Theorem latjle12 18460

Description: A join is less than or equal to a third value iff each argument is less than or equal to the third value. (chlub 31490 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latjle12	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑍))

Proof of Theorem latjle12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		latpos 18448	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Poset)
6		simpr1 1195	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		simpr2 1196	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		simpr3 1197	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
9		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
10		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
11	1, 3, 9, 10, 6, 7	latcl2 18446	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
12	11	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
13	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12	joinle 18396	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4607   class class class wbr 5119  dom cdm 5654  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  lecple 17278  Posetcpo 18319  joincjn 18323  meetcmee 18324  Latclat 18441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-poset 18325  df-lub 18356  df-join 18358  df-lat 18442

This theorem is referenced by:  latleeqj1  18461  latjlej1  18463  latjidm  18472  latledi  18487  latjass  18493  mod1ile  18503  lubun  18525  oldmm1  39235  olj01  39243  cvlexchb1  39348  cvlcvr1  39357  hlrelat  39421  hlrelat2  39422  exatleN  39423  hlrelat3  39431  cvrexchlem  39438  cvratlem  39440  cvrat  39441  atlelt  39457  ps-1  39496  hlatexch3N  39499  hlatexch4  39500  3atlem1  39502  3atlem2  39503  lplnexllnN  39583  2llnjaN  39585  4atlem3  39615  4atlem10  39625  4atlem11b  39627  4atlem11  39628  4atlem12b  39630  4atlem12  39631  2lplnja  39638  dalem1  39678  dalem3  39683  dalem8  39689  dalem16  39698  dalem17  39699  dalem21  39713  dalem25  39717  dalem39  39730  dalem54  39745  dalem60  39751  linepsubN  39771  pmapsub  39787  lneq2at  39797  2llnma3r  39807  cdlema1N  39810  cdlemblem  39812  paddasslem5  39843  paddasslem12  39850  paddasslem13  39851  llnexchb2  39888  dalawlem3  39892  dalawlem5  39894  dalawlem8  39897  dalawlem11  39900  dalawlem12  39901  lhp2lt  40020  lhpexle2lem  40028  lhpexle3lem  40030  4atexlemtlw  40086  4atexlemnclw  40089  lautj  40112  cdlemd3  40219  cdleme3g  40253  cdleme3h  40254  cdleme7d  40265  cdleme11c  40280  cdleme15d  40296  cdleme17b  40306  cdleme19a  40322  cdleme20j  40337  cdleme21c  40346  cdleme22b  40360  cdleme22d  40362  cdleme28a  40389  cdleme35a  40467  cdleme35fnpq  40468  cdleme35b  40469  cdleme35f  40473  cdleme42c  40491  cdleme42i  40502  cdlemf1  40580  cdlemg4c  40631  cdlemg6c  40639  cdlemg8b  40647  cdlemg10  40660  cdlemg11b  40661  cdlemg13a  40670  cdlemg17a  40680  cdlemg18b  40698  cdlemg27a  40711  cdlemg33b0  40720  cdlemg35  40732  cdlemg42  40748  cdlemg46  40754  trljco  40759  tendopltp  40799  cdlemk3  40852  cdlemk10  40862  cdlemk1u  40878  cdlemk39  40935  dialss  41065  dia2dimlem1  41083  dia2dimlem10  41092  dia2dimlem12  41094  cdlemm10N  41137  djajN  41156  diblss  41189  cdlemn2  41214  dihord2pre2  41245  dib2dim  41262  dih2dimb  41263  dih2dimbALTN  41264  dihmeetlem6  41328  dihjatcclem1  41437