Theorem latlem12 18536

Description: An element is less than or equal to a meet iff the element is less than or equal to each argument of the meet. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latmle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latlem12	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 ∧ 𝑍)))

Proof of Theorem latlem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmle.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latmle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latmle.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		latpos 18508	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Poset)
6		simpr2 1195	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		simpr3 1196	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
8		simpr1 1194	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
10		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
11	1, 9, 3, 10, 6, 7	latcl2 18506	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (⟨𝑌, 𝑍⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑌, 𝑍⟩ ∈ dom ∧ ))
12	11	simprd 495	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ⟨𝑌, 𝑍⟩ ∈ dom ∧ )
13	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12	meetle 18470	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 ∧ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166  dom cdm 5700  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  lecple 17318  Posetcpo 18377  joincjn 18381  meetcmee 18382  Latclat 18501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-poset 18383  df-glb 18417  df-meet 18419  df-lat 18502

This theorem is referenced by:  latleeqm1  18537  latmlem1  18539  latmidm  18544  latledi  18547  mod1ile  18563  oldmm1  39173  olm01  39192  cmtbr4N  39211  atnle  39273  atlatmstc  39275  hlrelat2  39360  cvrval5  39372  cvrexchlem  39376  2atjm  39402  atbtwn  39403  ps-2b  39439  2atm  39484  2llnm4  39527  2llnmeqat  39528  dalemcea  39617  dalem21  39651  dalem54  39683  dalem55  39684  dalem57  39686  2atm2atN  39742  2llnma1b  39743  cdlemblem  39750  dalawlem2  39829  dalawlem3  39830  dalawlem6  39833  dalawlem11  39838  dalawlem12  39839  lhpocnle  39973  lhpmcvr4N  39983  lhpat3  40003  4atexlemcnd  40029  lautm  40051  trlval3  40144  cdlemc5  40152  cdleme3  40194  cdleme7ga  40205  cdleme7  40206  cdleme11k  40225  cdleme16e  40239  cdleme16f  40240  cdlemednpq  40256  cdleme22aa  40296  cdleme22b  40298  cdleme22cN  40299  cdleme23c  40308  cdlemeg46req  40486  cdlemf2  40519  cdlemg10c  40596  cdlemg12f  40605  cdlemg17dALTN  40621  cdlemg19a  40640  cdlemg27b  40653  cdlemi  40777  cdlemk15  40812  cdlemk50  40909  dia2dimlem1  41021  dihopelvalcpre  41205  dihord5b  41216  dihmeetlem1N  41247  dihglblem5apreN  41248  dihglblem2N  41251  dihmeetlem3N  41262