Theorem latmcom 18422

Description: The join of a lattice commutes. (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmcom.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmcom	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))

Proof of Theorem latmcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 5675	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
2	1	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
3		latmcom.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
5		latmcom.m	. . . . . . 7 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
6	3, 4, 5	islat 18392	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝐾) = (𝐵 × 𝐵) ∧ dom ∧ = (𝐵 × 𝐵))))
7		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝐾) = (𝐵 × 𝐵) ∧ dom ∧ = (𝐵 × 𝐵))) → dom ∧ = (𝐵 × 𝐵))
8	6, 7	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → dom ∧ = (𝐵 × 𝐵))
9	8	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → dom ∧ = (𝐵 × 𝐵))
10	2, 9	eleqtrrd 2831	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ )
11		opelxpi 5675	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
12	11	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
13	12	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
14	13, 9	eleqtrrd 2831	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom ∧ )
15	10, 14	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom ∧ ))
16		latpos 18397	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
17	3, 5	meetcom 18363	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom ∧ )) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))
18	16, 17	syl3anl1 1414	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom ∧ )) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))
19	15, 18	mpdan 687	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4595   × cxp 5636  dom cdm 5638  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  Posetcpo 18268  joincjn 18272  meetcmee 18273  Latclat 18390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-glb 18306  df-meet 18308  df-lat 18391

This theorem is referenced by:  latleeqm2  18427  latmlem2  18429  latmlej21  18439  latmlej22  18440  mod2ile  18453  olm12  39221  latm12  39223  latm32  39224  latmrot  39225  olm02  39230  omllaw2N  39237  cmtcomlemN  39241  cmtbr3N  39247  omlfh1N  39251  omlmod1i2N  39253  omlspjN  39254  cvlcvrp  39333  intnatN  39401  cvrexch  39414  cvrat4  39437  2atjm  39439  1cvrat  39470  2at0mat0  39519  dalem4  39659  dalem56  39722  atmod2i1  39855  atmod2i2  39856  llnmod2i2  39857  atmod3i1  39858  atmod3i2  39859  llnexchb2lem  39862  dalawlem3  39867  dalawlem4  39868  dalawlem6  39870  dalawlem9  39873  dalawlem11  39875  dalawlem12  39876  dalawlem15  39879  lhpmcvr  40017  4atexlemc  40063  cdleme20zN  40295  cdleme20d  40306  cdleme20l  40316  cdleme20m  40317  cdlemg12  40644  cdlemg17  40671  cdlemg19  40678  cdlemg44a  40725  dihmeetlem17N  41317  dihmeetlem20N  41320  dihmeetALTN  41321