Theorem lattr 18514

Description: A lattice ordering is transitive. (sstr 4017 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latref.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latref.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lattr	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))

Proof of Theorem lattr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latpos 18508	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
2		latref.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		latref.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4	2, 3	postr 18390	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))
5	1, 4	sylan 579	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  lecple 17318  Posetcpo 18377  Latclat 18501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-nul 5324

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fv 6581  df-poset 18383  df-lat 18502

This theorem is referenced by:  lattrd  18516  latjlej1  18523  latjlej12  18525  latnlej2  18529  latmlem1  18539  latmlem12  18541  clatleglb  18588  lecmtN  39212  hlrelat2  39360  ps-2  39435  dalem3  39621  dalem17  39637  dalem21  39651  dalem25  39655  linepsubN  39709  pmapsub  39725  cdlemblem  39750  pmapjoin  39809  lhpmcvr4N  39983  4atexlemnclw  40027  cdlemd3  40157  cdleme3g  40191  cdleme3h  40192  cdleme7d  40203  cdleme21c  40284  cdleme32b  40399  cdleme35fnpq  40406  cdleme35f  40411  cdleme48bw  40459  cdlemf1  40518  cdlemg2fv2  40557  cdlemg7fvbwN  40564  cdlemg4  40574  cdlemg6c  40577  cdlemg27a  40649  cdlemg33b0  40658  cdlemg33a  40663  cdlemk3  40790  dia2dimlem1  41021  dihord6b  41217  dihord5apre  41219  dihglbcpreN  41257