Theorem latlem12 18498

Description: An element is less than or equal to a meet iff the element is less than or equal to each argument of the meet. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latmle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latlem12	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 ∧ 𝑍)))

Proof of Theorem latlem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmle.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latmle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latmle.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		latpos 18470	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
5	4	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Poset)
6		simpr2 1209	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		simpr3 1210	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
8		simpr1 1208	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
10		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
11	1, 9, 3, 10, 6, 7	latcl2 18468	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (⟨𝑌, 𝑍⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑌, 𝑍⟩ ∈ dom ∧ ))
12	11	simprd 499	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ⟨𝑌, 𝑍⟩ ∈ dom ∧ )
13	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12	meetle 18430	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 ∧ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  dom cdm 5647  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  lecple 17293  Posetcpo 18339  joincjn 18343  meetcmee 18344  Latclat 18463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-poset 18345  df-glb 18377  df-meet 18379  df-lat 18464

This theorem is referenced by:  latleeqm1  18499  latmlem1  18501  latmidm  18506  latledi  18509  mod1ile  18525  oldmm1  39841  olm01  39860  cmtbr4N  39879  atnle  39941  atlatmstc  39943  hlrelat2  40027  cvrval5  40039  cvrexchlem  40043  2atjm  40069  atbtwn  40070  ps-2b  40106  2atm  40151  2llnm4  40194  2llnmeqat  40195  dalemcea  40284  dalem21  40318  dalem54  40350  dalem55  40351  dalem57  40353  2atm2atN  40409  2llnma1b  40410  cdlemblem  40417  dalawlem2  40496  dalawlem3  40497  dalawlem6  40500  dalawlem11  40505  dalawlem12  40506  lhpocnle  40640  lhpmcvr4N  40650  lhpat3  40670  4atexlemcnd  40696  lautm  40718  trlval3  40811  cdlemc5  40819  cdleme3  40861  cdleme7ga  40872  cdleme7  40873  cdleme11k  40892  cdleme16e  40906  cdleme16f  40907  cdlemednpq  40923  cdleme22aa  40963  cdleme22b  40965  cdleme22cN  40966  cdleme23c  40975  cdlemeg46req  41153  cdlemf2  41186  cdlemg10c  41263  cdlemg12f  41272  cdlemg17dALTN  41288  cdlemg19a  41307  cdlemg27b  41320  cdlemi  41444  cdlemk15  41479  cdlemk50  41576  dia2dimlem1  41688  dihopelvalcpre  41872  dihord5b  41883  dihmeetlem1N  41914  dihglblem5apreN  41915  dihglblem2N  41918  dihmeetlem3N  41929