Theorem lattr 18356

Description: A lattice ordering is transitive. (sstr 3938 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latref.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latref.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lattr	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))

Proof of Theorem lattr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latpos 18350	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
2		latref.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		latref.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4	2, 3	postr 18232	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))
5	1, 4	sylan 580	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5093  ‘cfv 6487  Basecbs 17126  lecple 17174  Posetcpo 18219  Latclat 18343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-nul 5246

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-xp 5625  df-dm 5629  df-iota 6443  df-fv 6495  df-poset 18225  df-lat 18344

This theorem is referenced by:  lattrd  18358  latjlej1  18365  latjlej12  18367  latnlej2  18371  latmlem1  18381  latmlem12  18383  clatleglb  18430  lecmtN  39361  hlrelat2  39508  ps-2  39583  dalem3  39769  dalem17  39785  dalem21  39799  dalem25  39803  linepsubN  39857  pmapsub  39873  cdlemblem  39898  pmapjoin  39957  lhpmcvr4N  40131  4atexlemnclw  40175  cdlemd3  40305  cdleme3g  40339  cdleme3h  40340  cdleme7d  40351  cdleme21c  40432  cdleme32b  40547  cdleme35fnpq  40554  cdleme35f  40559  cdleme48bw  40607  cdlemf1  40666  cdlemg2fv2  40705  cdlemg7fvbwN  40712  cdlemg4  40722  cdlemg6c  40725  cdlemg27a  40797  cdlemg33b0  40806  cdlemg33a  40811  cdlemk3  40938  dia2dimlem1  41169  dihord6b  41365  dihord5apre  41367  dihglbcpreN  41405