Theorem latasymb 18348

Description: A lattice ordering is asymmetric. (eqss 3945 analog.) (Contributed by NM, 22-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latref.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latref.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latasymb	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem latasymb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latpos 18344	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
2		latref.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		latref.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4	2, 3	posasymb 18225	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
5	1, 4	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  lecple 17168  Posetcpo 18213  Latclat 18337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-nul 5242

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-xp 5620  df-dm 5624  df-iota 6437  df-fv 6489  df-proset 18200  df-poset 18219  df-lat 18338

This theorem is referenced by:  latasym  18349  latasymd  18351  lubun  18421  cmtbr4N  39364  cvlexchb1  39439  hlateq  39508  cvratlem  39530  cvrat3  39551  pmap11  39871  cdleme50eq  40650  dia11N  41157  dib11N  41269  dih11  41374