Theorem latleeqj1 17957

Description: "Less than or equal to" in terms of join. (chlejb1 29593 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latleeqj1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) = 𝑌))

Proof of Theorem latleeqj1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3	1, 2	latref 17947	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ≤ 𝑌)
4	3	3adant2 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ≤ 𝑌)
5	4	biantrud 535	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑌)))
6		simp1 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
7		simp2 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		simp3 1140	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		latlej.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
10	1, 2, 9	latjle12 17956	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑌) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑌))
11	6, 7, 8, 8, 10	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑌) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑌))
12	5, 11	bitrd 282	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑌))
13	1, 2, 9	latlej2 17955	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))
14	13	biantrud 535	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑌 ↔ ((𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))))
15	12, 14	bitrd 282	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ((𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))))
16		latpos 17944	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
17	16	3ad2ant1 1135	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
18	1, 9	latjcl 17945	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
19	1, 2	posasymb 17826	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) = 𝑌))
20	17, 18, 8, 19	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) = 𝑌))
21	15, 20	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  lecple 16809  Posetcpo 17814  joincjn 17818  Latclat 17937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-proset 17802  df-poset 17820  df-lub 17852  df-glb 17853  df-join 17854  df-meet 17855  df-lat 17938

This theorem is referenced by:  latleeqj2  17958  latnle  17979  cvlsupr2  37094  hlrelat5N  37152  3dim3  37220  dalem-cly  37422  dalem44  37467  cdleme30a  38129