Theorem latjcl 18345

Description: Closure of join operation in a lattice. (chjcom 31486 analog.) (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latjcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latjcl.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latjcl	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem latjcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latjcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latjcl.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		eqid 2731	. . 3 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	latlem 18343	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵))
5	4	simpld 494	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  joincjn 18217  meetcmee 18218  Latclat 18337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-lat 18338

This theorem is referenced by:  latleeqj1  18357  latjlej1  18359  latjlej12  18361  latnlej2  18365  latjidm  18368  latnle  18379  latabs2  18382  latledi  18383  latmlej11  18384  latjass  18389  latj13  18392  latj31  18393  latj4  18395  mod1ile  18399  mod2ile  18400  latdisdlem  18402  lubun  18421  oldmm1  39315  olj01  39323  latmassOLD  39327  omllaw5N  39345  cmtcomlemN  39346  cmtbr2N  39351  cmtbr3N  39352  cmtbr4N  39353  lecmtN  39354  omlfh1N  39356  omlfh3N  39357  omlmod1i2N  39358  cvlexchb1  39428  cvlcvr1  39437  hlatjcl  39465  exatleN  39502  cvrval3  39511  cvrexchlem  39517  cvrexch  39518  cvratlem  39519  cvrat  39520  lnnat  39525  cvrat2  39527  atcvrj2b  39530  atltcvr  39533  atlelt  39536  2atlt  39537  atexchcvrN  39538  cvrat3  39540  cvrat4  39541  2atjm  39543  4noncolr3  39551  athgt  39554  3dim0  39555  3dimlem4a  39561  1cvratex  39571  1cvrjat  39573  1cvrat  39574  ps-2  39576  3atlem1  39581  3atlem2  39582  3at  39588  2atm  39625  lplni2  39635  lplnle  39638  2llnmj  39658  2atmat  39659  lplnexllnN  39662  2llnjaN  39664  lvoli3  39675  islvol5  39677  lvoli2  39679  lvolnle3at  39680  3atnelvolN  39684  islvol2aN  39690  4atlem3  39694  4atlem4d  39700  4atlem9  39701  4atlem10a  39702  4atlem10  39704  4atlem11a  39705  4atlem11b  39706  4atlem11  39707  4atlem12a  39708  4atlem12b  39709  4atlem12  39710  4at  39711  lplncvrlvol2  39713  2lplnja  39717  2lplnmj  39720  dalem5  39765  dalem8  39768  dalem-cly  39769  dalem38  39808  dalem39  39809  dalem44  39814  dalem54  39824  linepsubN  39850  pmapsub  39866  isline2  39872  linepmap  39873  isline3  39874  lncvrelatN  39879  2llnma1b  39884  cdlema1N  39889  cdlemblem  39891  cdlemb  39892  paddasslem5  39922  paddasslem12  39929  paddasslem13  39930  pmapjoin  39950  pmapjat1  39951  pmapjlln1  39953  hlmod1i  39954  llnmod1i2  39958  atmod2i1  39959  atmod2i2  39960  llnmod2i2  39961  atmod3i1  39962  atmod3i2  39963  dalawlem2  39970  dalawlem3  39971  dalawlem5  39973  dalawlem6  39974  dalawlem7  39975  dalawlem8  39976  dalawlem11  39979  dalawlem12  39980  pmapocjN  40028  paddatclN  40047  linepsubclN  40049  pl42lem1N  40077  pl42lem2N  40078  pl42N  40081  lhp2lt  40099  lhpj1  40120  lhpmod2i2  40136  lhpmod6i1  40137  4atexlemc  40167  lautj  40191  trlval2  40261  trlcl  40262  trljat1  40264  trljat2  40265  trlle  40282  cdlemc1  40289  cdlemc2  40290  cdlemc5  40293  cdlemd2  40297  cdlemd3  40298  cdleme0aa  40308  cdleme0b  40310  cdleme0c  40311  cdleme0cp  40312  cdleme0cq  40313  cdleme0fN  40316  cdleme1b  40324  cdleme1  40325  cdleme2  40326  cdleme3b  40327  cdleme3c  40328  cdleme4a  40337  cdleme5  40338  cdleme7e  40345  cdleme8  40348  cdleme9  40351  cdleme10  40352  cdleme11fN  40362  cdleme11g  40363  cdleme11k  40366  cdleme11  40368  cdleme15b  40373  cdleme15  40376  cdleme22gb  40392  cdleme19b  40402  cdleme20d  40410  cdleme20j  40416  cdleme20l  40420  cdleme20m  40421  cdleme22e  40442  cdleme22eALTN  40443  cdleme22f  40444  cdleme23b  40448  cdleme23c  40449  cdleme28a  40468  cdleme28b  40469  cdleme29ex  40472  cdleme30a  40476  cdlemefr29exN  40500  cdleme32e  40543  cdleme35fnpq  40547  cdleme35b  40548  cdleme35c  40549  cdleme42e  40577  cdleme42i  40581  cdleme42mgN  40586  cdlemg2fv2  40698  cdlemg7fvbwN  40705  cdlemg4c  40710  cdlemg6c  40718  cdlemg10  40739  cdlemg11b  40740  cdlemg31a  40795  cdlemg31b  40796  cdlemg35  40811  trlcolem  40824  cdlemg44a  40829  trljco  40838  tendopltp  40878  cdlemh1  40913  cdlemh2  40914  cdlemi1  40916  cdlemi  40918  cdlemk4  40932  cdlemkvcl  40940  cdlemk10  40941  cdlemk11  40947  cdlemk11u  40969  cdlemk37  41012  cdlemkid1  41020  cdlemk50  41050  cdlemk51  41051  cdlemk52  41052  dialss  41144  dia2dimlem2  41163  dia2dimlem3  41164  cdlemm10N  41216  docaclN  41222  doca2N  41224  djajN  41235  diblss  41268  cdlemn2  41293  cdlemn10  41304  dihord1  41316  dihord2pre2  41324  dihord5apre  41360  dihjatc1  41409  dihmeetlem10N  41414  dihmeetlem11N  41415  djhljjN  41500  djhj  41502  dihprrnlem1N  41522  dihprrnlem2  41523  dihjat6  41532  dihjat5N  41535  dvh4dimat  41536