Theorem latjle12 18374

Description: A join is less than or equal to a third value iff each argument is less than or equal to the third value. (chlub 31471 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latjle12	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑍))

Proof of Theorem latjle12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		latpos 18362	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Poset)
6		simpr1 1195	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		simpr2 1196	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		simpr3 1197	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
9		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
10		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
11	1, 3, 9, 10, 6, 7	latcl2 18360	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
12	11	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
13	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12	joinle 18308	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4585   class class class wbr 5095  dom cdm 5623  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  lecple 17186  Posetcpo 18231  joincjn 18235  meetcmee 18236  Latclat 18355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-poset 18237  df-lub 18268  df-join 18270  df-lat 18356

This theorem is referenced by:  latleeqj1  18375  latjlej1  18377  latjidm  18386  latledi  18401  latjass  18407  mod1ile  18417  lubun  18439  oldmm1  39198  olj01  39206  cvlexchb1  39311  cvlcvr1  39320  hlrelat  39384  hlrelat2  39385  exatleN  39386  hlrelat3  39394  cvrexchlem  39401  cvratlem  39403  cvrat  39404  atlelt  39420  ps-1  39459  hlatexch3N  39462  hlatexch4  39463  3atlem1  39465  3atlem2  39466  lplnexllnN  39546  2llnjaN  39548  4atlem3  39578  4atlem10  39588  4atlem11b  39590  4atlem11  39591  4atlem12b  39593  4atlem12  39594  2lplnja  39601  dalem1  39641  dalem3  39646  dalem8  39652  dalem16  39661  dalem17  39662  dalem21  39676  dalem25  39680  dalem39  39693  dalem54  39708  dalem60  39714  linepsubN  39734  pmapsub  39750  lneq2at  39760  2llnma3r  39770  cdlema1N  39773  cdlemblem  39775  paddasslem5  39806  paddasslem12  39813  paddasslem13  39814  llnexchb2  39851  dalawlem3  39855  dalawlem5  39857  dalawlem8  39860  dalawlem11  39863  dalawlem12  39864  lhp2lt  39983  lhpexle2lem  39991  lhpexle3lem  39993  4atexlemtlw  40049  4atexlemnclw  40052  lautj  40075  cdlemd3  40182  cdleme3g  40216  cdleme3h  40217  cdleme7d  40228  cdleme11c  40243  cdleme15d  40259  cdleme17b  40269  cdleme19a  40285  cdleme20j  40300  cdleme21c  40309  cdleme22b  40323  cdleme22d  40325  cdleme28a  40352  cdleme35a  40430  cdleme35fnpq  40431  cdleme35b  40432  cdleme35f  40436  cdleme42c  40454  cdleme42i  40465  cdlemf1  40543  cdlemg4c  40594  cdlemg6c  40602  cdlemg8b  40610  cdlemg10  40623  cdlemg11b  40624  cdlemg13a  40633  cdlemg17a  40643  cdlemg18b  40661  cdlemg27a  40674  cdlemg33b0  40683  cdlemg35  40695  cdlemg42  40711  cdlemg46  40717  trljco  40722  tendopltp  40762  cdlemk3  40815  cdlemk10  40825  cdlemk1u  40841  cdlemk39  40898  dialss  41028  dia2dimlem1  41046  dia2dimlem10  41055  dia2dimlem12  41057  cdlemm10N  41100  djajN  41119  diblss  41152  cdlemn2  41177  dihord2pre2  41208  dib2dim  41225  dih2dimb  41226  dih2dimbALTN  41227  dihmeetlem6  41291  dihjatcclem1  41400