MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem latlem 18400
Description: Lemma for lattice properties. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlem.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latlem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
latlem.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latlem ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡))
Proof of Theorem latlem
StepHypRef Expression
1 latlem.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 latlem.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 simp1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 simp2 1134 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5 simp3 1135 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
6 opelxpi 5706 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
763adant1 1127 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
8 latlem.m . . . . . . 7 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
91, 2, 8islat 18396 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ dom ∧ = (𝐡 Γ— 𝐡))))
10 simprl 768 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ dom ∧ = (𝐡 Γ— 𝐡))) β†’ dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡))
119, 10sylbi 216 . . . . 5 (𝐾 ∈ Lat β†’ dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡))
12113ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡))
137, 12eleqtrrd 2830 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∨ )
141, 2, 3, 4, 5, 13joincl 18341 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
15 simprr 770 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ dom ∧ = (𝐡 Γ— 𝐡))) β†’ dom ∧ = (𝐡 Γ— 𝐡))
169, 15sylbi 216 . . . . 5 (𝐾 ∈ Lat β†’ dom ∧ = (𝐡 Γ— 𝐡))
17163ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ dom ∧ = (𝐡 Γ— 𝐡))
187, 17eleqtrrd 2830 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∧ )
191, 8, 3, 4, 5, 18meetcl 18355 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
2014, 19jca 511 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸ¨cop 4629   Γ— cxp 5667  dom cdm 5669  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  Posetcpo 18270  joincjn 18274  meetcmee 18275  Latclat 18394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-lat 18395
This theorem is referenced by:  latjcl  18402  latmcl  18403
  Copyright terms: Public domain W3C validator