Theorem latmcom 18404

Description: The join of a lattice commutes. (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmcom.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmcom	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))

Proof of Theorem latmcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 5668	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
2	1	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
3		latmcom.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
5		latmcom.m	. . . . . . 7 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
6	3, 4, 5	islat 18374	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝐾) = (𝐵 × 𝐵) ∧ dom ∧ = (𝐵 × 𝐵))))
7		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝐾) = (𝐵 × 𝐵) ∧ dom ∧ = (𝐵 × 𝐵))) → dom ∧ = (𝐵 × 𝐵))
8	6, 7	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → dom ∧ = (𝐵 × 𝐵))
9	8	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → dom ∧ = (𝐵 × 𝐵))
10	2, 9	eleqtrrd 2831	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ )
11		opelxpi 5668	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
12	11	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
13	12	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
14	13, 9	eleqtrrd 2831	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom ∧ )
15	10, 14	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom ∧ ))
16		latpos 18379	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
17	3, 5	meetcom 18343	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom ∧ )) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))
18	16, 17	syl3anl1 1414	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom ∧ )) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))
19	15, 18	mpdan 687	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4591   × cxp 5629  dom cdm 5631  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  Posetcpo 18248  joincjn 18252  meetcmee 18253  Latclat 18372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-glb 18286  df-meet 18288  df-lat 18373

This theorem is referenced by:  latleeqm2  18409  latmlem2  18411  latmlej21  18421  latmlej22  18422  mod2ile  18435  olm12  39214  latm12  39216  latm32  39217  latmrot  39218  olm02  39223  omllaw2N  39230  cmtcomlemN  39234  cmtbr3N  39240  omlfh1N  39244  omlmod1i2N  39246  omlspjN  39247  cvlcvrp  39326  intnatN  39394  cvrexch  39407  cvrat4  39430  2atjm  39432  1cvrat  39463  2at0mat0  39512  dalem4  39652  dalem56  39715  atmod2i1  39848  atmod2i2  39849  llnmod2i2  39850  atmod3i1  39851  atmod3i2  39852  llnexchb2lem  39855  dalawlem3  39860  dalawlem4  39861  dalawlem6  39863  dalawlem9  39866  dalawlem11  39868  dalawlem12  39869  dalawlem15  39872  lhpmcvr  40010  4atexlemc  40056  cdleme20zN  40288  cdleme20d  40299  cdleme20l  40309  cdleme20m  40310  cdlemg12  40637  cdlemg17  40664  cdlemg19  40671  cdlemg44a  40718  dihmeetlem17N  41310  dihmeetlem20N  41313  dihmeetALTN  41314