Theorem latjcl 17899

Description: Closure of join operation in a lattice. (chjcom 29541 analog.) (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latjcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latjcl.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latjcl	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem latjcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latjcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latjcl.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	latlem 17897	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋(meet‘𝐾)𝑌) ∈ 𝐵))
5	4	simpld 498	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  Basecbs 16666  joincjn 17772  meetcmee 17773  Latclat 17891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-lub 17806  df-glb 17807  df-join 17808  df-meet 17809  df-lat 17892

This theorem is referenced by:  latleeqj1  17911  latjlej1  17913  latjlej12  17915  latnlej2  17919  latjidm  17922  latnle  17933  latabs2  17936  latledi  17937  latmlej11  17938  latjass  17943  latj13  17946  latj31  17947  latj4  17949  mod1ile  17953  mod2ile  17954  latdisdlem  17956  lubun  17975  oldmm1  36917  olj01  36925  latmassOLD  36929  omllaw5N  36947  cmtcomlemN  36948  cmtbr2N  36953  cmtbr3N  36954  cmtbr4N  36955  lecmtN  36956  omlfh1N  36958  omlfh3N  36959  omlmod1i2N  36960  cvlexchb1  37030  cvlcvr1  37039  hlatjcl  37067  exatleN  37104  cvrval3  37113  cvrexchlem  37119  cvrexch  37120  cvratlem  37121  cvrat  37122  lnnat  37127  cvrat2  37129  atcvrj2b  37132  atltcvr  37135  atlelt  37138  2atlt  37139  atexchcvrN  37140  cvrat3  37142  cvrat4  37143  2atjm  37145  4noncolr3  37153  athgt  37156  3dim0  37157  3dimlem4a  37163  1cvratex  37173  1cvrjat  37175  1cvrat  37176  ps-2  37178  3atlem1  37183  3atlem2  37184  3at  37190  2atm  37227  lplni2  37237  lplnle  37240  2llnmj  37260  2atmat  37261  lplnexllnN  37264  2llnjaN  37266  lvoli3  37277  islvol5  37279  lvoli2  37281  lvolnle3at  37282  3atnelvolN  37286  islvol2aN  37292  4atlem3  37296  4atlem4d  37302  4atlem9  37303  4atlem10a  37304  4atlem10  37306  4atlem11a  37307  4atlem11b  37308  4atlem11  37309  4atlem12a  37310  4atlem12b  37311  4atlem12  37312  4at  37313  lplncvrlvol2  37315  2lplnja  37319  2lplnmj  37322  dalem5  37367  dalem8  37370  dalem-cly  37371  dalem38  37410  dalem39  37411  dalem44  37416  dalem54  37426  linepsubN  37452  pmapsub  37468  isline2  37474  linepmap  37475  isline3  37476  lncvrelatN  37481  2llnma1b  37486  cdlema1N  37491  cdlemblem  37493  cdlemb  37494  paddasslem5  37524  paddasslem12  37531  paddasslem13  37532  pmapjoin  37552  pmapjat1  37553  pmapjlln1  37555  hlmod1i  37556  llnmod1i2  37560  atmod2i1  37561  atmod2i2  37562  llnmod2i2  37563  atmod3i1  37564  atmod3i2  37565  dalawlem2  37572  dalawlem3  37573  dalawlem5  37575  dalawlem6  37576  dalawlem7  37577  dalawlem8  37578  dalawlem11  37581  dalawlem12  37582  pmapocjN  37630  paddatclN  37649  linepsubclN  37651  pl42lem1N  37679  pl42lem2N  37680  pl42N  37683  lhp2lt  37701  lhpj1  37722  lhpmod2i2  37738  lhpmod6i1  37739  4atexlemc  37769  lautj  37793  trlval2  37863  trlcl  37864  trljat1  37866  trljat2  37867  trlle  37884  cdlemc1  37891  cdlemc2  37892  cdlemc5  37895  cdlemd2  37899  cdlemd3  37900  cdleme0aa  37910  cdleme0b  37912  cdleme0c  37913  cdleme0cp  37914  cdleme0cq  37915  cdleme0fN  37918  cdleme1b  37926  cdleme1  37927  cdleme2  37928  cdleme3b  37929  cdleme3c  37930  cdleme4a  37939  cdleme5  37940  cdleme7e  37947  cdleme8  37950  cdleme9  37953  cdleme10  37954  cdleme11fN  37964  cdleme11g  37965  cdleme11k  37968  cdleme11  37970  cdleme15b  37975  cdleme15  37978  cdleme22gb  37994  cdleme19b  38004  cdleme20d  38012  cdleme20j  38018  cdleme20l  38022  cdleme20m  38023  cdleme22e  38044  cdleme22eALTN  38045  cdleme22f  38046  cdleme23b  38050  cdleme23c  38051  cdleme28a  38070  cdleme28b  38071  cdleme29ex  38074  cdleme30a  38078  cdlemefr29exN  38102  cdleme32e  38145  cdleme35fnpq  38149  cdleme35b  38150  cdleme35c  38151  cdleme42e  38179  cdleme42i  38183  cdleme42mgN  38188  cdlemg2fv2  38300  cdlemg7fvbwN  38307  cdlemg4c  38312  cdlemg6c  38320  cdlemg10  38341  cdlemg11b  38342  cdlemg31a  38397  cdlemg31b  38398  cdlemg35  38413  trlcolem  38426  cdlemg44a  38431  trljco  38440  tendopltp  38480  cdlemh1  38515  cdlemh2  38516  cdlemi1  38518  cdlemi  38520  cdlemk4  38534  cdlemkvcl  38542  cdlemk10  38543  cdlemk11  38549  cdlemk11u  38571  cdlemk37  38614  cdlemkid1  38622  cdlemk50  38652  cdlemk51  38653  cdlemk52  38654  dialss  38746  dia2dimlem2  38765  dia2dimlem3  38766  cdlemm10N  38818  docaclN  38824  doca2N  38826  djajN  38837  diblss  38870  cdlemn2  38895  cdlemn10  38906  dihord1  38918  dihord2pre2  38926  dihord5apre  38962  dihjatc1  39011  dihmeetlem10N  39016  dihmeetlem11N  39017  djhljjN  39102  djhj  39104  dihprrnlem1N  39124  dihprrnlem2  39125  dihjat6  39134  dihjat5N  39137  dvh4dimat  39138