MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjle12 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem latjle12 18415
Description: A join is less than or equal to a third value iff each argument is less than or equal to the third value. (chlub 31271 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latlej.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
latlej.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latjle12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘Œ ≀ 𝑍) ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ≀ 𝑍))
Proof of Theorem latjle12
StepHypRef Expression
1 latlej.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 latlej.l . 2 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 latlej.j . 2 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 latpos 18403 . . 3 (𝐾 ∈ Lat β†’ 𝐾 ∈ Poset)
54adantr 480 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
6 simpr1 1191 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
7 simpr2 1192 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
8 simpr3 1193 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
9 eqid 2726 . . . 4 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
10 simpl 482 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
111, 3, 9, 10, 6, 7latcl2 18401 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∨ ∧ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom (meetβ€˜πΎ)))
1211simpld 494 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∨ )
131, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12joinle 18351 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘Œ ≀ 𝑍) ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ≀ 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  Posetcpo 18272  joincjn 18276  meetcmee 18277  Latclat 18396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-poset 18278  df-lub 18311  df-join 18313  df-lat 18397
This theorem is referenced by:  latleeqj1  18416  latjlej1  18418  latjidm  18427  latledi  18442  latjass  18448  mod1ile  18458  lubun  18480  oldmm1  38600  olj01  38608  cvlexchb1  38713  cvlcvr1  38722  hlrelat  38786  hlrelat2  38787  exatleN  38788  hlrelat3  38796  cvrexchlem  38803  cvratlem  38805  cvrat  38806  atlelt  38822  ps-1  38861  hlatexch3N  38864  hlatexch4  38865  3atlem1  38867  3atlem2  38868  lplnexllnN  38948  2llnjaN  38950  4atlem3  38980  4atlem10  38990  4atlem11b  38992  4atlem11  38993  4atlem12b  38995  4atlem12  38996  2lplnja  39003  dalem1  39043  dalem3  39048  dalem8  39054  dalem16  39063  dalem17  39064  dalem21  39078  dalem25  39082  dalem39  39095  dalem54  39110  dalem60  39116  linepsubN  39136  pmapsub  39152  lneq2at  39162  2llnma3r  39172  cdlema1N  39175  cdlemblem  39177  paddasslem5  39208  paddasslem12  39215  paddasslem13  39216  llnexchb2  39253  dalawlem3  39257  dalawlem5  39259  dalawlem8  39262  dalawlem11  39265  dalawlem12  39266  lhp2lt  39385  lhpexle2lem  39393  lhpexle3lem  39395  4atexlemtlw  39451  4atexlemnclw  39454  lautj  39477  cdlemd3  39584  cdleme3g  39618  cdleme3h  39619  cdleme7d  39630  cdleme11c  39645  cdleme15d  39661  cdleme17b  39671  cdleme19a  39687  cdleme20j  39702  cdleme21c  39711  cdleme22b  39725  cdleme22d  39727  cdleme28a  39754  cdleme35a  39832  cdleme35fnpq  39833  cdleme35b  39834  cdleme35f  39838  cdleme42c  39856  cdleme42i  39867  cdlemf1  39945  cdlemg4c  39996  cdlemg6c  40004  cdlemg8b  40012  cdlemg10  40025  cdlemg11b  40026  cdlemg13a  40035  cdlemg17a  40045  cdlemg18b  40063  cdlemg27a  40076  cdlemg33b0  40085  cdlemg35  40097  cdlemg42  40113  cdlemg46  40119  trljco  40124  tendopltp  40164  cdlemk3  40217  cdlemk10  40227  cdlemk1u  40243  cdlemk39  40300  dialss  40430  dia2dimlem1  40448  dia2dimlem10  40457  dia2dimlem12  40459  cdlemm10N  40502  djajN  40521  diblss  40554  cdlemn2  40579  dihord2pre2  40610  dib2dim  40627  dih2dimb  40628  dih2dimbALTN  40629  dihmeetlem6  40693  dihjatcclem1  40802
  Copyright terms: Public domain W3C validator