Theorem latleeqj1 18412

Description: "Less than or equal to" in terms of join. (chlejb1 31603 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latleeqj1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) = 𝑌))

Proof of Theorem latleeqj1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3	1, 2	latref 18402	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ≤ 𝑌)
4	3	3adant2 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ≤ 𝑌)
5	4	biantrud 537	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑌)))
6		simp1 1143	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
7		simp2 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		simp3 1145	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		latlej.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
10	1, 2, 9	latjle12 18411	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑌) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑌))
11	6, 7, 8, 8, 10	syl13anc 1381	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑌) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑌))
12	5, 11	bitrd 281	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑌))
13	1, 2, 9	latlej2 18410	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))
14	13	biantrud 537	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑌 ↔ ((𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))))
15	12, 14	bitrd 281	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ((𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))))
16		latpos 18399	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
17	16	3ad2ant1 1140	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
18	1, 9	latjcl 18400	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
19	1, 2	posasymb 18280	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) = 𝑌))
20	17, 18, 8, 19	syl3anc 1380	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) = 𝑌))
21	15, 20	bitrd 281	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5074  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  Basecbs 17174  lecple 17222  Posetcpo 18268  joincjn 18272  Latclat 18392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-proset 18255  df-poset 18274  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-lat 18393

This theorem is referenced by:  latleeqj2  18413  latnle  18434  cvlsupr2  39848  hlrelat5N  39906  3dim3  39974  dalem-cly  40176  dalem44  40221  cdleme30a  40883