MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latref Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latref 18499
Description: A lattice ordering is reflexive. (ssid 4018 analog.) (Contributed by NM, 8-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latref.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latref.l = (le‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latref ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋 𝑋)

Proof of Theorem latref
StepHypRef Expression
1 latpos 18496 . 2 (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
2 latref.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 latref.l . . 3 = (le‘𝐾)
42, 3posref 18376 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋 𝑋)
51, 4sylan 580 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305  Posetcpo 18365  Latclat 18489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-nul 5312
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5695  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fv 6571  df-proset 18352  df-poset 18371  df-lat 18490
This theorem is referenced by:  latleeqj1  18509  latjidm  18520  latleeqm1  18525  latmidm  18532  olj01  39207  olm01  39218  cmtidN  39239  ps-1  39460  3at  39473  llnneat  39497  2atnelpln  39527  lplnneat  39528  lplnnelln  39529  3atnelvolN  39569  lvolneatN  39571  lvolnelln  39572  lvolnelpln  39573  4at  39596  lplncvrlvol  39599  lncmp  39766  lhpocnle  39999  ltrnel  40122  ltrncnvel  40125  tendoidcl  40752  cdlemk39u  40951  dia1eldmN  41024  dia1N  41036  dihwN  41272  dihglblem5apreN  41274  dihmeetbclemN  41287
  Copyright terms: Public domain W3C validator