Theorem latmcom 18096

Description: The join of a lattice commutes. (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmcom.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmcom	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))

Proof of Theorem latmcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 5617	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
2	1	3adant1 1128	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
3		latmcom.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
5		latmcom.m	. . . . . . 7 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
6	3, 4, 5	islat 18066	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝐾) = (𝐵 × 𝐵) ∧ dom ∧ = (𝐵 × 𝐵))))
7		simprr 769	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝐾) = (𝐵 × 𝐵) ∧ dom ∧ = (𝐵 × 𝐵))) → dom ∧ = (𝐵 × 𝐵))
8	6, 7	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → dom ∧ = (𝐵 × 𝐵))
9	8	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → dom ∧ = (𝐵 × 𝐵))
10	2, 9	eleqtrrd 2842	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ )
11		opelxpi 5617	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
12	11	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
13	12	3adant1 1128	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
14	13, 9	eleqtrrd 2842	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom ∧ )
15	10, 14	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom ∧ ))
16		latpos 18071	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
17	3, 5	meetcom 18037	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom ∧ )) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))
18	16, 17	syl3anl1 1410	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom ∧ )) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))
19	15, 18	mpdan 683	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4564   × cxp 5578  dom cdm 5580  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  Posetcpo 17940  joincjn 17944  meetcmee 17945  Latclat 18064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-glb 17980  df-meet 17982  df-lat 18065

This theorem is referenced by:  latleeqm2  18101  latmlem2  18103  latmlej21  18113  latmlej22  18114  mod2ile  18127  olm12  37169  latm12  37171  latm32  37172  latmrot  37173  olm02  37178  omllaw2N  37185  cmtcomlemN  37189  cmtbr3N  37195  omlfh1N  37199  omlmod1i2N  37201  omlspjN  37202  cvlcvrp  37281  intnatN  37348  cvrexch  37361  cvrat4  37384  2atjm  37386  1cvrat  37417  2at0mat0  37466  dalem4  37606  dalem56  37669  atmod2i1  37802  atmod2i2  37803  llnmod2i2  37804  atmod3i1  37805  atmod3i2  37806  llnexchb2lem  37809  dalawlem3  37814  dalawlem4  37815  dalawlem6  37817  dalawlem9  37820  dalawlem11  37822  dalawlem12  37823  dalawlem15  37826  lhpmcvr  37964  4atexlemc  38010  cdleme20zN  38242  cdleme20d  38253  cdleme20l  38263  cdleme20m  38264  cdlemg12  38591  cdlemg17  38618  cdlemg19  38625  cdlemg44a  38672  dihmeetlem17N  39264  dihmeetlem20N  39267  dihmeetALTN  39268