Theorem latpos 18612

Description: A lattice is a poset. (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
latpos	⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem latpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	islat 18607	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∧ dom (meet‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))))
5	4	simplbi 502	1 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   × cxp 5649  dom cdm 5651  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  Posetcpo 18481  joincjn 18485  meetcmee 18486  Latclat 18605

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5657  df-dm 5661  df-iota 6494  df-fv 6546  df-lat 18606

This theorem is used by:  latref  18615  latasymb  18616  lattr  18618  latjcom  18621  latjle12  18624  latleeqj1  18625  latmcom  18637  latlem12  18640  latleeqm1  18641  atlpos  40358  cvlposN  40384  hlpos  40423