MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latasymb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latasymb 17440
Description: A lattice ordering is asymmetric. (eqss 3836 analog.) (Contributed by NM, 22-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latref.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latref.l = (le‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latasymb ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem latasymb
StepHypRef Expression
1 latpos 17436 . 2 (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
2 latref.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 latref.l . . 3 = (le‘𝐾)
42, 3posasymb 17338 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
51, 4syl3an1 1163 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107   class class class wbr 4886  cfv 6135  Basecbs 16255  lecple 16345  Posetcpo 17326  Latclat 17431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-nul 5025
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-xp 5361  df-dm 5365  df-iota 6099  df-fv 6143  df-proset 17314  df-poset 17332  df-lat 17432
This theorem is referenced by:  latasym  17441  latasymd  17443  lubun  17509  cmtbr4N  35409  cvlexchb1  35484  hlateq  35553  cvratlem  35575  cvrat3  35596  pmap11  35916  cdleme50eq  36695  dia11N  37202  dib11N  37314  dih11  37419
  Copyright terms: Public domain W3C validator