MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjle12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latjle12 18344
Description: A join is less than or equal to a third value iff each argument is less than or equal to the third value. (chlub 30493 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latlej.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
latlej.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latjle12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘Œ ≀ 𝑍) ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ≀ 𝑍))

Proof of Theorem latjle12
StepHypRef Expression
1 latlej.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 latlej.l . 2 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 latlej.j . 2 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 latpos 18332 . . 3 (𝐾 ∈ Lat β†’ 𝐾 ∈ Poset)
54adantr 482 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
6 simpr1 1195 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
7 simpr2 1196 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
8 simpr3 1197 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
9 eqid 2733 . . . 4 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
10 simpl 484 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
111, 3, 9, 10, 6, 7latcl2 18330 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∨ ∧ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom (meetβ€˜πΎ)))
1211simpld 496 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∨ )
131, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12joinle 18280 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ π‘Œ ≀ 𝑍) ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ≀ 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βŸ¨cop 4593   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  lecple 17145  Posetcpo 18201  joincjn 18205  meetcmee 18206  Latclat 18325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-poset 18207  df-lub 18240  df-join 18242  df-lat 18326
This theorem is referenced by:  latleeqj1  18345  latjlej1  18347  latjidm  18356  latledi  18371  latjass  18377  mod1ile  18387  lubun  18409  oldmm1  37725  olj01  37733  cvlexchb1  37838  cvlcvr1  37847  hlrelat  37911  hlrelat2  37912  exatleN  37913  hlrelat3  37921  cvrexchlem  37928  cvratlem  37930  cvrat  37931  atlelt  37947  ps-1  37986  hlatexch3N  37989  hlatexch4  37990  3atlem1  37992  3atlem2  37993  lplnexllnN  38073  2llnjaN  38075  4atlem3  38105  4atlem10  38115  4atlem11b  38117  4atlem11  38118  4atlem12b  38120  4atlem12  38121  2lplnja  38128  dalem1  38168  dalem3  38173  dalem8  38179  dalem16  38188  dalem17  38189  dalem21  38203  dalem25  38207  dalem39  38220  dalem54  38235  dalem60  38241  linepsubN  38261  pmapsub  38277  lneq2at  38287  2llnma3r  38297  cdlema1N  38300  cdlemblem  38302  paddasslem5  38333  paddasslem12  38340  paddasslem13  38341  llnexchb2  38378  dalawlem3  38382  dalawlem5  38384  dalawlem8  38387  dalawlem11  38390  dalawlem12  38391  lhp2lt  38510  lhpexle2lem  38518  lhpexle3lem  38520  4atexlemtlw  38576  4atexlemnclw  38579  lautj  38602  cdlemd3  38709  cdleme3g  38743  cdleme3h  38744  cdleme7d  38755  cdleme11c  38770  cdleme15d  38786  cdleme17b  38796  cdleme19a  38812  cdleme20j  38827  cdleme21c  38836  cdleme22b  38850  cdleme22d  38852  cdleme28a  38879  cdleme35a  38957  cdleme35fnpq  38958  cdleme35b  38959  cdleme35f  38963  cdleme42c  38981  cdleme42i  38992  cdlemf1  39070  cdlemg4c  39121  cdlemg6c  39129  cdlemg8b  39137  cdlemg10  39150  cdlemg11b  39151  cdlemg13a  39160  cdlemg17a  39170  cdlemg18b  39188  cdlemg27a  39201  cdlemg33b0  39210  cdlemg35  39222  cdlemg42  39238  cdlemg46  39244  trljco  39249  tendopltp  39289  cdlemk3  39342  cdlemk10  39352  cdlemk1u  39368  cdlemk39  39425  dialss  39555  dia2dimlem1  39573  dia2dimlem10  39582  dia2dimlem12  39584  cdlemm10N  39627  djajN  39646  diblss  39679  cdlemn2  39704  dihord2pre2  39735  dib2dim  39752  dih2dimb  39753  dih2dimbALTN  39754  dihmeetlem6  39818  dihjatcclem1  39927
  Copyright terms: Public domain W3C validator