MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latmcom 18357
Description: The join of a lattice commutes. (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmcom.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latmcom.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latmcom ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ 𝑋))

Proof of Theorem latmcom
StepHypRef Expression
1 opelxpi 5671 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
213adant1 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
3 latmcom.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
4 eqid 2733 . . . . . . 7 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
5 latmcom.m . . . . . . 7 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
63, 4, 5islat 18327 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (joinβ€˜πΎ) = (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ dom ∧ = (𝐡 Γ— 𝐡))))
7 simprr 772 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (joinβ€˜πΎ) = (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ dom ∧ = (𝐡 Γ— 𝐡))) β†’ dom ∧ = (𝐡 Γ— 𝐡))
86, 7sylbi 216 . . . . 5 (𝐾 ∈ Lat β†’ dom ∧ = (𝐡 Γ— 𝐡))
983ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ dom ∧ = (𝐡 Γ— 𝐡))
102, 9eleqtrrd 2837 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∧ )
11 opelxpi 5671 . . . . . 6 ((π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
1211ancoms 460 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
13123adant1 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
1413, 9eleqtrrd 2837 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ dom ∧ )
1510, 14jca 513 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∧ ∧ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ dom ∧ ))
16 latpos 18332 . . 3 (𝐾 ∈ Lat β†’ 𝐾 ∈ Poset)
173, 5meetcom 18298 . . 3 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∧ ∧ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ dom ∧ )) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ 𝑋))
1816, 17syl3anl1 1413 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∧ ∧ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ dom ∧ )) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ 𝑋))
1915, 18mpdan 686 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βŸ¨cop 4593   Γ— cxp 5632  dom cdm 5634  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  Posetcpo 18201  joincjn 18205  meetcmee 18206  Latclat 18325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-glb 18241  df-meet 18243  df-lat 18326
This theorem is referenced by:  latleeqm2  18362  latmlem2  18364  latmlej21  18374  latmlej22  18375  mod2ile  18388  olm12  37736  latm12  37738  latm32  37739  latmrot  37740  olm02  37745  omllaw2N  37752  cmtcomlemN  37756  cmtbr3N  37762  omlfh1N  37766  omlmod1i2N  37768  omlspjN  37769  cvlcvrp  37848  intnatN  37916  cvrexch  37929  cvrat4  37952  2atjm  37954  1cvrat  37985  2at0mat0  38034  dalem4  38174  dalem56  38237  atmod2i1  38370  atmod2i2  38371  llnmod2i2  38372  atmod3i1  38373  atmod3i2  38374  llnexchb2lem  38377  dalawlem3  38382  dalawlem4  38383  dalawlem6  38385  dalawlem9  38388  dalawlem11  38390  dalawlem12  38391  dalawlem15  38394  lhpmcvr  38532  4atexlemc  38578  cdleme20zN  38810  cdleme20d  38821  cdleme20l  38831  cdleme20m  38832  cdlemg12  39159  cdlemg17  39186  cdlemg19  39193  cdlemg44a  39240  dihmeetlem17N  39832  dihmeetlem20N  39835  dihmeetALTN  39836
  Copyright terms: Public domain W3C validator