Theorem latjle12 18356

Description: A join is less than or equal to a third value iff each argument is less than or equal to the third value. (chlub 31487 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latjle12	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑍))

Proof of Theorem latjle12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		latpos 18344	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Poset)
6		simpr1 1195	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		simpr2 1196	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		simpr3 1197	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
9		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
10		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
11	1, 3, 9, 10, 6, 7	latcl2 18342	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
12	11	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
13	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12	joinle 18290	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4582   class class class wbr 5091  dom cdm 5616  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  lecple 17168  Posetcpo 18213  joincjn 18217  meetcmee 18218  Latclat 18337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-poset 18219  df-lub 18250  df-join 18252  df-lat 18338

This theorem is referenced by:  latleeqj1  18357  latjlej1  18359  latjidm  18368  latledi  18383  latjass  18389  mod1ile  18399  lubun  18421  oldmm1  39262  olj01  39270  cvlexchb1  39375  cvlcvr1  39384  hlrelat  39447  hlrelat2  39448  exatleN  39449  hlrelat3  39457  cvrexchlem  39464  cvratlem  39466  cvrat  39467  atlelt  39483  ps-1  39522  hlatexch3N  39525  hlatexch4  39526  3atlem1  39528  3atlem2  39529  lplnexllnN  39609  2llnjaN  39611  4atlem3  39641  4atlem10  39651  4atlem11b  39653  4atlem11  39654  4atlem12b  39656  4atlem12  39657  2lplnja  39664  dalem1  39704  dalem3  39709  dalem8  39715  dalem16  39724  dalem17  39725  dalem21  39739  dalem25  39743  dalem39  39756  dalem54  39771  dalem60  39777  linepsubN  39797  pmapsub  39813  lneq2at  39823  2llnma3r  39833  cdlema1N  39836  cdlemblem  39838  paddasslem5  39869  paddasslem12  39876  paddasslem13  39877  llnexchb2  39914  dalawlem3  39918  dalawlem5  39920  dalawlem8  39923  dalawlem11  39926  dalawlem12  39927  lhp2lt  40046  lhpexle2lem  40054  lhpexle3lem  40056  4atexlemtlw  40112  4atexlemnclw  40115  lautj  40138  cdlemd3  40245  cdleme3g  40279  cdleme3h  40280  cdleme7d  40291  cdleme11c  40306  cdleme15d  40322  cdleme17b  40332  cdleme19a  40348  cdleme20j  40363  cdleme21c  40372  cdleme22b  40386  cdleme22d  40388  cdleme28a  40415  cdleme35a  40493  cdleme35fnpq  40494  cdleme35b  40495  cdleme35f  40499  cdleme42c  40517  cdleme42i  40528  cdlemf1  40606  cdlemg4c  40657  cdlemg6c  40665  cdlemg8b  40673  cdlemg10  40686  cdlemg11b  40687  cdlemg13a  40696  cdlemg17a  40706  cdlemg18b  40724  cdlemg27a  40737  cdlemg33b0  40746  cdlemg35  40758  cdlemg42  40774  cdlemg46  40780  trljco  40785  tendopltp  40825  cdlemk3  40878  cdlemk10  40888  cdlemk1u  40904  cdlemk39  40961  dialss  41091  dia2dimlem1  41109  dia2dimlem10  41118  dia2dimlem12  41120  cdlemm10N  41163  djajN  41182  diblss  41215  cdlemn2  41240  dihord2pre2  41271  dib2dim  41288  dih2dimb  41289  dih2dimbALTN  41290  dihmeetlem6  41354  dihjatcclem1  41463