MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isocnv3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isocnv3 7352
Description: Complementation law for isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isocnv3.1 𝐶 = ((𝐴 × 𝐴) ∖ 𝑅)
isocnv3.2 𝐷 = ((𝐵 × 𝐵) ∖ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
isocnv3 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ↔ 𝐻 Isom 𝐶, 𝐷 (𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem isocnv3
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 notbi 319 . . . . 5 ((𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)) ↔ (¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)))
2 brxp 5738 . . . . . . . 8 (𝑥(𝐴 × 𝐴)𝑦 ↔ (𝑥𝐴𝑦𝐴))
3 isocnv3.1 . . . . . . . . . . 11 𝐶 = ((𝐴 × 𝐴) ∖ 𝑅)
43breqi 5154 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐶𝑦𝑥((𝐴 × 𝐴) ∖ 𝑅)𝑦)
5 brdif 5201 . . . . . . . . . 10 (𝑥((𝐴 × 𝐴) ∖ 𝑅)𝑦 ↔ (𝑥(𝐴 × 𝐴)𝑦 ∧ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
64, 5bitri 275 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐶𝑦 ↔ (𝑥(𝐴 × 𝐴)𝑦 ∧ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
76baib 535 . . . . . . . 8 (𝑥(𝐴 × 𝐴)𝑦 → (𝑥𝐶𝑦 ↔ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
82, 7sylbir 235 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥𝐶𝑦 ↔ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
98adantl 481 . . . . . 6 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥𝐶𝑦 ↔ ¬ 𝑥𝑅𝑦))
10 f1of 6849 . . . . . . . 8 (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵𝐻:𝐴𝐵)
11 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . 10 ((𝐻:𝐴𝐵𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) ∈ 𝐵)
12 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . 10 ((𝐻:𝐴𝐵𝑦𝐴) → (𝐻𝑦) ∈ 𝐵)
1311, 12anim12dan 619 . . . . . . . . 9 ((𝐻:𝐴𝐵 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝐻𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝐻𝑦) ∈ 𝐵))
14 brxp 5738 . . . . . . . . 9 ((𝐻𝑥)(𝐵 × 𝐵)(𝐻𝑦) ↔ ((𝐻𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝐻𝑦) ∈ 𝐵))
1513, 14sylibr 234 . . . . . . . 8 ((𝐻:𝐴𝐵 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝐻𝑥)(𝐵 × 𝐵)(𝐻𝑦))
1610, 15sylan 580 . . . . . . 7 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝐻𝑥)(𝐵 × 𝐵)(𝐻𝑦))
17 isocnv3.2 . . . . . . . . . 10 𝐷 = ((𝐵 × 𝐵) ∖ 𝑆)
1817breqi 5154 . . . . . . . . 9 ((𝐻𝑥)𝐷(𝐻𝑦) ↔ (𝐻𝑥)((𝐵 × 𝐵) ∖ 𝑆)(𝐻𝑦))
19 brdif 5201 . . . . . . . . 9 ((𝐻𝑥)((𝐵 × 𝐵) ∖ 𝑆)(𝐻𝑦) ↔ ((𝐻𝑥)(𝐵 × 𝐵)(𝐻𝑦) ∧ ¬ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)))
2018, 19bitri 275 . . . . . . . 8 ((𝐻𝑥)𝐷(𝐻𝑦) ↔ ((𝐻𝑥)(𝐵 × 𝐵)(𝐻𝑦) ∧ ¬ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)))
2120baib 535 . . . . . . 7 ((𝐻𝑥)(𝐵 × 𝐵)(𝐻𝑦) → ((𝐻𝑥)𝐷(𝐻𝑦) ↔ ¬ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)))
2216, 21syl 17 . . . . . 6 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝐻𝑥)𝐷(𝐻𝑦) ↔ ¬ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)))
239, 22bibi12d 345 . . . . 5 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥𝐶𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝐷(𝐻𝑦)) ↔ (¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))))
241, 23bitr4id 290 . . . 4 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)) ↔ (𝑥𝐶𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝐷(𝐻𝑦))))
25242ralbidva 3217 . . 3 (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 → (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦)) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝐶𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝐷(𝐻𝑦))))
2625pm5.32i 574 . 2 ((𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))) ↔ (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝐶𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝐷(𝐻𝑦))))
27 df-isom 6572 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ↔ (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝑆(𝐻𝑦))))
28 df-isom 6572 . 2 (𝐻 Isom 𝐶, 𝐷 (𝐴, 𝐵) ↔ (𝐻:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝐶𝑦 ↔ (𝐻𝑥)𝐷(𝐻𝑦))))
2926, 27, 283bitr4i 303 1 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ↔ 𝐻 Isom 𝐶, 𝐷 (𝐴, 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  cdif 3960   class class class wbr 5148   × cxp 5687  wf 6559  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563   Isom wiso 6564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572
This theorem is referenced by:  leiso  14495  gtiso  32716
  Copyright terms: Public domain W3C validator