Theorem latpos 18344

Description: A lattice is a poset. (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
latpos	⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem latpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3		eqid 2731	. . 3 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	islat 18339	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∧ dom (meet‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))))
5	4	simplbi 497	1 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   × cxp 5612  dom cdm 5614  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  Posetcpo 18213  joincjn 18217  meetcmee 18218  Latclat 18337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-xp 5620  df-dm 5624  df-iota 6437  df-fv 6489  df-lat 18338

This theorem is referenced by:  latref  18347  latasymb  18348  lattr  18350  latjcom  18353  latjle12  18356  latleeqj1  18357  latmcom  18369  latlem12  18372  latleeqm1  18373  atlpos  39348  cvlposN  39374  hlpos  39413