Theorem lattr 18624

Description: A lattice ordering is transitive. (sstr 3916 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latref.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latref.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lattr	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))

Proof of Theorem lattr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latpos 18618	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
2		latref.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		latref.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4	2, 3	postr 18500	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))
5	1, 4	sylan 592	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  Basecbs 17393  lecple 17441  Posetcpo 18487  Latclat 18611

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-nul 5259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5656  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fv 6547  df-poset 18493  df-lat 18612

This theorem is used by:  lattrd  18626  latjlej1  18633  latjlej12  18635  latnlej2  18639  latmlem1  18649  latmlem12  18651  clatleglb  18698  lecmtN  40407  hlrelat2  40554  ps-2  40629  dalem3  40815  dalem17  40831  dalem21  40845  dalem25  40849  linepsubN  40903  pmapsub  40919  cdlemblem  40944  pmapjoin  41003  lhpmcvr4N  41177  4atexlemnclw  41221  cdlemd3  41351  cdleme3g  41385  cdleme3h  41386  cdleme7d  41397  cdleme21c  41478  cdleme32b  41593  cdleme35fnpq  41600  cdleme35f  41605  cdleme48bw  41653  cdlemf1  41712  cdlemg2fv2  41751  cdlemg7fvbwN  41758  cdlemg4  41768  cdlemg6c  41771  cdlemg27a  41843  cdlemg33b0  41852  cdlemg33a  41857  cdlemk3  41984  dia2dimlem1  42215  dihord6b  42411  dihord5apre  42413  dihglbcpreN  42451