MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latmcom 17276
Description: The join of a lattice commutes. (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmcom.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmcom.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latmcom ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))

Proof of Theorem latmcom
StepHypRef Expression
1 opelxpi 5345 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
213adant1 1153 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
3 latmcom.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
4 eqid 2805 . . . . . . 7 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
5 latmcom.m . . . . . . 7 = (meet‘𝐾)
63, 4, 5islat 17248 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝐾) = (𝐵 × 𝐵) ∧ dom = (𝐵 × 𝐵))))
7 simprr 780 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝐾) = (𝐵 × 𝐵) ∧ dom = (𝐵 × 𝐵))) → dom = (𝐵 × 𝐵))
86, 7sylbi 208 . . . . 5 (𝐾 ∈ Lat → dom = (𝐵 × 𝐵))
983ad2ant1 1156 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → dom = (𝐵 × 𝐵))
102, 9eleqtrrd 2887 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom )
11 opelxpi 5345 . . . . . 6 ((𝑌𝐵𝑋𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
1211ancoms 448 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
13123adant1 1153 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
1413, 9eleqtrrd 2887 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom )
1510, 14jca 503 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom ))
16 latpos 17251 . . 3 (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
173, 5meetcom 17233 . . 3 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom )) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
1816, 17syl3anl1 1526 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom )) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
1915, 18mpdan 670 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2158  cop 4373   × cxp 5306  dom cdm 5308  cfv 6098  (class class class)co 6871  Basecbs 16064  Posetcpo 17141  joincjn 17145  meetcmee 17146  Latclat 17246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1880  ax-4 1897  ax-5 2004  ax-6 2070  ax-7 2106  ax-8 2160  ax-9 2167  ax-10 2187  ax-11 2203  ax-12 2216  ax-13 2422  ax-ext 2784  ax-rep 4960  ax-sep 4971  ax-nul 4980  ax-pow 5032  ax-pr 5093  ax-un 7176
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1865  df-sb 2063  df-eu 2636  df-mo 2637  df-clab 2792  df-cleq 2798  df-clel 2801  df-nfc 2936  df-ne 2978  df-ral 3100  df-rex 3101  df-reu 3102  df-rab 3104  df-v 3392  df-sbc 3631  df-csb 3726  df-dif 3769  df-un 3771  df-in 3773  df-ss 3780  df-nul 4114  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-op 4374  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4841  df-opab 4903  df-mpt 4920  df-id 5216  df-xp 5314  df-rel 5315  df-cnv 5316  df-co 5317  df-dm 5318  df-rn 5319  df-res 5320  df-ima 5321  df-iota 6061  df-fun 6100  df-fn 6101  df-f 6102  df-f1 6103  df-fo 6104  df-f1o 6105  df-fv 6106  df-riota 6832  df-ov 6874  df-oprab 6875  df-glb 17176  df-meet 17178  df-lat 17247
This theorem is referenced by:  latleeqm2  17281  latmlem2  17283  latmlej21  17293  latmlej22  17294  mod2ile  17307  olm12  35005  latm12  35007  latm32  35008  latmrot  35009  olm02  35014  omllaw2N  35021  cmtcomlemN  35025  cmtbr3N  35031  omlfh1N  35035  omlmod1i2N  35037  omlspjN  35038  cvlcvrp  35117  intnatN  35184  cvrexch  35197  cvrat4  35220  2atjm  35222  1cvrat  35253  2at0mat0  35302  dalem4  35442  dalem56  35505  atmod2i1  35638  atmod2i2  35639  llnmod2i2  35640  atmod3i1  35641  atmod3i2  35642  llnexchb2lem  35645  dalawlem3  35650  dalawlem4  35651  dalawlem6  35653  dalawlem9  35656  dalawlem11  35658  dalawlem12  35659  dalawlem15  35662  lhpmcvr  35800  4atexlemc  35846  cdleme20zN  36079  cdleme20d  36090  cdleme20l  36100  cdleme20m  36101  cdlemg12  36428  cdlemg17  36455  cdlemg19  36462  cdlemg44a  36509  dihmeetlem17N  37101  dihmeetlem20N  37104  dihmeetALTN  37105
  Copyright terms: Public domain W3C validator