Theorem latjle12 18508

Description: A join is less than or equal to a third value iff each argument is less than or equal to the third value. (chlub 31538 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latjle12	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑍))

Proof of Theorem latjle12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		latpos 18496	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Poset)
6		simpr1 1193	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		simpr2 1194	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		simpr3 1195	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
9		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
10		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
11	1, 3, 9, 10, 6, 7	latcl2 18494	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
12	11	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
13	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12	joinle 18444	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ⟨cop 4637   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305  Posetcpo 18365  joincjn 18369  meetcmee 18370  Latclat 18489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-poset 18371  df-lub 18404  df-join 18406  df-lat 18490

This theorem is referenced by:  latleeqj1  18509  latjlej1  18511  latjidm  18520  latledi  18535  latjass  18541  mod1ile  18551  lubun  18573  oldmm1  39199  olj01  39207  cvlexchb1  39312  cvlcvr1  39321  hlrelat  39385  hlrelat2  39386  exatleN  39387  hlrelat3  39395  cvrexchlem  39402  cvratlem  39404  cvrat  39405  atlelt  39421  ps-1  39460  hlatexch3N  39463  hlatexch4  39464  3atlem1  39466  3atlem2  39467  lplnexllnN  39547  2llnjaN  39549  4atlem3  39579  4atlem10  39589  4atlem11b  39591  4atlem11  39592  4atlem12b  39594  4atlem12  39595  2lplnja  39602  dalem1  39642  dalem3  39647  dalem8  39653  dalem16  39662  dalem17  39663  dalem21  39677  dalem25  39681  dalem39  39694  dalem54  39709  dalem60  39715  linepsubN  39735  pmapsub  39751  lneq2at  39761  2llnma3r  39771  cdlema1N  39774  cdlemblem  39776  paddasslem5  39807  paddasslem12  39814  paddasslem13  39815  llnexchb2  39852  dalawlem3  39856  dalawlem5  39858  dalawlem8  39861  dalawlem11  39864  dalawlem12  39865  lhp2lt  39984  lhpexle2lem  39992  lhpexle3lem  39994  4atexlemtlw  40050  4atexlemnclw  40053  lautj  40076  cdlemd3  40183  cdleme3g  40217  cdleme3h  40218  cdleme7d  40229  cdleme11c  40244  cdleme15d  40260  cdleme17b  40270  cdleme19a  40286  cdleme20j  40301  cdleme21c  40310  cdleme22b  40324  cdleme22d  40326  cdleme28a  40353  cdleme35a  40431  cdleme35fnpq  40432  cdleme35b  40433  cdleme35f  40437  cdleme42c  40455  cdleme42i  40466  cdlemf1  40544  cdlemg4c  40595  cdlemg6c  40603  cdlemg8b  40611  cdlemg10  40624  cdlemg11b  40625  cdlemg13a  40634  cdlemg17a  40644  cdlemg18b  40662  cdlemg27a  40675  cdlemg33b0  40684  cdlemg35  40696  cdlemg42  40712  cdlemg46  40718  trljco  40723  tendopltp  40763  cdlemk3  40816  cdlemk10  40826  cdlemk1u  40842  cdlemk39  40899  dialss  41029  dia2dimlem1  41047  dia2dimlem10  41056  dia2dimlem12  41058  cdlemm10N  41101  djajN  41120  diblss  41153  cdlemn2  41178  dihord2pre2  41209  dib2dim  41226  dih2dimb  41227  dih2dimbALTN  41228  dihmeetlem6  41292  dihjatcclem1  41401