Theorem lattr 18650

Description: A lattice ordering is transitive. (sstr 3921 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latref.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latref.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lattr	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))

Proof of Theorem lattr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latpos 18644	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
2		latref.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		latref.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4	2, 3	postr 18526	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))
5	1, 4	sylan 592	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6561  Basecbs 17419  lecple 17467  Posetcpo 18513  Latclat 18637

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-nul 5264

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-xp 5662  df-dm 5666  df-iota 6515  df-fv 6569  df-poset 18519  df-lat 18638

This theorem is used by:  lattrd  18652  latjlej1  18659  latjlej12  18661  latnlej2  18665  latmlem1  18675  latmlem12  18677  clatleglb  18724  lecmtN  40516  hlrelat2  40663  ps-2  40738  dalem3  40924  dalem17  40940  dalem21  40954  dalem25  40958  linepsubN  41012  pmapsub  41028  cdlemblem  41053  pmapjoin  41112  lhpmcvr4N  41286  4atexlemnclw  41330  cdlemd3  41460  cdleme3g  41494  cdleme3h  41495  cdleme7d  41506  cdleme21c  41587  cdleme32b  41702  cdleme35fnpq  41709  cdleme35f  41714  cdleme48bw  41762  cdlemf1  41821  cdlemg2fv2  41860  cdlemg7fvbwN  41867  cdlemg4  41877  cdlemg6c  41880  cdlemg27a  41952  cdlemg33b0  41961  cdlemg33a  41966  cdlemk3  42093  dia2dimlem1  42324  dihord6b  42520  dihord5apre  42522  dihglbcpreN  42560