Theorem latleeqj1 18497

Description: "Less than or equal to" in terms of join. (chlejb1 31532 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latleeqj1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) = 𝑌))

Proof of Theorem latleeqj1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3	1, 2	latref 18487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ≤ 𝑌)
4	3	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ≤ 𝑌)
5	4	biantrud 531	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑌)))
6		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
7		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		latlej.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
10	1, 2, 9	latjle12 18496	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑌) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑌))
11	6, 7, 8, 8, 10	syl13anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑌) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑌))
12	5, 11	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑌))
13	1, 2, 9	latlej2 18495	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))
14	13	biantrud 531	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑌 ↔ ((𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))))
15	12, 14	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ((𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))))
16		latpos 18484	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
17	16	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
18	1, 9	latjcl 18485	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
19	1, 2	posasymb 18366	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) = 𝑌))
20	17, 18, 8, 19	syl3anc 1372	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑋 ∨ 𝑌) ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) = 𝑌))
21	15, 20	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  lecple 17305  Posetcpo 18354  joincjn 18358  Latclat 18477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-proset 18341  df-poset 18360  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-lat 18478

This theorem is referenced by:  latleeqj2  18498  latnle  18519  cvlsupr2  39345  hlrelat5N  39404  3dim3  39472  dalem-cly  39674  dalem44  39719  cdleme30a  40381