∧ Ord dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ↔ ¬ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω))
26	22, 24, 25	mp2an 698	. . . . . . 7 ⊢ (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ↔ ¬ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω)
27		wofib.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ∈ V
28	23	oion 9448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ V → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ On)
29	27, 28	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ On)
30		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
31	29, 30	ssexd 5259	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ω ∈ V)
32	23	oiiso 9449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑅 We 𝐴) → OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅 (dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
33	27, 32	mpan 696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅 (dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
34		isocnv2 7282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅 (dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴) ↔ OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom ◡ E , ◡𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
35	33, 34	sylib 219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom ◡ E , ◡𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
36		wefr 5615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡𝑅 We 𝐴 → ◡𝑅 Fr 𝐴)
37		isofr 7293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom ◡ E , ◡𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴) → (◡ E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ↔ ◡𝑅 Fr 𝐴))
38	37	biimpar 478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom ◡ E , ◡𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴) ∧ ◡𝑅 Fr 𝐴) → ◡ E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
39	35, 36, 38	syl2an 602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → ◡ E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
40	39	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ◡ E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
41		1onn 8573	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ ω
42		ne0i 4276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1o ∈ ω → ω ≠ ∅)
43	41, 42	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ω ≠ ∅)
44		fri 5583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ω ∈ V ∧ ◡ E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) ∧ (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∧ ω ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦)
45	31, 40, 30, 43, 44	syl22anc 844	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦)
46	45	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦))
47	26, 46	biimtrrid 244	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → (¬ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦))
48	21, 47	mt3i 149	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω)
49		ssid 3944	. . . . 5 ⊢ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)
50		ssnnfi 9101	. . . . 5 ⊢ ((dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω ∧ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin)
51	48, 49, 50	sylancl 592	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin)
52		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → 𝑅 We 𝐴)
53	23	oien 9450	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ≈ 𝐴)
54	27, 52, 53	sylancr 593	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ≈ 𝐴)
55		enfi 9118	. . . . 5 ⊢ (dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ≈ 𝐴 → (dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
56	54, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → (dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
57	51, 56	mpbid 233	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
58	7, 57	jca 516	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → (𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin))
59	5, 58	impbii 210	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ↔ (𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  ∃wrex 3064  Vcvv 3432   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268   class class class wbr 5079   E cep 5524   Or wor 5532   Fr wfr 5575   We wwe 5577  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625  Ord word 6316  Oncon0 6317  suc csuc 6319   Isom wiso 6493  ωcom 7813  1_oc1o 8395   ≈ cen 8887  Fincfn 8890  OrdIsocoi 9421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-1o 8402  df-en 8891  df-fin 8894  df-oi 9422

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