Theorem wofib 9082

Description: The only sets which are well-ordered forwards and backwards are finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
wofib.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
wofib	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ↔ (𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴))

Proof of Theorem wofib

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wofi 8841	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 We 𝐴)
2		cnvso 6120	. . . 4 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 ↔ ◡𝑅 Or 𝐴)
3		wofi 8841	. . . 4 ⊢ ((◡𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝑅 We 𝐴)
4	2, 3	sylanb 584	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝑅 We 𝐴)
5	1, 4	jca 515	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴))
6		weso 5516	. . . 4 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴)
7	6	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → 𝑅 Or 𝐴)
8		peano2 7621	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ∈ ω)
9		sucidg 6250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → 𝑦 ∈ suc 𝑦)
10		vex 3402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑧 ∈ V
11		vex 3402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑦 ∈ V
12	10, 11	brcnv 5725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧◡ E 𝑦 ↔ 𝑦 E 𝑧)
13		epel 5437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 E 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧)
14	12, 13	bitri 278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧◡ E 𝑦 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧)
15		eleq2 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ suc 𝑦))
16	14, 15	syl5bb 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → (𝑧◡ E 𝑦 ↔ 𝑦 ∈ suc 𝑦))
17	16	rspcev 3526	. . . . . . . . 9 ⊢ ((suc 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ω 𝑧◡ E 𝑦)
18	8, 9, 17	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ∃𝑧 ∈ ω 𝑧◡ E 𝑦)
19		dfrex2 3152	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 ∈ ω 𝑧◡ E 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦)
20	18, 19	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ¬ ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦)
21	20	nrex 3179	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦
22		ordom 7608	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ω
23		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ OrdIso(𝑅, 𝐴) = OrdIso(𝑅, 𝐴)
24	23	oicl 9066	. . . . . . . 8 ⊢ Ord dom OrdIso(𝑅, 𝐴)
25		ordtri1 6205	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord ω ∧ Ord dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ↔ ¬ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω))
26	22, 24, 25	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ↔ ¬ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω)
27		wofib.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ∈ V
28	23	oion 9073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ V → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ On)
29	27, 28	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ On)
30		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
31	29, 30	ssexd 5192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ω ∈ V)
32	23	oiiso 9074	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑅 We 𝐴) → OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅 (dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
33	27, 32	mpan 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅 (dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
34		isocnv2 7097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅 (dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴) ↔ OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom ◡ E , ◡𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
35	33, 34	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom ◡ E , ◡𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
36		wefr 5515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡𝑅 We 𝐴 → ◡𝑅 Fr 𝐴)
37		isofr 7108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom ◡ E , ◡𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴) → (◡ E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ↔ ◡𝑅 Fr 𝐴))
38	37	biimpar 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom ◡ E , ◡𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴) ∧ ◡𝑅 Fr 𝐴) → ◡ E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
39	35, 36, 38	syl2an 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → ◡ E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
40	39	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ◡ E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
41		1onn 8296	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ ω
42		ne0i 4223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1o ∈ ω → ω ≠ ∅)
43	41, 42	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ω ≠ ∅)
44		fri 5486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ω ∈ V ∧ ◡ E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) ∧ (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∧ ω ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦)
45	31, 40, 30, 43, 44	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦)
46	45	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦))
47	26, 46	syl5bir 246	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → (¬ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦))
48	21, 47	mt3i 151	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω)
49		ssid 3899	. . . . 5 ⊢ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)
50		ssnnfi 8768	. . . . 5 ⊢ ((dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω ∧ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin)
51	48, 49, 50	sylancl 589	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin)
52		simpl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → 𝑅 We 𝐴)
53	23	oien 9075	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ≈ 𝐴)
54	27, 52, 53	sylancr 590	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ≈ 𝐴)
55		enfi 8785	. . . . 5 ⊢ (dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ≈ 𝐴 → (dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
56	54, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → (dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
57	51, 56	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
58	7, 57	jca 515	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → (𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin))
59	5, 58	impbii 212	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ↔ (𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3054  Vcvv 3398   ⊆ wss 3843  ∅c0 4211   class class class wbr 5030   E cep 5433   Or wor 5441   Fr wfr 5480   We wwe 5482  ^◡ccnv 5524  dom cdm 5525  Ord word 6171  Oncon0 6172  suc csuc 6174   Isom wiso 6340  ωcom 7599  1_oc1o 8124   ≈ cen 8552  Fincfn 8555  OrdIsocoi 9046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5296  ax-un 7479

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-om 7600  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-1o 8131  df-en 8556  df-fin 8559  df-oi 9047

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