MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latleeqj1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latleeqj1 18386
Description: "Less than or equal to" in terms of join. (chlejb1 30628 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l = (le‘𝐾)
latlej.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latleeqj1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑌))

Proof of Theorem latleeqj1
StepHypRef Expression
1 latlej.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latlej.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
31, 2latref 18376 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵) → 𝑌 𝑌)
433adant2 1131 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌 𝑌)
54biantrud 532 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌𝑌 𝑌)))
6 simp1 1136 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
7 simp2 1137 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
8 simp3 1138 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
9 latlej.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
101, 2, 9latjle12 18385 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑌) ↔ (𝑋 𝑌) 𝑌))
116, 7, 8, 8, 10syl13anc 1372 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑌) ↔ (𝑋 𝑌) 𝑌))
125, 11bitrd 278 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) 𝑌))
131, 2, 9latlej2 18384 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌 (𝑋 𝑌))
1413biantrud 532 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌) 𝑌 ↔ ((𝑋 𝑌) 𝑌𝑌 (𝑋 𝑌))))
1512, 14bitrd 278 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ ((𝑋 𝑌) 𝑌𝑌 (𝑋 𝑌))))
16 latpos 18373 . . . 4 (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
17163ad2ant1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
181, 9latjcl 18374 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
191, 2posasymb 18254 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑌𝐵) → (((𝑋 𝑌) 𝑌𝑌 (𝑋 𝑌)) ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑌))
2017, 18, 8, 19syl3anc 1371 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((𝑋 𝑌) 𝑌𝑌 (𝑋 𝑌)) ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑌))
2115, 20bitrd 278 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5141  cfv 6532  (class class class)co 7393  Basecbs 17126  lecple 17186  Posetcpo 18242  joincjn 18246  Latclat 18366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-proset 18230  df-poset 18248  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-lat 18367
This theorem is referenced by:  latleeqj2  18387  latnle  18408  cvlsupr2  38018  hlrelat5N  38077  3dim3  38145  dalem-cly  38347  dalem44  38392  cdleme30a  39054
  Copyright terms: Public domain W3C validator