Theorem latjle12 18520

Description: A join is less than or equal to a third value iff each argument is less than or equal to the third value. (chlub 31541 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latjle12	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑍))

Proof of Theorem latjle12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		latpos 18508	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Poset)
6		simpr1 1194	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		simpr2 1195	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		simpr3 1196	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
9		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
10		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
11	1, 3, 9, 10, 6, 7	latcl2 18506	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
12	11	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
13	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12	joinle 18456	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166  dom cdm 5700  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  lecple 17318  Posetcpo 18377  joincjn 18381  meetcmee 18382  Latclat 18501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-poset 18383  df-lub 18416  df-join 18418  df-lat 18502

This theorem is referenced by:  latleeqj1  18521  latjlej1  18523  latjidm  18532  latledi  18547  latjass  18553  mod1ile  18563  lubun  18585  oldmm1  39173  olj01  39181  cvlexchb1  39286  cvlcvr1  39295  hlrelat  39359  hlrelat2  39360  exatleN  39361  hlrelat3  39369  cvrexchlem  39376  cvratlem  39378  cvrat  39379  atlelt  39395  ps-1  39434  hlatexch3N  39437  hlatexch4  39438  3atlem1  39440  3atlem2  39441  lplnexllnN  39521  2llnjaN  39523  4atlem3  39553  4atlem10  39563  4atlem11b  39565  4atlem11  39566  4atlem12b  39568  4atlem12  39569  2lplnja  39576  dalem1  39616  dalem3  39621  dalem8  39627  dalem16  39636  dalem17  39637  dalem21  39651  dalem25  39655  dalem39  39668  dalem54  39683  dalem60  39689  linepsubN  39709  pmapsub  39725  lneq2at  39735  2llnma3r  39745  cdlema1N  39748  cdlemblem  39750  paddasslem5  39781  paddasslem12  39788  paddasslem13  39789  llnexchb2  39826  dalawlem3  39830  dalawlem5  39832  dalawlem8  39835  dalawlem11  39838  dalawlem12  39839  lhp2lt  39958  lhpexle2lem  39966  lhpexle3lem  39968  4atexlemtlw  40024  4atexlemnclw  40027  lautj  40050  cdlemd3  40157  cdleme3g  40191  cdleme3h  40192  cdleme7d  40203  cdleme11c  40218  cdleme15d  40234  cdleme17b  40244  cdleme19a  40260  cdleme20j  40275  cdleme21c  40284  cdleme22b  40298  cdleme22d  40300  cdleme28a  40327  cdleme35a  40405  cdleme35fnpq  40406  cdleme35b  40407  cdleme35f  40411  cdleme42c  40429  cdleme42i  40440  cdlemf1  40518  cdlemg4c  40569  cdlemg6c  40577  cdlemg8b  40585  cdlemg10  40598  cdlemg11b  40599  cdlemg13a  40608  cdlemg17a  40618  cdlemg18b  40636  cdlemg27a  40649  cdlemg33b0  40658  cdlemg35  40670  cdlemg42  40686  cdlemg46  40692  trljco  40697  tendopltp  40737  cdlemk3  40790  cdlemk10  40800  cdlemk1u  40816  cdlemk39  40873  dialss  41003  dia2dimlem1  41021  dia2dimlem10  41030  dia2dimlem12  41032  cdlemm10N  41075  djajN  41094  diblss  41127  cdlemn2  41152  dihord2pre2  41183  dib2dim  41200  dih2dimb  41201  dih2dimbALTN  41202  dihmeetlem6  41266  dihjatcclem1  41375