Theorem lattr 18488

Description: A lattice ordering is transitive. (sstr 3947 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latref.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latref.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lattr	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))

Proof of Theorem lattr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latpos 18482	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
2		latref.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		latref.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4	2, 3	postr 18364	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))
5	1, 4	sylan 591	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5104  ‘cfv 6525  Basecbs 17257  lecple 17305  Posetcpo 18351  Latclat 18475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-nul 5260

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-xp 5657  df-dm 5661  df-iota 6481  df-fv 6533  df-poset 18357  df-lat 18476

This theorem is referenced by:  lattrd  18490  latjlej1  18497  latjlej12  18499  latnlej2  18503  latmlem1  18513  latmlem12  18515  clatleglb  18562  lecmtN  39887  hlrelat2  40034  ps-2  40109  dalem3  40295  dalem17  40311  dalem21  40325  dalem25  40329  linepsubN  40383  pmapsub  40399  cdlemblem  40424  pmapjoin  40483  lhpmcvr4N  40657  4atexlemnclw  40701  cdlemd3  40831  cdleme3g  40865  cdleme3h  40866  cdleme7d  40877  cdleme21c  40958  cdleme32b  41073  cdleme35fnpq  41080  cdleme35f  41085  cdleme48bw  41133  cdlemf1  41192  cdlemg2fv2  41231  cdlemg7fvbwN  41238  cdlemg4  41248  cdlemg6c  41251  cdlemg27a  41323  cdlemg33b0  41332  cdlemg33a  41337  cdlemk3  41464  dia2dimlem1  41695  dihord6b  41891  dihord5apre  41893  dihglbcpreN  41931