Theorem latjle12 17910

Description: A join is less than or equal to a third value iff each argument is less than or equal to the third value. (chlub 29544 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latjle12	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑍))

Proof of Theorem latjle12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		latpos 17898	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
5	4	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Poset)
6		simpr1 1196	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		simpr2 1197	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		simpr3 1198	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
10		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
11	1, 3, 9, 10, 6, 7	latcl2 17896	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
12	11	simpld 498	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
13	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12	joinle 17846	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑍 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ⟨cop 4533   class class class wbr 5039  dom cdm 5536  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  Basecbs 16666  lecple 16756  Posetcpo 17768  joincjn 17772  meetcmee 17773  Latclat 17891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-poset 17774  df-lub 17806  df-join 17808  df-lat 17892

This theorem is referenced by:  latleeqj1  17911  latjlej1  17913  latjidm  17922  latledi  17937  latjass  17943  mod1ile  17953  lubun  17975  oldmm1  36917  olj01  36925  cvlexchb1  37030  cvlcvr1  37039  hlrelat  37102  hlrelat2  37103  exatleN  37104  hlrelat3  37112  cvrexchlem  37119  cvratlem  37121  cvrat  37122  atlelt  37138  ps-1  37177  hlatexch3N  37180  hlatexch4  37181  3atlem1  37183  3atlem2  37184  lplnexllnN  37264  2llnjaN  37266  4atlem3  37296  4atlem10  37306  4atlem11b  37308  4atlem11  37309  4atlem12b  37311  4atlem12  37312  2lplnja  37319  dalem1  37359  dalem3  37364  dalem8  37370  dalem16  37379  dalem17  37380  dalem21  37394  dalem25  37398  dalem39  37411  dalem54  37426  dalem60  37432  linepsubN  37452  pmapsub  37468  lneq2at  37478  2llnma3r  37488  cdlema1N  37491  cdlemblem  37493  paddasslem5  37524  paddasslem12  37531  paddasslem13  37532  llnexchb2  37569  dalawlem3  37573  dalawlem5  37575  dalawlem8  37578  dalawlem11  37581  dalawlem12  37582  lhp2lt  37701  lhpexle2lem  37709  lhpexle3lem  37711  4atexlemtlw  37767  4atexlemnclw  37770  lautj  37793  cdlemd3  37900  cdleme3g  37934  cdleme3h  37935  cdleme7d  37946  cdleme11c  37961  cdleme15d  37977  cdleme17b  37987  cdleme19a  38003  cdleme20j  38018  cdleme21c  38027  cdleme22b  38041  cdleme22d  38043  cdleme28a  38070  cdleme35a  38148  cdleme35fnpq  38149  cdleme35b  38150  cdleme35f  38154  cdleme42c  38172  cdleme42i  38183  cdlemf1  38261  cdlemg4c  38312  cdlemg6c  38320  cdlemg8b  38328  cdlemg10  38341  cdlemg11b  38342  cdlemg13a  38351  cdlemg17a  38361  cdlemg18b  38379  cdlemg27a  38392  cdlemg33b0  38401  cdlemg35  38413  cdlemg42  38429  cdlemg46  38435  trljco  38440  tendopltp  38480  cdlemk3  38533  cdlemk10  38543  cdlemk1u  38559  cdlemk39  38616  dialss  38746  dia2dimlem1  38764  dia2dimlem10  38773  dia2dimlem12  38775  cdlemm10N  38818  djajN  38837  diblss  38870  cdlemn2  38895  dihord2pre2  38926  dib2dim  38943  dih2dimb  38944  dih2dimbALTN  38945  dihmeetlem6  39009  dihjatcclem1  39118