Theorem lattr 18354

Description: A lattice ordering is transitive. (sstr 3939 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latref.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latref.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lattr	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))

Proof of Theorem lattr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latpos 18348	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
2		latref.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		latref.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4	2, 3	postr 18230	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))
5	1, 4	sylan 580	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  ‘cfv 6488  Basecbs 17124  lecple 17172  Posetcpo 18217  Latclat 18341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705  ax-nul 5248

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-xp 5627  df-dm 5631  df-iota 6444  df-fv 6496  df-poset 18223  df-lat 18342

This theorem is referenced by:  lattrd  18356  latjlej1  18363  latjlej12  18365  latnlej2  18369  latmlem1  18379  latmlem12  18381  clatleglb  18428  lecmtN  39378  hlrelat2  39525  ps-2  39600  dalem3  39786  dalem17  39802  dalem21  39816  dalem25  39820  linepsubN  39874  pmapsub  39890  cdlemblem  39915  pmapjoin  39974  lhpmcvr4N  40148  4atexlemnclw  40192  cdlemd3  40322  cdleme3g  40356  cdleme3h  40357  cdleme7d  40368  cdleme21c  40449  cdleme32b  40564  cdleme35fnpq  40571  cdleme35f  40576  cdleme48bw  40624  cdlemf1  40683  cdlemg2fv2  40722  cdlemg7fvbwN  40729  cdlemg4  40739  cdlemg6c  40742  cdlemg27a  40814  cdlemg33b0  40823  cdlemg33a  40828  cdlemk3  40955  dia2dimlem1  41186  dihord6b  41382  dihord5apre  41384  dihglbcpreN  41422