MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latleeqj1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem latleeqj1 18408
Description: "Less than or equal to" in terms of join. (chlejb1 31032 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latlej.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
latlej.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latleeqj1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) = π‘Œ))
Proof of Theorem latleeqj1
StepHypRef Expression
1 latlej.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 latlej.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
31, 2latref 18398 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ≀ π‘Œ)
433adant2 1129 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ≀ π‘Œ)
54biantrud 530 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ π‘Œ)))
6 simp1 1134 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
7 simp2 1135 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
8 simp3 1136 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
9 latlej.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
101, 2, 9latjle12 18407 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ π‘Œ) ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ≀ π‘Œ))
116, 7, 8, 8, 10syl13anc 1370 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ π‘Œ) ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ≀ π‘Œ))
125, 11bitrd 278 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ≀ π‘Œ))
131, 2, 9latlej2 18406 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ))
1413biantrud 530 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ≀ π‘Œ ↔ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ))))
1512, 14bitrd 278 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ))))
16 latpos 18395 . . . 4 (𝐾 ∈ Lat β†’ 𝐾 ∈ Poset)
17163ad2ant1 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
181, 9latjcl 18396 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
191, 2posasymb 18276 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∨ π‘Œ) ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ)) ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) = π‘Œ))
2017, 18, 8, 19syl3anc 1369 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∨ π‘Œ) ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ)) ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) = π‘Œ))
2115, 20bitrd 278 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  lecple 17208  Posetcpo 18264  joincjn 18268  Latclat 18388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18252  df-poset 18270  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-lat 18389
This theorem is referenced by:  latleeqj2  18409  latnle  18430  cvlsupr2  38516  hlrelat5N  38575  3dim3  38643  dalem-cly  38845  dalem44  38890  cdleme30a  39552
  Copyright terms: Public domain W3C validator