MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latleeqj1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latleeqj1 18497
Description: "Less than or equal to" in terms of join. (chlejb1 31532 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l = (le‘𝐾)
latlej.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latleeqj1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑌))

Proof of Theorem latleeqj1
StepHypRef Expression
1 latlej.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latlej.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
31, 2latref 18487 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵) → 𝑌 𝑌)
433adant2 1131 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌 𝑌)
54biantrud 531 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌𝑌 𝑌)))
6 simp1 1136 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
7 simp2 1137 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
8 simp3 1138 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
9 latlej.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
101, 2, 9latjle12 18496 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑌) ↔ (𝑋 𝑌) 𝑌))
116, 7, 8, 8, 10syl13anc 1373 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑌) ↔ (𝑋 𝑌) 𝑌))
125, 11bitrd 279 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) 𝑌))
131, 2, 9latlej2 18495 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌 (𝑋 𝑌))
1413biantrud 531 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌) 𝑌 ↔ ((𝑋 𝑌) 𝑌𝑌 (𝑋 𝑌))))
1512, 14bitrd 279 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ ((𝑋 𝑌) 𝑌𝑌 (𝑋 𝑌))))
16 latpos 18484 . . . 4 (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
17163ad2ant1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
181, 9latjcl 18485 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
191, 2posasymb 18366 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑌𝐵) → (((𝑋 𝑌) 𝑌𝑌 (𝑋 𝑌)) ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑌))
2017, 18, 8, 19syl3anc 1372 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((𝑋 𝑌) 𝑌𝑌 (𝑋 𝑌)) ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑌))
2115, 20bitrd 279 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  lecple 17305  Posetcpo 18354  joincjn 18358  Latclat 18477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-proset 18341  df-poset 18360  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-lat 18478
This theorem is referenced by:  latleeqj2  18498  latnle  18519  cvlsupr2  39345  hlrelat5N  39404  3dim3  39472  dalem-cly  39674  dalem44  39719  cdleme30a  40381
  Copyright terms: Public domain W3C validator