Theorem latpos 18530

Description: A lattice is a poset. (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
latpos	⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem latpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3		eqid 2762	. . 3 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	islat 18525	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∧ dom (meet‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))))
5	4	simplbi 502	1 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   × cxp 5657  dom cdm 5659  ‘cfv 6537  Basecbs 17305  Posetcpo 18399  joincjn 18403  meetcmee 18404  Latclat 18523

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-xp 5665  df-dm 5669  df-iota 6493  df-fv 6545  df-lat 18524

This theorem is used by:  latref  18533  latasymb  18534  lattr  18536  latjcom  18539  latjle12  18542  latleeqj1  18543  latmcom  18555  latlem12  18558  latleeqm1  18559  atlpos  40176  cvlposN  40202  hlpos  40241