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Theorem wofib 9536
Description: The only sets which are well-ordered forwards and backwards are finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
wofib.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
wofib ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) ↔ (𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴))

Proof of Theorem wofib
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wofi 9288 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 We 𝐴)
2 cnvso 6277 . . . 4 (𝑅 Or 𝐴𝑅 Or 𝐴)
3 wofi 9288 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 We 𝐴)
42, 3sylanb 580 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝑅 We 𝐴)
51, 4jca 511 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) → (𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴))
6 weso 5657 . . . 4 (𝑅 We 𝐴𝑅 Or 𝐴)
76adantr 480 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → 𝑅 Or 𝐴)
8 peano2 7874 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ∈ ω)
9 sucidg 6435 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → 𝑦 ∈ suc 𝑦)
10 vex 3470 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ V
11 vex 3470 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ V
1210, 11brcnv 5872 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 E 𝑦𝑦 E 𝑧)
13 epel 5573 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 E 𝑧𝑦𝑧)
1412, 13bitri 275 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 E 𝑦𝑦𝑧)
15 eleq2 2814 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = suc 𝑦 → (𝑦𝑧𝑦 ∈ suc 𝑦))
1614, 15bitrid 283 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = suc 𝑦 → (𝑧 E 𝑦𝑦 ∈ suc 𝑦))
1716rspcev 3604 . . . . . . . . 9 ((suc 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ω 𝑧 E 𝑦)
188, 9, 17syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ω → ∃𝑧 ∈ ω 𝑧 E 𝑦)
19 dfrex2 3065 . . . . . . . 8 (∃𝑧 ∈ ω 𝑧 E 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧 E 𝑦)
2018, 19sylib 217 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ω → ¬ ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧 E 𝑦)
2120nrex 3066 . . . . . 6 ¬ ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧 E 𝑦
22 ordom 7858 . . . . . . . 8 Ord ω
23 eqid 2724 . . . . . . . . 9 OrdIso(𝑅, 𝐴) = OrdIso(𝑅, 𝐴)
2423oicl 9520 . . . . . . . 8 Ord dom OrdIso(𝑅, 𝐴)
25 ordtri1 6387 . . . . . . . 8 ((Ord ω ∧ Ord dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ↔ ¬ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω))
2622, 24, 25mp2an 689 . . . . . . 7 (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ↔ ¬ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω)
27 wofib.1 . . . . . . . . . . 11 𝐴 ∈ V
2823oion 9527 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ V → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ On)
2927, 28mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ On)
30 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
3129, 30ssexd 5314 . . . . . . . . 9 (((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ω ∈ V)
3223oiiso 9528 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑅 We 𝐴) → OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅 (dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
3327, 32mpan 687 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 We 𝐴 → OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅 (dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
34 isocnv2 7320 . . . . . . . . . . . 12 (OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅 (dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴) ↔ OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
3533, 34sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 We 𝐴 → OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴))
36 wefr 5656 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 We 𝐴𝑅 Fr 𝐴)
37 isofr 7331 . . . . . . . . . . . 12 (OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴) → ( E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ↔ 𝑅 Fr 𝐴))
3837biimpar 477 . . . . . . . . . . 11 ((OrdIso(𝑅, 𝐴) Isom E , 𝑅(dom OrdIso(𝑅, 𝐴), 𝐴) ∧ 𝑅 Fr 𝐴) → E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
3935, 36, 38syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
4039adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴))
41 1onn 8635 . . . . . . . . . 10 1o ∈ ω
42 ne0i 4326 . . . . . . . . . 10 (1o ∈ ω → ω ≠ ∅)
4341, 42mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ω ≠ ∅)
44 fri 5626 . . . . . . . . 9 (((ω ∈ V ∧ E Fr dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) ∧ (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∧ ω ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧 E 𝑦)
4531, 40, 30, 43, 44syl22anc 836 . . . . . . . 8 (((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) ∧ ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧 E 𝑦)
4645ex 412 . . . . . . 7 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → (ω ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧 E 𝑦))
4726, 46biimtrrid 242 . . . . . 6 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → (¬ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω → ∃𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ¬ 𝑧 E 𝑦))
4821, 47mt3i 149 . . . . 5 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω)
49 ssid 3996 . . . . 5 dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)
50 ssnnfi 9165 . . . . 5 ((dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ ω ∧ dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ⊆ dom OrdIso(𝑅, 𝐴)) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin)
5148, 49, 50sylancl 585 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin)
52 simpl 482 . . . . . 6 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → 𝑅 We 𝐴)
5323oien 9529 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ≈ 𝐴)
5427, 52, 53sylancr 586 . . . . 5 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ≈ 𝐴)
55 enfi 9186 . . . . 5 (dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ≈ 𝐴 → (dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
5654, 55syl 17 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → (dom OrdIso(𝑅, 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
5751, 56mpbid 231 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
587, 57jca 511 . 2 ((𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴) → (𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin))
595, 58impbii 208 1 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) ↔ (𝑅 We 𝐴𝑅 We 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  wral 3053  wrex 3062  Vcvv 3466  wss 3940  c0 4314   class class class wbr 5138   E cep 5569   Or wor 5577   Fr wfr 5618   We wwe 5620  ccnv 5665  dom cdm 5666  Ord word 6353  Oncon0 6354  suc csuc 6356   Isom wiso 6534  ωcom 7848  1oc1o 8454  cen 8932  Fincfn 8935  OrdIsocoi 9500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-1o 8461  df-en 8936  df-fin 8939  df-oi 9501
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