Theorem latjcl 18345

Description: Closure of join operation in a lattice. (chjcom 31454 analog.) (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latjcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latjcl.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latjcl	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem latjcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latjcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latjcl.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	latlem 18343	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵))
5	4	simpld 494	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  joincjn 18217  meetcmee 18218  Latclat 18337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-lat 18338

This theorem is referenced by:  latleeqj1  18357  latjlej1  18359  latjlej12  18361  latnlej2  18365  latjidm  18368  latnle  18379  latabs2  18382  latledi  18383  latmlej11  18384  latjass  18389  latj13  18392  latj31  18393  latj4  18395  mod1ile  18399  mod2ile  18400  latdisdlem  18402  lubun  18421  oldmm1  39216  olj01  39224  latmassOLD  39228  omllaw5N  39246  cmtcomlemN  39247  cmtbr2N  39252  cmtbr3N  39253  cmtbr4N  39254  lecmtN  39255  omlfh1N  39257  omlfh3N  39258  omlmod1i2N  39259  cvlexchb1  39329  cvlcvr1  39338  hlatjcl  39366  exatleN  39403  cvrval3  39412  cvrexchlem  39418  cvrexch  39419  cvratlem  39420  cvrat  39421  lnnat  39426  cvrat2  39428  atcvrj2b  39431  atltcvr  39434  atlelt  39437  2atlt  39438  atexchcvrN  39439  cvrat3  39441  cvrat4  39442  2atjm  39444  4noncolr3  39452  athgt  39455  3dim0  39456  3dimlem4a  39462  1cvratex  39472  1cvrjat  39474  1cvrat  39475  ps-2  39477  3atlem1  39482  3atlem2  39483  3at  39489  2atm  39526  lplni2  39536  lplnle  39539  2llnmj  39559  2atmat  39560  lplnexllnN  39563  2llnjaN  39565  lvoli3  39576  islvol5  39578  lvoli2  39580  lvolnle3at  39581  3atnelvolN  39585  islvol2aN  39591  4atlem3  39595  4atlem4d  39601  4atlem9  39602  4atlem10a  39603  4atlem10  39605  4atlem11a  39606  4atlem11b  39607  4atlem11  39608  4atlem12a  39609  4atlem12b  39610  4atlem12  39611  4at  39612  lplncvrlvol2  39614  2lplnja  39618  2lplnmj  39621  dalem5  39666  dalem8  39669  dalem-cly  39670  dalem38  39709  dalem39  39710  dalem44  39715  dalem54  39725  linepsubN  39751  pmapsub  39767  isline2  39773  linepmap  39774  isline3  39775  lncvrelatN  39780  2llnma1b  39785  cdlema1N  39790  cdlemblem  39792  cdlemb  39793  paddasslem5  39823  paddasslem12  39830  paddasslem13  39831  pmapjoin  39851  pmapjat1  39852  pmapjlln1  39854  hlmod1i  39855  llnmod1i2  39859  atmod2i1  39860  atmod2i2  39861  llnmod2i2  39862  atmod3i1  39863  atmod3i2  39864  dalawlem2  39871  dalawlem3  39872  dalawlem5  39874  dalawlem6  39875  dalawlem7  39876  dalawlem8  39877  dalawlem11  39880  dalawlem12  39881  pmapocjN  39929  paddatclN  39948  linepsubclN  39950  pl42lem1N  39978  pl42lem2N  39979  pl42N  39982  lhp2lt  40000  lhpj1  40021  lhpmod2i2  40037  lhpmod6i1  40038  4atexlemc  40068  lautj  40092  trlval2  40162  trlcl  40163  trljat1  40165  trljat2  40166  trlle  40183  cdlemc1  40190  cdlemc2  40191  cdlemc5  40194  cdlemd2  40198  cdlemd3  40199  cdleme0aa  40209  cdleme0b  40211  cdleme0c  40212  cdleme0cp  40213  cdleme0cq  40214  cdleme0fN  40217  cdleme1b  40225  cdleme1  40226  cdleme2  40227  cdleme3b  40228  cdleme3c  40229  cdleme4a  40238  cdleme5  40239  cdleme7e  40246  cdleme8  40249  cdleme9  40252  cdleme10  40253  cdleme11fN  40263  cdleme11g  40264  cdleme11k  40267  cdleme11  40269  cdleme15b  40274  cdleme15  40277  cdleme22gb  40293  cdleme19b  40303  cdleme20d  40311  cdleme20j  40317  cdleme20l  40321  cdleme20m  40322  cdleme22e  40343  cdleme22eALTN  40344  cdleme22f  40345  cdleme23b  40349  cdleme23c  40350  cdleme28a  40369  cdleme28b  40370  cdleme29ex  40373  cdleme30a  40377  cdlemefr29exN  40401  cdleme32e  40444  cdleme35fnpq  40448  cdleme35b  40449  cdleme35c  40450  cdleme42e  40478  cdleme42i  40482  cdleme42mgN  40487  cdlemg2fv2  40599  cdlemg7fvbwN  40606  cdlemg4c  40611  cdlemg6c  40619  cdlemg10  40640  cdlemg11b  40641  cdlemg31a  40696  cdlemg31b  40697  cdlemg35  40712  trlcolem  40725  cdlemg44a  40730  trljco  40739  tendopltp  40779  cdlemh1  40814  cdlemh2  40815  cdlemi1  40817  cdlemi  40819  cdlemk4  40833  cdlemkvcl  40841  cdlemk10  40842  cdlemk11  40848  cdlemk11u  40870  cdlemk37  40913  cdlemkid1  40921  cdlemk50  40951  cdlemk51  40952  cdlemk52  40953  dialss  41045  dia2dimlem2  41064  dia2dimlem3  41065  cdlemm10N  41117  docaclN  41123  doca2N  41125  djajN  41136  diblss  41169  cdlemn2  41194  cdlemn10  41205  dihord1  41217  dihord2pre2  41225  dihord5apre  41261  dihjatc1  41310  dihmeetlem10N  41315  dihmeetlem11N  41316  djhljjN  41401  djhj  41403  dihprrnlem1N  41423  dihprrnlem2  41424  dihjat6  41433  dihjat5N  41436  dvh4dimat  41437