Theorem latpos 17662

Description: A lattice is a poset. (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
latpos	⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem latpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2823	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2823	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3		eqid 2823	. . 3 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	islat 17659	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∧ dom (meet‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))))
5	4	simplbi 500	1 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   × cxp 5555  dom cdm 5557  ‘cfv 6357  Basecbs 16485  Posetcpo 17552  joincjn 17556  meetcmee 17557  Latclat 17657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-rab 3149  df-v 3498  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-xp 5563  df-dm 5567  df-iota 6316  df-fv 6365  df-lat 17658

This theorem is referenced by:  latref  17665  latasymb  17666  lattr  17668  latjcom  17671  latjle12  17674  latleeqj1  17675  latmcom  17687  latlem12  17690  latleeqm1  17691  atlpos  36439  cvlposN  36465  hlpos  36504