MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem latlem 18429
Description: Lemma for lattice properties. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlem.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latlem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
latlem.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latlem ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡))
Proof of Theorem latlem
StepHypRef Expression
1 latlem.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 latlem.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 simp1 1134 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 simp2 1135 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5 simp3 1136 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
6 opelxpi 5715 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
763adant1 1128 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
8 latlem.m . . . . . . 7 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
91, 2, 8islat 18425 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ dom ∧ = (𝐡 Γ— 𝐡))))
10 simprl 770 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ dom ∧ = (𝐡 Γ— 𝐡))) β†’ dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡))
119, 10sylbi 216 . . . . 5 (𝐾 ∈ Lat β†’ dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡))
12113ad2ant1 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡))
137, 12eleqtrrd 2832 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∨ )
141, 2, 3, 4, 5, 13joincl 18370 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
15 simprr 772 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ dom ∧ = (𝐡 Γ— 𝐡))) β†’ dom ∧ = (𝐡 Γ— 𝐡))
169, 15sylbi 216 . . . . 5 (𝐾 ∈ Lat β†’ dom ∧ = (𝐡 Γ— 𝐡))
17163ad2ant1 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ dom ∧ = (𝐡 Γ— 𝐡))
187, 17eleqtrrd 2832 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∧ )
191, 8, 3, 4, 5, 18meetcl 18384 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
2014, 19jca 511 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βŸ¨cop 4635   Γ— cxp 5676  dom cdm 5678  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  Posetcpo 18299  joincjn 18303  meetcmee 18304  Latclat 18423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-lub 18338  df-glb 18339  df-join 18340  df-meet 18341  df-lat 18424
This theorem is referenced by:  latjcl  18431  latmcl  18432
  Copyright terms: Public domain W3C validator