Theorem latlem12 18372

Description: An element is less than or equal to a meet iff the element is less than or equal to each argument of the meet. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latmle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latlem12	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 ∧ 𝑍)))

Proof of Theorem latlem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmle.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latmle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latmle.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		latpos 18344	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Poset)
6		simpr2 1196	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		simpr3 1197	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
8		simpr1 1195	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
10		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
11	1, 9, 3, 10, 6, 7	latcl2 18342	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (⟨𝑌, 𝑍⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑌, 𝑍⟩ ∈ dom ∧ ))
12	11	simprd 495	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ⟨𝑌, 𝑍⟩ ∈ dom ∧ )
13	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12	meetle 18304	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑋 ≤ 𝑍) ↔ 𝑋 ≤ (𝑌 ∧ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4583   class class class wbr 5092  dom cdm 5619  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  lecple 17168  Posetcpo 18213  joincjn 18217  meetcmee 18218  Latclat 18337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-poset 18219  df-glb 18251  df-meet 18253  df-lat 18338

This theorem is referenced by:  latleeqm1  18373  latmlem1  18375  latmidm  18380  latledi  18383  mod1ile  18399  oldmm1  39200  olm01  39219  cmtbr4N  39238  atnle  39300  atlatmstc  39302  hlrelat2  39386  cvrval5  39398  cvrexchlem  39402  2atjm  39428  atbtwn  39429  ps-2b  39465  2atm  39510  2llnm4  39553  2llnmeqat  39554  dalemcea  39643  dalem21  39677  dalem54  39709  dalem55  39710  dalem57  39712  2atm2atN  39768  2llnma1b  39769  cdlemblem  39776  dalawlem2  39855  dalawlem3  39856  dalawlem6  39859  dalawlem11  39864  dalawlem12  39865  lhpocnle  39999  lhpmcvr4N  40009  lhpat3  40029  4atexlemcnd  40055  lautm  40077  trlval3  40170  cdlemc5  40178  cdleme3  40220  cdleme7ga  40231  cdleme7  40232  cdleme11k  40251  cdleme16e  40265  cdleme16f  40266  cdlemednpq  40282  cdleme22aa  40322  cdleme22b  40324  cdleme22cN  40325  cdleme23c  40334  cdlemeg46req  40512  cdlemf2  40545  cdlemg10c  40622  cdlemg12f  40631  cdlemg17dALTN  40647  cdlemg19a  40666  cdlemg27b  40679  cdlemi  40803  cdlemk15  40838  cdlemk50  40935  dia2dimlem1  41047  dihopelvalcpre  41231  dihord5b  41242  dihmeetlem1N  41273  dihglblem5apreN  41274  dihglblem2N  41277  dihmeetlem3N  41288