Theorem latpos 18662

Description: A lattice is a poset. (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
latpos	⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem latpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	islat 18657	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∧ dom (meet‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))))
5	4	simplbi 502	1 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   × cxp 5656  dom cdm 5658  ‘cfv 6566  Basecbs 17431  Posetcpo 18531  joincjn 18535  meetcmee 18536  Latclat 18655

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-xp 5664  df-dm 5668  df-iota 6520  df-fv 6574  df-lat 18656

This theorem is used by:  latref  18665  latasymb  18666  lattr  18668  latjcom  18671  latjle12  18674  latleeqj1  18675  latmcom  18687  latlem12  18690  latleeqm1  18691  atlpos  40624  cvlposN  40650  hlpos  40689