Theorem latpos 18527

Description: A lattice is a poset. (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
latpos	⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem latpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	islat 18522	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∧ dom (meet‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))))
5	4	simplbi 502	1 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   × cxp 5653  dom cdm 5655  ‘cfv 6533  Basecbs 17302  Posetcpo 18396  joincjn 18400  meetcmee 18401  Latclat 18520

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5661  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fv 6541  df-lat 18521

This theorem is used by:  latref  18530  latasymb  18531  lattr  18533  latjcom  18536  latjle12  18539  latleeqj1  18540  latmcom  18552  latlem12  18555  latleeqm1  18556  atlpos  40175  cvlposN  40201  hlpos  40240