Theorem lattr 18367

Description: A lattice ordering is transitive. (sstr 3942 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latref.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latref.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lattr	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))

Proof of Theorem lattr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latpos 18361	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
2		latref.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		latref.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4	2, 3	postr 18243	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))
5	1, 4	sylan 580	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  lecple 17184  Posetcpo 18230  Latclat 18354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-nul 5251

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-xp 5630  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fv 6500  df-poset 18236  df-lat 18355

This theorem is referenced by:  lattrd  18369  latjlej1  18376  latjlej12  18378  latnlej2  18382  latmlem1  18392  latmlem12  18394  clatleglb  18441  lecmtN  39516  hlrelat2  39663  ps-2  39738  dalem3  39924  dalem17  39940  dalem21  39954  dalem25  39958  linepsubN  40012  pmapsub  40028  cdlemblem  40053  pmapjoin  40112  lhpmcvr4N  40286  4atexlemnclw  40330  cdlemd3  40460  cdleme3g  40494  cdleme3h  40495  cdleme7d  40506  cdleme21c  40587  cdleme32b  40702  cdleme35fnpq  40709  cdleme35f  40714  cdleme48bw  40762  cdlemf1  40821  cdlemg2fv2  40860  cdlemg7fvbwN  40867  cdlemg4  40877  cdlemg6c  40880  cdlemg27a  40952  cdlemg33b0  40961  cdlemg33a  40966  cdlemk3  41093  dia2dimlem1  41324  dihord6b  41520  dihord5apre  41522  dihglbcpreN  41560