Theorem wofib 9304

Description: The only sets which are well-ordered forwards and backwards are finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
wofib.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
wofib	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ↔ (𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴))

Proof of Theorem wofib

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wofi 9063	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 We 𝐴)
2		cnvso 6191	. . . 4 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 ↔ ◡𝑅 Or 𝐴)
3		wofi 9063	. . . 4 ⊢ ((◡𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝑅 We 𝐴)
4	2, 3	sylanb 581	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝑅 We 𝐴)
5	1, 4	jca 512	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴))
6		weso 5580	. . . 4 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴)
7	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → 𝑅 Or 𝐴)
8		peano2 7737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ∈ ω)
9		sucidg 6344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → 𝑦 ∈ suc 𝑦)
10		vex 3436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑧 ∈ V
11		vex 3436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑦 ∈ V
12	10, 11	brcnv 5791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧◡ E 𝑦 ↔ 𝑦 E 𝑧)
13		epel 5498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 E 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧)
14	12, 13	bitri 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧◡ E 𝑦 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧)
15		eleq2 2827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ suc 𝑦))
16	14, 15	bitrid 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → (𝑧◡ E 𝑦 ↔ 𝑦 ∈ suc 𝑦))
17	16	rspcev 3561	. . . . . . . . 9 ⊢ ((suc 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ω 𝑧◡ E 𝑦)
18	8, 9, 17	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ∃𝑧 ∈ ω 𝑧◡ E 𝑦)
19		dfrex2 3170	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 ∈ ω 𝑧◡ E 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦)
20	18, 19	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ¬ ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦)
21	20	nrex 3197	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦
22		ordom 7722	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ω
23		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ OrdIso(𝑅, 𝐴) = OrdIso(𝑅, 𝐴)
24	23	oicl 9288	. . . . . . . 8 ⊢ Ord dom OrdIso(𝑅, 𝐴)
25		ordtri1 6299	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord ω ∧ Ord dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ↔ ¬ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω))
26	22, 24, 25	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ↔ ¬ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω)
27		wofib.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ∈ V
28	23	oion 9295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ V → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ On)
29	27, 28	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ On)
30		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
31	29, 30	ssexd 5248	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ω ∈ V)
32	23	oiiso 9296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑅 We 𝐴) → OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅 (dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
33	27, 32	mpan 687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅 (dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
34		isocnv2 7202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅 (dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴) ↔ OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom ◡ E , ◡𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
35	33, 34	sylib 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom ◡ E , ◡𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
36		wefr 5579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡𝑅 We 𝐴 → ◡𝑅 Fr 𝐴)
37		isofr 7213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom ◡ E , ◡𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴) → (◡ E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ↔ ◡𝑅 Fr 𝐴))
38	37	biimpar 478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom ◡ E , ◡𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴) ∧ ◡𝑅 Fr 𝐴) → ◡ E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
39	35, 36, 38	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → ◡ E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
40	39	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ◡ E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
41		1onn 8470	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ ω
42		ne0i 4268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1o ∈ ω → ω ≠ ∅)
43	41, 42	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ω ≠ ∅)
44		fri 5549	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ω ∈ V ∧ ◡ E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) ∧ (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∧ ω ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦)
45	31, 40, 30, 43, 44	syl22anc 836	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦)
46	45	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦))
47	26, 46	syl5bir 242	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → (¬ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦))
48	21, 47	mt3i 149	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω)
49		ssid 3943	. . . . 5 ⊢ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)
50		ssnnfi 8952	. . . . 5 ⊢ ((dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω ∧ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin)
51	48, 49, 50	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin)
52		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → 𝑅 We 𝐴)
53	23	oien 9297	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ≈ 𝐴)
54	27, 52, 53	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ≈ 𝐴)
55		enfi 8973	. . . . 5 ⊢ (dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ≈ 𝐴 → (dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
56	54, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → (dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
57	51, 56	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
58	7, 57	jca 512	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → (𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin))
59	5, 58	impbii 208	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ↔ (𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256   class class class wbr 5074   E cep 5494   Or wor 5502   Fr wfr 5541   We wwe 5543  ^◡ccnv 5588  dom cdm 5589  Ord word 6265  Oncon0 6266  suc csuc 6268   Isom wiso 6434  ωcom 7712  1_oc1o 8290   ≈ cen 8730  Fincfn 8733  OrdIsocoi 9268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-1o 8297  df-en 8734  df-fin 8737  df-oi 9269

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