Theorem latjle12 18604

Description: A join is less than or equal to a third value iff each argument is less than or equal to the third value. (chlub 32093 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latjle12	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑍))

Proof of Theorem latjle12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		latpos 18592	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
5	4	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Poset)
6		simpr1 1213	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		simpr2 1214	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		simpr3 1215	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
9		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
10		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
11	1, 3, 9, 10, 6, 7	latcl2 18590	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
12	11	simpld 500	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
13	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12	joinle 18538	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  dom cdm 5651  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  lecple 17415  Posetcpo 18461  joincjn 18465  meetcmee 18466  Latclat 18585

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-poset 18467  df-lub 18498  df-join 18500  df-lat 18586

This theorem is used by:  latleeqj1  18605  latjlej1  18607  latjidm  18616  latledi  18631  latjass  18637  mod1ile  18647  lubun  18669  oldmm1  40242  olj01  40250  cvlexchb1  40355  cvlcvr1  40364  hlrelat  40427  hlrelat2  40428  exatleN  40429  hlrelat3  40437  cvrexchlem  40444  cvratlem  40446  cvrat  40447  atlelt  40463  ps-1  40502  hlatexch3N  40505  hlatexch4  40506  3atlem1  40508  3atlem2  40509  lplnexllnN  40589  2llnjaN  40591  4atlem3  40621  4atlem10  40631  4atlem11b  40633  4atlem11  40634  4atlem12b  40636  4atlem12  40637  2lplnja  40644  dalem1  40684  dalem3  40689  dalem8  40695  dalem16  40704  dalem17  40705  dalem21  40719  dalem25  40723  dalem39  40736  dalem54  40751  dalem60  40757  linepsubN  40777  pmapsub  40793  lneq2at  40803  2llnma3r  40813  cdlema1N  40816  cdlemblem  40818  paddasslem5  40849  paddasslem12  40856  paddasslem13  40857  llnexchb2  40894  dalawlem3  40898  dalawlem5  40900  dalawlem8  40903  dalawlem11  40906  dalawlem12  40907  lhp2lt  41026  lhpexle2lem  41034  lhpexle3lem  41036  4atexlemtlw  41092  4atexlemnclw  41095  lautj  41118  cdlemd3  41225  cdleme3g  41259  cdleme3h  41260  cdleme7d  41271  cdleme11c  41286  cdleme15d  41302  cdleme17b  41312  cdleme19a  41328  cdleme20j  41343  cdleme21c  41352  cdleme22b  41366  cdleme22d  41368  cdleme28a  41395  cdleme35a  41473  cdleme35fnpq  41474  cdleme35b  41475  cdleme35f  41479  cdleme42c  41497  cdleme42i  41508  cdlemf1  41586  cdlemg4c  41637  cdlemg6c  41645  cdlemg8b  41653  cdlemg10  41666  cdlemg11b  41667  cdlemg13a  41676  cdlemg17a  41686  cdlemg18b  41704  cdlemg27a  41717  cdlemg33b0  41726  cdlemg35  41738  cdlemg42  41754  cdlemg46  41760  trljco  41765  tendopltp  41805  cdlemk3  41858  cdlemk10  41868  cdlemk1u  41884  cdlemk39  41941  dialss  42071  dia2dimlem1  42089  dia2dimlem10  42098  dia2dimlem12  42100  cdlemm10N  42143  djajN  42162  diblss  42195  cdlemn2  42220  dihord2pre2  42251  dib2dim  42268  dih2dimb  42269  dih2dimbALTN  42270  dihmeetlem6  42334  dihjatcclem1  42443