Theorem lattr 18469

Description: A lattice ordering is transitive. (sstr 3988 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latref.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latref.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lattr	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))

Proof of Theorem lattr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latpos 18463	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
2		latref.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		latref.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4	2, 3	postr 18345	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))
5	1, 4	sylan 578	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5153  ‘cfv 6554  Basecbs 17213  lecple 17273  Posetcpo 18332  Latclat 18456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2697  ax-nul 5311

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-dif 3950  df-un 3952  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-xp 5688  df-dm 5692  df-iota 6506  df-fv 6562  df-poset 18338  df-lat 18457

This theorem is referenced by:  lattrd  18471  latjlej1  18478  latjlej12  18480  latnlej2  18484  latmlem1  18494  latmlem12  18496  clatleglb  18543  lecmtN  38954  hlrelat2  39102  ps-2  39177  dalem3  39363  dalem17  39379  dalem21  39393  dalem25  39397  linepsubN  39451  pmapsub  39467  cdlemblem  39492  pmapjoin  39551  lhpmcvr4N  39725  4atexlemnclw  39769  cdlemd3  39899  cdleme3g  39933  cdleme3h  39934  cdleme7d  39945  cdleme21c  40026  cdleme32b  40141  cdleme35fnpq  40148  cdleme35f  40153  cdleme48bw  40201  cdlemf1  40260  cdlemg2fv2  40299  cdlemg7fvbwN  40306  cdlemg4  40316  cdlemg6c  40319  cdlemg27a  40391  cdlemg33b0  40400  cdlemg33a  40405  cdlemk3  40532  dia2dimlem1  40763  dihord6b  40959  dihord5apre  40961  dihglbcpreN  40999