Theorem lattr 18466

Description: A lattice ordering is transitive. (sstr 3942 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latref.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latref.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lattr	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))

Proof of Theorem lattr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latpos 18460	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
2		latref.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		latref.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4	2, 3	postr 18342	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))
5	1, 4	sylan 589	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  ‘cfv 6515  Basecbs 17235  lecple 17283  Posetcpo 18329  Latclat 18453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-nul 5253

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-xp 5649  df-dm 5653  df-iota 6471  df-fv 6523  df-poset 18335  df-lat 18454

This theorem is referenced by:  lattrd  18468  latjlej1  18475  latjlej12  18477  latnlej2  18481  latmlem1  18491  latmlem12  18493  clatleglb  18540  lecmtN  39840  hlrelat2  39987  ps-2  40062  dalem3  40248  dalem17  40264  dalem21  40278  dalem25  40282  linepsubN  40336  pmapsub  40352  cdlemblem  40377  pmapjoin  40436  lhpmcvr4N  40610  4atexlemnclw  40654  cdlemd3  40784  cdleme3g  40818  cdleme3h  40819  cdleme7d  40830  cdleme21c  40911  cdleme32b  41026  cdleme35fnpq  41033  cdleme35f  41038  cdleme48bw  41086  cdlemf1  41145  cdlemg2fv2  41184  cdlemg7fvbwN  41191  cdlemg4  41201  cdlemg6c  41204  cdlemg27a  41276  cdlemg33b0  41285  cdlemg33a  41290  cdlemk3  41417  dia2dimlem1  41648  dihord6b  41844  dihord5apre  41846  dihglbcpreN  41884