MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmcom Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem latmcom 18416
Description: The join of a lattice commutes. (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmcom.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latmcom.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latmcom ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ 𝑋))
Proof of Theorem latmcom
StepHypRef Expression
1 opelxpi 5714 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
213adant1 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
3 latmcom.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
4 eqid 2733 . . . . . . 7 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
5 latmcom.m . . . . . . 7 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
63, 4, 5islat 18386 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (joinβ€˜πΎ) = (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ dom ∧ = (𝐡 Γ— 𝐡))))
7 simprr 772 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (joinβ€˜πΎ) = (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ dom ∧ = (𝐡 Γ— 𝐡))) β†’ dom ∧ = (𝐡 Γ— 𝐡))
86, 7sylbi 216 . . . . 5 (𝐾 ∈ Lat β†’ dom ∧ = (𝐡 Γ— 𝐡))
983ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ dom ∧ = (𝐡 Γ— 𝐡))
102, 9eleqtrrd 2837 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∧ )
11 opelxpi 5714 . . . . . 6 ((π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
1211ancoms 460 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
13123adant1 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
1413, 9eleqtrrd 2837 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ dom ∧ )
1510, 14jca 513 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∧ ∧ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ dom ∧ ))
16 latpos 18391 . . 3 (𝐾 ∈ Lat β†’ 𝐾 ∈ Poset)
173, 5meetcom 18357 . . 3 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∧ ∧ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ dom ∧ )) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ 𝑋))
1816, 17syl3anl1 1413 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∧ ∧ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ dom ∧ )) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ 𝑋))
1915, 18mpdan 686 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βŸ¨cop 4635   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  Posetcpo 18260  joincjn 18264  meetcmee 18265  Latclat 18384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-glb 18300  df-meet 18302  df-lat 18385
This theorem is referenced by:  latleeqm2  18421  latmlem2  18423  latmlej21  18433  latmlej22  18434  mod2ile  18447  olm12  38098  latm12  38100  latm32  38101  latmrot  38102  olm02  38107  omllaw2N  38114  cmtcomlemN  38118  cmtbr3N  38124  omlfh1N  38128  omlmod1i2N  38130  omlspjN  38131  cvlcvrp  38210  intnatN  38278  cvrexch  38291  cvrat4  38314  2atjm  38316  1cvrat  38347  2at0mat0  38396  dalem4  38536  dalem56  38599  atmod2i1  38732  atmod2i2  38733  llnmod2i2  38734  atmod3i1  38735  atmod3i2  38736  llnexchb2lem  38739  dalawlem3  38744  dalawlem4  38745  dalawlem6  38747  dalawlem9  38750  dalawlem11  38752  dalawlem12  38753  dalawlem15  38756  lhpmcvr  38894  4atexlemc  38940  cdleme20zN  39172  cdleme20d  39183  cdleme20l  39193  cdleme20m  39194  cdlemg12  39521  cdlemg17  39548  cdlemg19  39555  cdlemg44a  39602  dihmeetlem17N  40194  dihmeetlem20N  40197  dihmeetALTN  40198
  Copyright terms: Public domain W3C validator