Theorem latjcl 18360

Description: Closure of join operation in a lattice. (chjcom 31530 analog.) (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latjcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latjcl.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latjcl	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem latjcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latjcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latjcl.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		eqid 2734	. . 3 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	latlem 18358	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵))
5	4	simpld 494	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  joincjn 18232  meetcmee 18233  Latclat 18352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-lub 18265  df-glb 18266  df-join 18267  df-meet 18268  df-lat 18353

This theorem is referenced by:  latleeqj1  18372  latjlej1  18374  latjlej12  18376  latnlej2  18380  latjidm  18383  latnle  18394  latabs2  18397  latledi  18398  latmlej11  18399  latjass  18404  latj13  18407  latj31  18408  latj4  18410  mod1ile  18414  mod2ile  18415  latdisdlem  18417  lubun  18436  oldmm1  39416  olj01  39424  latmassOLD  39428  omllaw5N  39446  cmtcomlemN  39447  cmtbr2N  39452  cmtbr3N  39453  cmtbr4N  39454  lecmtN  39455  omlfh1N  39457  omlfh3N  39458  omlmod1i2N  39459  cvlexchb1  39529  cvlcvr1  39538  hlatjcl  39566  exatleN  39603  cvrval3  39612  cvrexchlem  39618  cvrexch  39619  cvratlem  39620  cvrat  39621  lnnat  39626  cvrat2  39628  atcvrj2b  39631  atltcvr  39634  atlelt  39637  2atlt  39638  atexchcvrN  39639  cvrat3  39641  cvrat4  39642  2atjm  39644  4noncolr3  39652  athgt  39655  3dim0  39656  3dimlem4a  39662  1cvratex  39672  1cvrjat  39674  1cvrat  39675  ps-2  39677  3atlem1  39682  3atlem2  39683  3at  39689  2atm  39726  lplni2  39736  lplnle  39739  2llnmj  39759  2atmat  39760  lplnexllnN  39763  2llnjaN  39765  lvoli3  39776  islvol5  39778  lvoli2  39780  lvolnle3at  39781  3atnelvolN  39785  islvol2aN  39791  4atlem3  39795  4atlem4d  39801  4atlem9  39802  4atlem10a  39803  4atlem10  39805  4atlem11a  39806  4atlem11b  39807  4atlem11  39808  4atlem12a  39809  4atlem12b  39810  4atlem12  39811  4at  39812  lplncvrlvol2  39814  2lplnja  39818  2lplnmj  39821  dalem5  39866  dalem8  39869  dalem-cly  39870  dalem38  39909  dalem39  39910  dalem44  39915  dalem54  39925  linepsubN  39951  pmapsub  39967  isline2  39973  linepmap  39974  isline3  39975  lncvrelatN  39980  2llnma1b  39985  cdlema1N  39990  cdlemblem  39992  cdlemb  39993  paddasslem5  40023  paddasslem12  40030  paddasslem13  40031  pmapjoin  40051  pmapjat1  40052  pmapjlln1  40054  hlmod1i  40055  llnmod1i2  40059  atmod2i1  40060  atmod2i2  40061  llnmod2i2  40062  atmod3i1  40063  atmod3i2  40064  dalawlem2  40071  dalawlem3  40072  dalawlem5  40074  dalawlem6  40075  dalawlem7  40076  dalawlem8  40077  dalawlem11  40080  dalawlem12  40081  pmapocjN  40129  paddatclN  40148  linepsubclN  40150  pl42lem1N  40178  pl42lem2N  40179  pl42N  40182  lhp2lt  40200  lhpj1  40221  lhpmod2i2  40237  lhpmod6i1  40238  4atexlemc  40268  lautj  40292  trlval2  40362  trlcl  40363  trljat1  40365  trljat2  40366  trlle  40383  cdlemc1  40390  cdlemc2  40391  cdlemc5  40394  cdlemd2  40398  cdlemd3  40399  cdleme0aa  40409  cdleme0b  40411  cdleme0c  40412  cdleme0cp  40413  cdleme0cq  40414  cdleme0fN  40417  cdleme1b  40425  cdleme1  40426  cdleme2  40427  cdleme3b  40428  cdleme3c  40429  cdleme4a  40438  cdleme5  40439  cdleme7e  40446  cdleme8  40449  cdleme9  40452  cdleme10  40453  cdleme11fN  40463  cdleme11g  40464  cdleme11k  40467  cdleme11  40469  cdleme15b  40474  cdleme15  40477  cdleme22gb  40493  cdleme19b  40503  cdleme20d  40511  cdleme20j  40517  cdleme20l  40521  cdleme20m  40522  cdleme22e  40543  cdleme22eALTN  40544  cdleme22f  40545  cdleme23b  40549  cdleme23c  40550  cdleme28a  40569  cdleme28b  40570  cdleme29ex  40573  cdleme30a  40577  cdlemefr29exN  40601  cdleme32e  40644  cdleme35fnpq  40648  cdleme35b  40649  cdleme35c  40650  cdleme42e  40678  cdleme42i  40682  cdleme42mgN  40687  cdlemg2fv2  40799  cdlemg7fvbwN  40806  cdlemg4c  40811  cdlemg6c  40819  cdlemg10  40840  cdlemg11b  40841  cdlemg31a  40896  cdlemg31b  40897  cdlemg35  40912  trlcolem  40925  cdlemg44a  40930  trljco  40939  tendopltp  40979  cdlemh1  41014  cdlemh2  41015  cdlemi1  41017  cdlemi  41019  cdlemk4  41033  cdlemkvcl  41041  cdlemk10  41042  cdlemk11  41048  cdlemk11u  41070  cdlemk37  41113  cdlemkid1  41121  cdlemk50  41151  cdlemk51  41152  cdlemk52  41153  dialss  41245  dia2dimlem2  41264  dia2dimlem3  41265  cdlemm10N  41317  docaclN  41323  doca2N  41325  djajN  41336  diblss  41369  cdlemn2  41394  cdlemn10  41405  dihord1  41417  dihord2pre2  41425  dihord5apre  41461  dihjatc1  41510  dihmeetlem10N  41515  dihmeetlem11N  41516  djhljjN  41601  djhj  41603  dihprrnlem1N  41623  dihprrnlem2  41624  dihjat6  41633  dihjat5N  41636  dvh4dimat  41637