Theorem latjle12 18470

Description: A join is less than or equal to a third value iff each argument is less than or equal to the third value. (chlub 31439 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latjle12	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑍))

Proof of Theorem latjle12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		latpos 18458	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
5	4	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Poset)
6		simpr1 1191	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		simpr2 1192	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		simpr3 1193	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
9		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
10		simpl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
11	1, 3, 9, 10, 6, 7	latcl2 18456	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
12	11	simpld 493	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
13	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12	joinle 18406	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ⟨cop 4629   class class class wbr 5145  dom cdm 5674  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  Basecbs 17208  lecple 17268  Posetcpo 18327  joincjn 18331  meetcmee 18332  Latclat 18451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-poset 18333  df-lub 18366  df-join 18368  df-lat 18452

This theorem is referenced by:  latleeqj1  18471  latjlej1  18473  latjidm  18482  latledi  18497  latjass  18503  mod1ile  18513  lubun  18535  oldmm1  38928  olj01  38936  cvlexchb1  39041  cvlcvr1  39050  hlrelat  39114  hlrelat2  39115  exatleN  39116  hlrelat3  39124  cvrexchlem  39131  cvratlem  39133  cvrat  39134  atlelt  39150  ps-1  39189  hlatexch3N  39192  hlatexch4  39193  3atlem1  39195  3atlem2  39196  lplnexllnN  39276  2llnjaN  39278  4atlem3  39308  4atlem10  39318  4atlem11b  39320  4atlem11  39321  4atlem12b  39323  4atlem12  39324  2lplnja  39331  dalem1  39371  dalem3  39376  dalem8  39382  dalem16  39391  dalem17  39392  dalem21  39406  dalem25  39410  dalem39  39423  dalem54  39438  dalem60  39444  linepsubN  39464  pmapsub  39480  lneq2at  39490  2llnma3r  39500  cdlema1N  39503  cdlemblem  39505  paddasslem5  39536  paddasslem12  39543  paddasslem13  39544  llnexchb2  39581  dalawlem3  39585  dalawlem5  39587  dalawlem8  39590  dalawlem11  39593  dalawlem12  39594  lhp2lt  39713  lhpexle2lem  39721  lhpexle3lem  39723  4atexlemtlw  39779  4atexlemnclw  39782  lautj  39805  cdlemd3  39912  cdleme3g  39946  cdleme3h  39947  cdleme7d  39958  cdleme11c  39973  cdleme15d  39989  cdleme17b  39999  cdleme19a  40015  cdleme20j  40030  cdleme21c  40039  cdleme22b  40053  cdleme22d  40055  cdleme28a  40082  cdleme35a  40160  cdleme35fnpq  40161  cdleme35b  40162  cdleme35f  40166  cdleme42c  40184  cdleme42i  40195  cdlemf1  40273  cdlemg4c  40324  cdlemg6c  40332  cdlemg8b  40340  cdlemg10  40353  cdlemg11b  40354  cdlemg13a  40363  cdlemg17a  40373  cdlemg18b  40391  cdlemg27a  40404  cdlemg33b0  40413  cdlemg35  40425  cdlemg42  40441  cdlemg46  40447  trljco  40452  tendopltp  40492  cdlemk3  40545  cdlemk10  40555  cdlemk1u  40571  cdlemk39  40628  dialss  40758  dia2dimlem1  40776  dia2dimlem10  40785  dia2dimlem12  40787  cdlemm10N  40830  djajN  40849  diblss  40882  cdlemn2  40907  dihord2pre2  40938  dib2dim  40955  dih2dimb  40956  dih2dimbALTN  40957  dihmeetlem6  41021  dihjatcclem1  41130