MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latjcl 18333
Description: Closure of join operation in a lattice. (chjcom 30490 analog.) (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latjcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latjcl.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latjcl ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)

Proof of Theorem latjcl
StepHypRef Expression
1 latjcl.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 latjcl.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 eqid 2733 . . 3 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
41, 2, 3latlem 18331 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ 𝐡))
54simpld 496 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  joincjn 18205  meetcmee 18206  Latclat 18325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-lat 18326
This theorem is referenced by:  latleeqj1  18345  latjlej1  18347  latjlej12  18349  latnlej2  18353  latjidm  18356  latnle  18367  latabs2  18370  latledi  18371  latmlej11  18372  latjass  18377  latj13  18380  latj31  18381  latj4  18383  mod1ile  18387  mod2ile  18388  latdisdlem  18390  lubun  18409  oldmm1  37725  olj01  37733  latmassOLD  37737  omllaw5N  37755  cmtcomlemN  37756  cmtbr2N  37761  cmtbr3N  37762  cmtbr4N  37763  lecmtN  37764  omlfh1N  37766  omlfh3N  37767  omlmod1i2N  37768  cvlexchb1  37838  cvlcvr1  37847  hlatjcl  37875  exatleN  37913  cvrval3  37922  cvrexchlem  37928  cvrexch  37929  cvratlem  37930  cvrat  37931  lnnat  37936  cvrat2  37938  atcvrj2b  37941  atltcvr  37944  atlelt  37947  2atlt  37948  atexchcvrN  37949  cvrat3  37951  cvrat4  37952  2atjm  37954  4noncolr3  37962  athgt  37965  3dim0  37966  3dimlem4a  37972  1cvratex  37982  1cvrjat  37984  1cvrat  37985  ps-2  37987  3atlem1  37992  3atlem2  37993  3at  37999  2atm  38036  lplni2  38046  lplnle  38049  2llnmj  38069  2atmat  38070  lplnexllnN  38073  2llnjaN  38075  lvoli3  38086  islvol5  38088  lvoli2  38090  lvolnle3at  38091  3atnelvolN  38095  islvol2aN  38101  4atlem3  38105  4atlem4d  38111  4atlem9  38112  4atlem10a  38113  4atlem10  38115  4atlem11a  38116  4atlem11b  38117  4atlem11  38118  4atlem12a  38119  4atlem12b  38120  4atlem12  38121  4at  38122  lplncvrlvol2  38124  2lplnja  38128  2lplnmj  38131  dalem5  38176  dalem8  38179  dalem-cly  38180  dalem38  38219  dalem39  38220  dalem44  38225  dalem54  38235  linepsubN  38261  pmapsub  38277  isline2  38283  linepmap  38284  isline3  38285  lncvrelatN  38290  2llnma1b  38295  cdlema1N  38300  cdlemblem  38302  cdlemb  38303  paddasslem5  38333  paddasslem12  38340  paddasslem13  38341  pmapjoin  38361  pmapjat1  38362  pmapjlln1  38364  hlmod1i  38365  llnmod1i2  38369  atmod2i1  38370  atmod2i2  38371  llnmod2i2  38372  atmod3i1  38373  atmod3i2  38374  dalawlem2  38381  dalawlem3  38382  dalawlem5  38384  dalawlem6  38385  dalawlem7  38386  dalawlem8  38387  dalawlem11  38390  dalawlem12  38391  pmapocjN  38439  paddatclN  38458  linepsubclN  38460  pl42lem1N  38488  pl42lem2N  38489  pl42N  38492  lhp2lt  38510  lhpj1  38531  lhpmod2i2  38547  lhpmod6i1  38548  4atexlemc  38578  lautj  38602  trlval2  38672  trlcl  38673  trljat1  38675  trljat2  38676  trlle  38693  cdlemc1  38700  cdlemc2  38701  cdlemc5  38704  cdlemd2  38708  cdlemd3  38709  cdleme0aa  38719  cdleme0b  38721  cdleme0c  38722  cdleme0cp  38723  cdleme0cq  38724  cdleme0fN  38727  cdleme1b  38735  cdleme1  38736  cdleme2  38737  cdleme3b  38738  cdleme3c  38739  cdleme4a  38748  cdleme5  38749  cdleme7e  38756  cdleme8  38759  cdleme9  38762  cdleme10  38763  cdleme11fN  38773  cdleme11g  38774  cdleme11k  38777  cdleme11  38779  cdleme15b  38784  cdleme15  38787  cdleme22gb  38803  cdleme19b  38813  cdleme20d  38821  cdleme20j  38827  cdleme20l  38831  cdleme20m  38832  cdleme22e  38853  cdleme22eALTN  38854  cdleme22f  38855  cdleme23b  38859  cdleme23c  38860  cdleme28a  38879  cdleme28b  38880  cdleme29ex  38883  cdleme30a  38887  cdlemefr29exN  38911  cdleme32e  38954  cdleme35fnpq  38958  cdleme35b  38959  cdleme35c  38960  cdleme42e  38988  cdleme42i  38992  cdleme42mgN  38997  cdlemg2fv2  39109  cdlemg7fvbwN  39116  cdlemg4c  39121  cdlemg6c  39129  cdlemg10  39150  cdlemg11b  39151  cdlemg31a  39206  cdlemg31b  39207  cdlemg35  39222  trlcolem  39235  cdlemg44a  39240  trljco  39249  tendopltp  39289  cdlemh1  39324  cdlemh2  39325  cdlemi1  39327  cdlemi  39329  cdlemk4  39343  cdlemkvcl  39351  cdlemk10  39352  cdlemk11  39358  cdlemk11u  39380  cdlemk37  39423  cdlemkid1  39431  cdlemk50  39461  cdlemk51  39462  cdlemk52  39463  dialss  39555  dia2dimlem2  39574  dia2dimlem3  39575  cdlemm10N  39627  docaclN  39633  doca2N  39635  djajN  39646  diblss  39679  cdlemn2  39704  cdlemn10  39715  dihord1  39727  dihord2pre2  39735  dihord5apre  39771  dihjatc1  39820  dihmeetlem10N  39825  dihmeetlem11N  39826  djhljjN  39911  djhj  39913  dihprrnlem1N  39933  dihprrnlem2  39934  dihjat6  39943  dihjat5N  39946  dvh4dimat  39947
  Copyright terms: Public domain W3C validator