Theorem latjle12 18495

Description: A join is less than or equal to a third value iff each argument is less than or equal to the third value. (chlub 31528 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latjle12	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑍))

Proof of Theorem latjle12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		latpos 18483	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Poset)
6		simpr1 1195	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		simpr2 1196	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		simpr3 1197	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
10		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
11	1, 3, 9, 10, 6, 7	latcl2 18481	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
12	11	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
13	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12	joinle 18431	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4632   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  lecple 17304  Posetcpo 18353  joincjn 18357  meetcmee 18358  Latclat 18476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-poset 18359  df-lub 18391  df-join 18393  df-lat 18477

This theorem is referenced by:  latleeqj1  18496  latjlej1  18498  latjidm  18507  latledi  18522  latjass  18528  mod1ile  18538  lubun  18560  oldmm1  39218  olj01  39226  cvlexchb1  39331  cvlcvr1  39340  hlrelat  39404  hlrelat2  39405  exatleN  39406  hlrelat3  39414  cvrexchlem  39421  cvratlem  39423  cvrat  39424  atlelt  39440  ps-1  39479  hlatexch3N  39482  hlatexch4  39483  3atlem1  39485  3atlem2  39486  lplnexllnN  39566  2llnjaN  39568  4atlem3  39598  4atlem10  39608  4atlem11b  39610  4atlem11  39611  4atlem12b  39613  4atlem12  39614  2lplnja  39621  dalem1  39661  dalem3  39666  dalem8  39672  dalem16  39681  dalem17  39682  dalem21  39696  dalem25  39700  dalem39  39713  dalem54  39728  dalem60  39734  linepsubN  39754  pmapsub  39770  lneq2at  39780  2llnma3r  39790  cdlema1N  39793  cdlemblem  39795  paddasslem5  39826  paddasslem12  39833  paddasslem13  39834  llnexchb2  39871  dalawlem3  39875  dalawlem5  39877  dalawlem8  39880  dalawlem11  39883  dalawlem12  39884  lhp2lt  40003  lhpexle2lem  40011  lhpexle3lem  40013  4atexlemtlw  40069  4atexlemnclw  40072  lautj  40095  cdlemd3  40202  cdleme3g  40236  cdleme3h  40237  cdleme7d  40248  cdleme11c  40263  cdleme15d  40279  cdleme17b  40289  cdleme19a  40305  cdleme20j  40320  cdleme21c  40329  cdleme22b  40343  cdleme22d  40345  cdleme28a  40372  cdleme35a  40450  cdleme35fnpq  40451  cdleme35b  40452  cdleme35f  40456  cdleme42c  40474  cdleme42i  40485  cdlemf1  40563  cdlemg4c  40614  cdlemg6c  40622  cdlemg8b  40630  cdlemg10  40643  cdlemg11b  40644  cdlemg13a  40653  cdlemg17a  40663  cdlemg18b  40681  cdlemg27a  40694  cdlemg33b0  40703  cdlemg35  40715  cdlemg42  40731  cdlemg46  40737  trljco  40742  tendopltp  40782  cdlemk3  40835  cdlemk10  40845  cdlemk1u  40861  cdlemk39  40918  dialss  41048  dia2dimlem1  41066  dia2dimlem10  41075  dia2dimlem12  41077  cdlemm10N  41120  djajN  41139  diblss  41172  cdlemn2  41197  dihord2pre2  41228  dib2dim  41245  dih2dimb  41246  dih2dimbALTN  41247  dihmeetlem6  41311  dihjatcclem1  41420