Theorem latjle12 17267

Description: A join is less than or equal to a third value iff each argument is less than or equal to the third value. (chlub 28696 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latjle12	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑍))

Proof of Theorem latjle12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		latpos 17255	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
5	4	adantr 468	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Poset)
6		simpr1 1241	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		simpr2 1243	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		simpr3 1245	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
9		eqid 2806	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
10		simpl 470	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
11	1, 3, 9, 10, 6, 7	latcl2 17253	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
12	11	simpld 484	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
13	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12	joinle 17219	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   ∧ w3a 1100   = wceq 1637   ∈ wcel 2156  ⟨cop 4376   class class class wbr 4844  dom cdm 5311  ‘cfv 6101  (class class class)co 6874  Basecbs 16068  lecple 16160  Posetcpo 17145  joincjn 17149  meetcmee 17150  Latclat 17250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5219  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-poset 17151  df-lub 17179  df-join 17181  df-lat 17251

This theorem is referenced by:  latleeqj1  17268  latjlej1  17270  latjidm  17279  latledi  17294  latjass  17300  mod1ile  17310  lubun  17328  oldmm1  34997  olj01  35005  cvlexchb1  35110  cvlcvr1  35119  hlrelat  35182  hlrelat2  35183  exatleN  35184  hlrelat3  35192  cvrexchlem  35199  cvratlem  35201  cvrat  35202  atlelt  35218  ps-1  35257  hlatexch3N  35260  hlatexch4  35261  3atlem1  35263  3atlem2  35264  lplnexllnN  35344  2llnjaN  35346  4atlem3  35376  4atlem10  35386  4atlem11b  35388  4atlem11  35389  4atlem12b  35391  4atlem12  35392  2lplnja  35399  dalem1  35439  dalem3  35444  dalem8  35450  dalem16  35459  dalem17  35460  dalem21  35474  dalem25  35478  dalem39  35491  dalem54  35506  dalem60  35512  linepsubN  35532  pmapsub  35548  lneq2at  35558  2llnma3r  35568  cdlema1N  35571  cdlemblem  35573  paddasslem5  35604  paddasslem12  35611  paddasslem13  35612  llnexchb2  35649  dalawlem3  35653  dalawlem5  35655  dalawlem8  35658  dalawlem11  35661  dalawlem12  35662  lhp2lt  35781  lhpexle2lem  35789  lhpexle3lem  35791  4atexlemtlw  35847  4atexlemnclw  35850  lautj  35873  cdlemd3  35981  cdleme3g  36015  cdleme3h  36016  cdleme7d  36027  cdleme11c  36042  cdleme15d  36058  cdleme17b  36068  cdleme19a  36084  cdleme20j  36099  cdleme21c  36108  cdleme22b  36122  cdleme22d  36124  cdleme28a  36151  cdleme35a  36229  cdleme35fnpq  36230  cdleme35b  36231  cdleme35f  36235  cdleme42c  36253  cdleme42i  36264  cdlemf1  36342  cdlemg4c  36393  cdlemg6c  36401  cdlemg8b  36409  cdlemg10  36422  cdlemg11b  36423  cdlemg13a  36432  cdlemg17a  36442  cdlemg18b  36460  cdlemg27a  36473  cdlemg33b0  36482  cdlemg35  36494  cdlemg42  36510  cdlemg46  36516  trljco  36521  tendopltp  36561  cdlemk3  36614  cdlemk10  36624  cdlemk1u  36640  cdlemk39  36697  dialss  36827  dia2dimlem1  36845  dia2dimlem10  36854  dia2dimlem12  36856  cdlemm10N  36899  djajN  36918  diblss  36951  cdlemn2  36976  dihord2pre2  37007  dib2dim  37024  dih2dimb  37025  dih2dimbALTN  37026  dihmeetlem6  37090  dihjatcclem1  37199