Theorem latpos 18361

Description: A lattice is a poset. (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
latpos	⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem latpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	islat 18356	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∧ dom (meet‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))))
5	4	simplbi 497	1 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   × cxp 5622  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  Posetcpo 18230  joincjn 18234  meetcmee 18235  Latclat 18354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-xp 5630  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fv 6500  df-lat 18355

This theorem is referenced by:  latref  18364  latasymb  18365  lattr  18367  latjcom  18370  latjle12  18373  latleeqj1  18374  latmcom  18386  latlem12  18389  latleeqm1  18390  atlpos  39561  cvlposN  39587  hlpos  39626