Theorem lattr 18401

Description: A lattice ordering is transitive. (sstr 3931 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latref.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latref.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lattr	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))

Proof of Theorem lattr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latpos 18395	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
2		latref.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		latref.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4	2, 3	postr 18277	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))
5	1, 4	sylan 581	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  Basecbs 17170  lecple 17218  Posetcpo 18264  Latclat 18388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-nul 5241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5630  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fv 6500  df-poset 18270  df-lat 18389

This theorem is referenced by:  lattrd  18403  latjlej1  18410  latjlej12  18412  latnlej2  18416  latmlem1  18426  latmlem12  18428  clatleglb  18475  lecmtN  39716  hlrelat2  39863  ps-2  39938  dalem3  40124  dalem17  40140  dalem21  40154  dalem25  40158  linepsubN  40212  pmapsub  40228  cdlemblem  40253  pmapjoin  40312  lhpmcvr4N  40486  4atexlemnclw  40530  cdlemd3  40660  cdleme3g  40694  cdleme3h  40695  cdleme7d  40706  cdleme21c  40787  cdleme32b  40902  cdleme35fnpq  40909  cdleme35f  40914  cdleme48bw  40962  cdlemf1  41021  cdlemg2fv2  41060  cdlemg7fvbwN  41067  cdlemg4  41077  cdlemg6c  41080  cdlemg27a  41152  cdlemg33b0  41161  cdlemg33a  41166  cdlemk3  41293  dia2dimlem1  41524  dihord6b  41720  dihord5apre  41722  dihglbcpreN  41760