MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latpos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latpos 18156
Description: A lattice is a poset. (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
latpos (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem latpos
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 eqid 2738 . . 3 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3 eqid 2738 . . 3 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
41, 2, 3islat 18151 . 2 (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∧ dom (meet‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))))
54simplbi 498 1 (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106   × cxp 5587  dom cdm 5589  cfv 6433  Basecbs 16912  Posetcpo 18025  joincjn 18029  meetcmee 18030  Latclat 18149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2709
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-xp 5595  df-dm 5599  df-iota 6391  df-fv 6441  df-lat 18150
This theorem is referenced by:  latref  18159  latasymb  18160  lattr  18162  latjcom  18165  latjle12  18168  latleeqj1  18169  latmcom  18181  latlem12  18184  latleeqm1  18185  atlpos  37315  cvlposN  37341  hlpos  37380
  Copyright terms: Public domain W3C validator