MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latmcom 17673
Description: The join of a lattice commutes. (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmcom.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmcom.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latmcom ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))

Proof of Theorem latmcom
StepHypRef Expression
1 opelxpi 5585 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
213adant1 1122 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
3 latmcom.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
4 eqid 2818 . . . . . . 7 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
5 latmcom.m . . . . . . 7 = (meet‘𝐾)
63, 4, 5islat 17645 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝐾) = (𝐵 × 𝐵) ∧ dom = (𝐵 × 𝐵))))
7 simprr 769 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝐾) = (𝐵 × 𝐵) ∧ dom = (𝐵 × 𝐵))) → dom = (𝐵 × 𝐵))
86, 7sylbi 218 . . . . 5 (𝐾 ∈ Lat → dom = (𝐵 × 𝐵))
983ad2ant1 1125 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → dom = (𝐵 × 𝐵))
102, 9eleqtrrd 2913 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom )
11 opelxpi 5585 . . . . . 6 ((𝑌𝐵𝑋𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
1211ancoms 459 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
13123adant1 1122 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
1413, 9eleqtrrd 2913 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom )
1510, 14jca 512 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom ))
16 latpos 17648 . . 3 (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
173, 5meetcom 17630 . . 3 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom )) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
1816, 17syl3anl1 1404 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom )) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
1915, 18mpdan 683 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  cop 4563   × cxp 5546  dom cdm 5548  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  Posetcpo 17538  joincjn 17542  meetcmee 17543  Latclat 17643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-glb 17573  df-meet 17575  df-lat 17644
This theorem is referenced by:  latleeqm2  17678  latmlem2  17680  latmlej21  17690  latmlej22  17691  mod2ile  17704  olm12  36244  latm12  36246  latm32  36247  latmrot  36248  olm02  36253  omllaw2N  36260  cmtcomlemN  36264  cmtbr3N  36270  omlfh1N  36274  omlmod1i2N  36276  omlspjN  36277  cvlcvrp  36356  intnatN  36423  cvrexch  36436  cvrat4  36459  2atjm  36461  1cvrat  36492  2at0mat0  36541  dalem4  36681  dalem56  36744  atmod2i1  36877  atmod2i2  36878  llnmod2i2  36879  atmod3i1  36880  atmod3i2  36881  llnexchb2lem  36884  dalawlem3  36889  dalawlem4  36890  dalawlem6  36892  dalawlem9  36895  dalawlem11  36897  dalawlem12  36898  dalawlem15  36901  lhpmcvr  37039  4atexlemc  37085  cdleme20zN  37317  cdleme20d  37328  cdleme20l  37338  cdleme20m  37339  cdlemg12  37666  cdlemg17  37693  cdlemg19  37700  cdlemg44a  37747  dihmeetlem17N  38339  dihmeetlem20N  38342  dihmeetALTN  38343
  Copyright terms: Public domain W3C validator