Theorem lattr 18077

Description: A lattice ordering is transitive. (sstr 3925 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latref.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latref.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lattr	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))

Proof of Theorem lattr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latpos 18071	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
2		latref.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		latref.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4	2, 3	postr 17953	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))
5	1, 4	sylan 579	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  lecple 16895  Posetcpo 17940  Latclat 18064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-nul 5225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-xp 5586  df-dm 5590  df-iota 6376  df-fv 6426  df-poset 17946  df-lat 18065

This theorem is referenced by:  lattrd  18079  latjlej1  18086  latjlej12  18088  latnlej2  18092  latmlem1  18102  latmlem12  18104  clatleglb  18151  lecmtN  37197  hlrelat2  37344  ps-2  37419  dalem3  37605  dalem17  37621  dalem21  37635  dalem25  37639  linepsubN  37693  pmapsub  37709  cdlemblem  37734  pmapjoin  37793  lhpmcvr4N  37967  4atexlemnclw  38011  cdlemd3  38141  cdleme3g  38175  cdleme3h  38176  cdleme7d  38187  cdleme21c  38268  cdleme32b  38383  cdleme35fnpq  38390  cdleme35f  38395  cdleme48bw  38443  cdlemf1  38502  cdlemg2fv2  38541  cdlemg7fvbwN  38548  cdlemg4  38558  cdlemg6c  38561  cdlemg27a  38633  cdlemg33b0  38642  cdlemg33a  38647  cdlemk3  38774  dia2dimlem1  39005  dihord6b  39201  dihord5apre  39203  dihglbcpreN  39241