MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latmcom 18509
Description: The join of a lattice commutes. (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmcom.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmcom.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latmcom ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))

Proof of Theorem latmcom
StepHypRef Expression
1 opelxpi 5721 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
213adant1 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
3 latmcom.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
4 eqid 2736 . . . . . . 7 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
5 latmcom.m . . . . . . 7 = (meet‘𝐾)
63, 4, 5islat 18479 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝐾) = (𝐵 × 𝐵) ∧ dom = (𝐵 × 𝐵))))
7 simprr 772 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝐾) = (𝐵 × 𝐵) ∧ dom = (𝐵 × 𝐵))) → dom = (𝐵 × 𝐵))
86, 7sylbi 217 . . . . 5 (𝐾 ∈ Lat → dom = (𝐵 × 𝐵))
983ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → dom = (𝐵 × 𝐵))
102, 9eleqtrrd 2843 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom )
11 opelxpi 5721 . . . . . 6 ((𝑌𝐵𝑋𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
1211ancoms 458 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
13123adant1 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
1413, 9eleqtrrd 2843 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom )
1510, 14jca 511 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom ))
16 latpos 18484 . . 3 (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
173, 5meetcom 18450 . . 3 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom )) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
1816, 17syl3anl1 1413 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom )) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
1915, 18mpdan 687 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  cop 4631   × cxp 5682  dom cdm 5684  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  Posetcpo 18354  joincjn 18358  meetcmee 18359  Latclat 18477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-glb 18393  df-meet 18395  df-lat 18478
This theorem is referenced by:  latleeqm2  18514  latmlem2  18516  latmlej21  18526  latmlej22  18527  mod2ile  18540  olm12  39230  latm12  39232  latm32  39233  latmrot  39234  olm02  39239  omllaw2N  39246  cmtcomlemN  39250  cmtbr3N  39256  omlfh1N  39260  omlmod1i2N  39262  omlspjN  39263  cvlcvrp  39342  intnatN  39410  cvrexch  39423  cvrat4  39446  2atjm  39448  1cvrat  39479  2at0mat0  39528  dalem4  39668  dalem56  39731  atmod2i1  39864  atmod2i2  39865  llnmod2i2  39866  atmod3i1  39867  atmod3i2  39868  llnexchb2lem  39871  dalawlem3  39876  dalawlem4  39877  dalawlem6  39879  dalawlem9  39882  dalawlem11  39884  dalawlem12  39885  dalawlem15  39888  lhpmcvr  40026  4atexlemc  40072  cdleme20zN  40304  cdleme20d  40315  cdleme20l  40325  cdleme20m  40326  cdlemg12  40653  cdlemg17  40680  cdlemg19  40687  cdlemg44a  40734  dihmeetlem17N  41326  dihmeetlem20N  41329  dihmeetALTN  41330
  Copyright terms: Public domain W3C validator