Theorem latlem12 18546

Description: An element is less than or equal to a meet iff the element is less than or equal to each argument of the meet. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latmle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latlem12	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 ∧ 𝑍)))

Proof of Theorem latlem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmle.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latmle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latmle.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		latpos 18518	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
5	4	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Poset)
6		simpr2 1214	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		simpr3 1215	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
8		simpr1 1213	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
10		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
11	1, 9, 3, 10, 6, 7	latcl2 18516	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (⟨𝑌, 𝑍⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑌, 𝑍⟩ ∈ dom ∧ ))
12	11	simprd 501	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ⟨𝑌, 𝑍⟩ ∈ dom ∧ )
13	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12	meetle 18478	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 ∧ 𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4597   class class class wbr 5111  dom cdm 5663  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17293  lecple 17341  Posetcpo 18387  joincjn 18391  meetcmee 18392  Latclat 18511

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-poset 18393  df-glb 18425  df-meet 18427  df-lat 18512

This theorem is used by:  latleeqm1  18547  latmlem1  18549  latmidm  18554  latledi  18557  mod1ile  18573  oldmm1  40051  olm01  40070  cmtbr4N  40089  atnle  40151  atlatmstc  40153  hlrelat2  40237  cvrval5  40249  cvrexchlem  40253  2atjm  40279  atbtwn  40280  ps-2b  40316  2atm  40361  2llnm4  40404  2llnmeqat  40405  dalemcea  40494  dalem21  40528  dalem54  40560  dalem55  40561  dalem57  40563  2atm2atN  40619  2llnma1b  40620  cdlemblem  40627  dalawlem2  40706  dalawlem3  40707  dalawlem6  40710  dalawlem11  40715  dalawlem12  40716  lhpocnle  40850  lhpmcvr4N  40860  lhpat3  40880  4atexlemcnd  40906  lautm  40928  trlval3  41021  cdlemc5  41029  cdleme3  41071  cdleme7ga  41082  cdleme7  41083  cdleme11k  41102  cdleme16e  41116  cdleme16f  41117  cdlemednpq  41133  cdleme22aa  41173  cdleme22b  41175  cdleme22cN  41176  cdleme23c  41185  cdlemeg46req  41363  cdlemf2  41396  cdlemg10c  41473  cdlemg12f  41482  cdlemg17dALTN  41498  cdlemg19a  41517  cdlemg27b  41530  cdlemi  41654  cdlemk15  41689  cdlemk50  41786  dia2dimlem1  41898  dihopelvalcpre  42082  dihord5b  42093  dihmeetlem1N  42124  dihglblem5apreN  42125  dihglblem2N  42128  dihmeetlem3N  42139