Theorem latjle12 18454

Description: A join is less than or equal to a third value iff each argument is less than or equal to the third value. (chlub 31647 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latjle12	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑍))

Proof of Theorem latjle12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		latpos 18442	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
5	4	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Poset)
6		simpr1 1204	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		simpr2 1205	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		simpr3 1206	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
9		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
10		simpl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
11	1, 3, 9, 10, 6, 7	latcl2 18440	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
12	11	simpld 497	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
13	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12	joinle 18388	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ⟨cop 4578   class class class wbr 5090  dom cdm 5636  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  Basecbs 17217  lecple 17265  Posetcpo 18311  joincjn 18315  meetcmee 18316  Latclat 18435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-id 5531  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-poset 18317  df-lub 18348  df-join 18350  df-lat 18436

This theorem is referenced by:  latleeqj1  18455  latjlej1  18457  latjidm  18466  latledi  18481  latjass  18487  mod1ile  18497  lubun  18519  oldmm1  39779  olj01  39787  cvlexchb1  39892  cvlcvr1  39901  hlrelat  39964  hlrelat2  39965  exatleN  39966  hlrelat3  39974  cvrexchlem  39981  cvratlem  39983  cvrat  39984  atlelt  40000  ps-1  40039  hlatexch3N  40042  hlatexch4  40043  3atlem1  40045  3atlem2  40046  lplnexllnN  40126  2llnjaN  40128  4atlem3  40158  4atlem10  40168  4atlem11b  40170  4atlem11  40171  4atlem12b  40173  4atlem12  40174  2lplnja  40181  dalem1  40221  dalem3  40226  dalem8  40232  dalem16  40241  dalem17  40242  dalem21  40256  dalem25  40260  dalem39  40273  dalem54  40288  dalem60  40294  linepsubN  40314  pmapsub  40330  lneq2at  40340  2llnma3r  40350  cdlema1N  40353  cdlemblem  40355  paddasslem5  40386  paddasslem12  40393  paddasslem13  40394  llnexchb2  40431  dalawlem3  40435  dalawlem5  40437  dalawlem8  40440  dalawlem11  40443  dalawlem12  40444  lhp2lt  40563  lhpexle2lem  40571  lhpexle3lem  40573  4atexlemtlw  40629  4atexlemnclw  40632  lautj  40655  cdlemd3  40762  cdleme3g  40796  cdleme3h  40797  cdleme7d  40808  cdleme11c  40823  cdleme15d  40839  cdleme17b  40849  cdleme19a  40865  cdleme20j  40880  cdleme21c  40889  cdleme22b  40903  cdleme22d  40905  cdleme28a  40932  cdleme35a  41010  cdleme35fnpq  41011  cdleme35b  41012  cdleme35f  41016  cdleme42c  41034  cdleme42i  41045  cdlemf1  41123  cdlemg4c  41174  cdlemg6c  41182  cdlemg8b  41190  cdlemg10  41203  cdlemg11b  41204  cdlemg13a  41213  cdlemg17a  41223  cdlemg18b  41241  cdlemg27a  41254  cdlemg33b0  41263  cdlemg35  41275  cdlemg42  41291  cdlemg46  41297  trljco  41302  tendopltp  41342  cdlemk3  41395  cdlemk10  41405  cdlemk1u  41421  cdlemk39  41478  dialss  41608  dia2dimlem1  41626  dia2dimlem10  41635  dia2dimlem12  41637  cdlemm10N  41680  djajN  41699  diblss  41732  cdlemn2  41757  dihord2pre2  41788  dib2dim  41805  dih2dimb  41806  dih2dimbALTN  41807  dihmeetlem6  41871  dihjatcclem1  41980