Theorem latjle12 18630

Description: A join is less than or equal to a third value iff each argument is less than or equal to the third value. (chlub 32117 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latjle12	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑍))

Proof of Theorem latjle12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		latpos 18618	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
5	4	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Poset)
6		simpr1 1213	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		simpr2 1214	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		simpr3 1215	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
10		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
11	1, 3, 9, 10, 6, 7	latcl2 18616	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
12	11	simpld 500	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
13	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12	joinle 18564	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102  dom cdm 5650  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  lecple 17441  Posetcpo 18487  joincjn 18491  meetcmee 18492  Latclat 18611

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-poset 18493  df-lub 18524  df-join 18526  df-lat 18612

This theorem is used by:  latleeqj1  18631  latjlej1  18633  latjidm  18642  latledi  18657  latjass  18663  mod1ile  18673  lubun  18695  oldmm1  40368  olj01  40376  cvlexchb1  40481  cvlcvr1  40490  hlrelat  40553  hlrelat2  40554  exatleN  40555  hlrelat3  40563  cvrexchlem  40570  cvratlem  40572  cvrat  40573  atlelt  40589  ps-1  40628  hlatexch3N  40631  hlatexch4  40632  3atlem1  40634  3atlem2  40635  lplnexllnN  40715  2llnjaN  40717  4atlem3  40747  4atlem10  40757  4atlem11b  40759  4atlem11  40760  4atlem12b  40762  4atlem12  40763  2lplnja  40770  dalem1  40810  dalem3  40815  dalem8  40821  dalem16  40830  dalem17  40831  dalem21  40845  dalem25  40849  dalem39  40862  dalem54  40877  dalem60  40883  linepsubN  40903  pmapsub  40919  lneq2at  40929  2llnma3r  40939  cdlema1N  40942  cdlemblem  40944  paddasslem5  40975  paddasslem12  40982  paddasslem13  40983  llnexchb2  41020  dalawlem3  41024  dalawlem5  41026  dalawlem8  41029  dalawlem11  41032  dalawlem12  41033  lhp2lt  41152  lhpexle2lem  41160  lhpexle3lem  41162  4atexlemtlw  41218  4atexlemnclw  41221  lautj  41244  cdlemd3  41351  cdleme3g  41385  cdleme3h  41386  cdleme7d  41397  cdleme11c  41412  cdleme15d  41428  cdleme17b  41438  cdleme19a  41454  cdleme20j  41469  cdleme21c  41478  cdleme22b  41492  cdleme22d  41494  cdleme28a  41521  cdleme35a  41599  cdleme35fnpq  41600  cdleme35b  41601  cdleme35f  41605  cdleme42c  41623  cdleme42i  41634  cdlemf1  41712  cdlemg4c  41763  cdlemg6c  41771  cdlemg8b  41779  cdlemg10  41792  cdlemg11b  41793  cdlemg13a  41802  cdlemg17a  41812  cdlemg18b  41830  cdlemg27a  41843  cdlemg33b0  41852  cdlemg35  41864  cdlemg42  41880  cdlemg46  41886  trljco  41891  tendopltp  41931  cdlemk3  41984  cdlemk10  41994  cdlemk1u  42010  cdlemk39  42067  dialss  42197  dia2dimlem1  42215  dia2dimlem10  42224  dia2dimlem12  42226  cdlemm10N  42269  djajN  42288  diblss  42321  cdlemn2  42346  dihord2pre2  42377  dib2dim  42394  dih2dimb  42395  dih2dimbALTN  42396  dihmeetlem6  42460  dihjatcclem1  42569