Theorem latpos 17652

Description: A lattice is a poset. (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
latpos	⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem latpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2798	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3		eqid 2798	. . 3 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	islat 17649	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∧ dom (meet‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))))
5	4	simplbi 501	1 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   × cxp 5517  dom cdm 5519  ‘cfv 6324  Basecbs 16475  Posetcpo 17542  joincjn 17546  meetcmee 17547  Latclat 17647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-rab 3115  df-v 3443  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-xp 5525  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fv 6332  df-lat 17648

This theorem is referenced by:  latref  17655  latasymb  17656  lattr  17658  latjcom  17661  latjle12  17664  latleeqj1  17665  latmcom  17677  latlem12  17680  latleeqm1  17681  atlpos  36597  cvlposN  36623  hlpos  36662