Theorem wofib 9438

Description: The only sets which are well-ordered forwards and backwards are finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
wofib.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
wofib	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ↔ (𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴))

Proof of Theorem wofib

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wofi 9180	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 We 𝐴)
2		cnvso 6240	. . . 4 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 ↔ ◡𝑅 Or 𝐴)
3		wofi 9180	. . . 4 ⊢ ((◡𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝑅 We 𝐴)
4	2, 3	sylanb 581	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝑅 We 𝐴)
5	1, 4	jca 511	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴))
6		weso 5610	. . . 4 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → 𝑅 Or 𝐴)
8		peano2 7826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ∈ ω)
9		sucidg 6394	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → 𝑦 ∈ suc 𝑦)
10		vex 3441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑧 ∈ V
11		vex 3441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑦 ∈ V
12	10, 11	brcnv 5826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧◡ E 𝑦 ↔ 𝑦 E 𝑧)
13		epel 5522	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 E 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧)
14	12, 13	bitri 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧◡ E 𝑦 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧)
15		eleq2 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ suc 𝑦))
16	14, 15	bitrid 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → (𝑧◡ E 𝑦 ↔ 𝑦 ∈ suc 𝑦))
17	16	rspcev 3573	. . . . . . . . 9 ⊢ ((suc 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ω 𝑧◡ E 𝑦)
18	8, 9, 17	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ∃𝑧 ∈ ω 𝑧◡ E 𝑦)
19		dfrex2 3060	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 ∈ ω 𝑧◡ E 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦)
20	18, 19	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ¬ ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦)
21	20	nrex 3061	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦
22		ordom 7812	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ω
23		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ OrdIso(𝑅, 𝐴) = OrdIso(𝑅, 𝐴)
24	23	oicl 9422	. . . . . . . 8 ⊢ Ord dom OrdIso(𝑅, 𝐴)
25		ordtri1 6344	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord ω ∧ Ord dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ↔ ¬ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω))
26	22, 24, 25	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ↔ ¬ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω)
27		wofib.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ∈ V
28	23	oion 9429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ V → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ On)
29	27, 28	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ On)
30		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
31	29, 30	ssexd 5264	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ω ∈ V)
32	23	oiiso 9430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑅 We 𝐴) → OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅 (dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
33	27, 32	mpan 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅 (dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
34		isocnv2 7271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅 (dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴) ↔ OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom ◡ E , ◡𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
35	33, 34	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom ◡ E , ◡𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
36		wefr 5609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡𝑅 We 𝐴 → ◡𝑅 Fr 𝐴)
37		isofr 7282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom ◡ E , ◡𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴) → (◡ E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ↔ ◡𝑅 Fr 𝐴))
38	37	biimpar 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom ◡ E , ◡𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴) ∧ ◡𝑅 Fr 𝐴) → ◡ E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
39	35, 36, 38	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → ◡ E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
40	39	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ◡ E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
41		1onn 8561	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ ω
42		ne0i 4290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1o ∈ ω → ω ≠ ∅)
43	41, 42	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ω ≠ ∅)
44		fri 5577	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ω ∈ V ∧ ◡ E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) ∧ (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∧ ω ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦)
45	31, 40, 30, 43, 44	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦)
46	45	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦))
47	26, 46	biimtrrid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → (¬ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦))
48	21, 47	mt3i 149	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω)
49		ssid 3953	. . . . 5 ⊢ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)
50		ssnnfi 9086	. . . . 5 ⊢ ((dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω ∧ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin)
51	48, 49, 50	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin)
52		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → 𝑅 We 𝐴)
53	23	oien 9431	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ≈ 𝐴)
54	27, 52, 53	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ≈ 𝐴)
55		enfi 9103	. . . . 5 ⊢ (dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ≈ 𝐴 → (dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
56	54, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → (dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
57	51, 56	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
58	7, 57	jca 511	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → (𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin))
59	5, 58	impbii 209	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ↔ (𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048  ∃wrex 3057  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282   class class class wbr 5093   E cep 5518   Or wor 5526   Fr wfr 5569   We wwe 5571  ^◡ccnv 5618  dom cdm 5619  Ord word 6310  Oncon0 6311  suc csuc 6313   Isom wiso 6487  ωcom 7802  1_oc1o 8384   ≈ cen 8872  Fincfn 8875  OrdIsocoi 9402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-1o 8391  df-en 8876  df-fin 8879  df-oi 9403

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