Theorem wofib 8993

Description: The only sets which are well-ordered forwards and backwards are finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
wofib.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
wofib	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ↔ (𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴))

Proof of Theorem wofib

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wofi 8751	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 We 𝐴)
2		cnvso 6107	. . . 4 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 ↔ ◡𝑅 Or 𝐴)
3		wofi 8751	. . . 4 ⊢ ((◡𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝑅 We 𝐴)
4	2, 3	sylanb 584	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝑅 We 𝐴)
5	1, 4	jca 515	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴))
6		weso 5510	. . . 4 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → 𝑅 Or 𝐴)
7	6	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → 𝑅 Or 𝐴)
8		peano2 7582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ∈ ω)
9		sucidg 6237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ω → 𝑦 ∈ suc 𝑦)
10		vex 3444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑧 ∈ V
11		vex 3444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑦 ∈ V
12	10, 11	brcnv 5717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧◡ E 𝑦 ↔ 𝑦 E 𝑧)
13		epel 5433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 E 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧)
14	12, 13	bitri 278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧◡ E 𝑦 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧)
15		eleq2 2878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ suc 𝑦))
16	14, 15	syl5bb 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = suc 𝑦 → (𝑧◡ E 𝑦 ↔ 𝑦 ∈ suc 𝑦))
17	16	rspcev 3571	. . . . . . . . 9 ⊢ ((suc 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ω 𝑧◡ E 𝑦)
18	8, 9, 17	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ∃𝑧 ∈ ω 𝑧◡ E 𝑦)
19		dfrex2 3202	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 ∈ ω 𝑧◡ E 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦)
20	18, 19	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ¬ ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦)
21	20	nrex 3228	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦
22		ordom 7569	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ω
23		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ OrdIso(𝑅, 𝐴) = OrdIso(𝑅, 𝐴)
24	23	oicl 8977	. . . . . . . 8 ⊢ Ord dom OrdIso(𝑅, 𝐴)
25		ordtri1 6192	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord ω ∧ Ord dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ↔ ¬ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω))
26	22, 24, 25	mp2an 691	. . . . . . 7 ⊢ (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ↔ ¬ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω)
27		wofib.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ∈ V
28	23	oion 8984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ V → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ On)
29	27, 28	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ On)
30		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
31	29, 30	ssexd 5192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ω ∈ V)
32	23	oiiso 8985	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑅 We 𝐴) → OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅 (dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
33	27, 32	mpan 689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅 (dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
34		isocnv2 7063	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅 (dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴) ↔ OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom ◡ E , ◡𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
35	33, 34	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 We 𝐴 → OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom ◡ E , ◡𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
36		wefr 5509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡𝑅 We 𝐴 → ◡𝑅 Fr 𝐴)
37		isofr 7074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom ◡ E , ◡𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴) → (◡ E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ↔ ◡𝑅 Fr 𝐴))
38	37	biimpar 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom ◡ E , ◡𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴) ∧ ◡𝑅 Fr 𝐴) → ◡ E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
39	35, 36, 38	syl2an 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → ◡ E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
40	39	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ◡ E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
41		1onn 8248	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ ω
42		ne0i 4250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1o ∈ ω → ω ≠ ∅)
43	41, 42	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ω ≠ ∅)
44		fri 5481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ω ∈ V ∧ ◡ E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) ∧ (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∧ ω ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦)
45	31, 40, 30, 43, 44	syl22anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦)
46	45	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦))
47	26, 46	syl5bir 246	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → (¬ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧◡ E 𝑦))
48	21, 47	mt3i 151	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω)
49		ssid 3937	. . . . 5 ⊢ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)
50		ssnnfi 8721	. . . . 5 ⊢ ((dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω ∧ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin)
51	48, 49, 50	sylancl 589	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin)
52		simpl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → 𝑅 We 𝐴)
53	23	oien 8986	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ≈ 𝐴)
54	27, 52, 53	sylancr 590	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ≈ 𝐴)
55		enfi 8718	. . . . 5 ⊢ (dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ≈ 𝐴 → (dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
56	54, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → (dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
57	51, 56	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
58	7, 57	jca 515	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴) → (𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin))
59	5, 58	impbii 212	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) ↔ (𝑅 We 𝐴 ∧ ◡𝑅 We 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243   class class class wbr 5030   E cep 5429   Or wor 5437   Fr wfr 5475   We wwe 5477  ^◡ccnv 5518  dom cdm 5519  Ord word 6158  Oncon0 6159  suc csuc 6161   Isom wiso 6325  ωcom 7560  1_oc1o 8078   ≈ cen 8489  Fincfn 8492  OrdIsocoi 8957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-1o 8085  df-er 8272  df-en 8493  df-fin 8496  df-oi 8958

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