MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latleeqj1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem latleeqj1 18409
Description: "Less than or equal to" in terms of join. (chlejb1 31033 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latlej.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
latlej.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latleeqj1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) = π‘Œ))
Proof of Theorem latleeqj1
StepHypRef Expression
1 latlej.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 latlej.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
31, 2latref 18399 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ≀ π‘Œ)
433adant2 1130 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ≀ π‘Œ)
54biantrud 531 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ π‘Œ)))
6 simp1 1135 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
7 simp2 1136 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
8 simp3 1137 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
9 latlej.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
101, 2, 9latjle12 18408 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ π‘Œ) ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ≀ π‘Œ))
116, 7, 8, 8, 10syl13anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ π‘Œ) ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ≀ π‘Œ))
125, 11bitrd 279 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ≀ π‘Œ))
131, 2, 9latlej2 18407 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ))
1413biantrud 531 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ≀ π‘Œ ↔ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ))))
1512, 14bitrd 279 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ))))
16 latpos 18396 . . . 4 (𝐾 ∈ Lat β†’ 𝐾 ∈ Poset)
17163ad2ant1 1132 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
181, 9latjcl 18397 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
191, 2posasymb 18277 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∨ π‘Œ) ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ)) ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) = π‘Œ))
2017, 18, 8, 19syl3anc 1370 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∨ π‘Œ) ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ)) ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) = π‘Œ))
2115, 20bitrd 279 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  lecple 17209  Posetcpo 18265  joincjn 18269  Latclat 18389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-proset 18253  df-poset 18271  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-lat 18390
This theorem is referenced by:  latleeqj2  18410  latnle  18431  cvlsupr2  38517  hlrelat5N  38576  3dim3  38644  dalem-cly  38846  dalem44  38891  cdleme30a  39553
  Copyright terms: Public domain W3C validator