Theorem lattr 18501

Description: A lattice ordering is transitive. (sstr 3946 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latref.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latref.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lattr	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))

Proof of Theorem lattr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latpos 18495	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
2		latref.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		latref.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4	2, 3	postr 18377	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))
5	1, 4	sylan 591	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  Basecbs 17270  lecple 17318  Posetcpo 18364  Latclat 18488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-nul 5270

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-xp 5669  df-dm 5673  df-iota 6494  df-fv 6546  df-poset 18370  df-lat 18489

This theorem is referenced by:  lattrd  18503  latjlej1  18510  latjlej12  18512  latnlej2  18516  latmlem1  18526  latmlem12  18528  clatleglb  18575  lecmtN  40011  hlrelat2  40158  ps-2  40233  dalem3  40419  dalem17  40435  dalem21  40449  dalem25  40453  linepsubN  40507  pmapsub  40523  cdlemblem  40548  pmapjoin  40607  lhpmcvr4N  40781  4atexlemnclw  40825  cdlemd3  40955  cdleme3g  40989  cdleme3h  40990  cdleme7d  41001  cdleme21c  41082  cdleme32b  41197  cdleme35fnpq  41204  cdleme35f  41209  cdleme48bw  41257  cdlemf1  41316  cdlemg2fv2  41355  cdlemg7fvbwN  41362  cdlemg4  41372  cdlemg6c  41375  cdlemg27a  41447  cdlemg33b0  41456  cdlemg33a  41461  cdlemk3  41588  dia2dimlem1  41819  dihord6b  42015  dihord5apre  42017  dihglbcpreN  42055