Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latlem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latlem12 17679
 Description: An element is less than or equal to a meet iff the element is less than or equal to each argument of the meet. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l = (le‘𝐾)
latmle.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latlem12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑋 𝑍) ↔ 𝑋 (𝑌 𝑍)))

Proof of Theorem latlem12
StepHypRef Expression
1 latmle.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latmle.l . 2 = (le‘𝐾)
3 latmle.m . 2 = (meet‘𝐾)
4 latpos 17651 . . 3 (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
54adantr 484 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐾 ∈ Poset)
6 simpr2 1192 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌𝐵)
7 simpr3 1193 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍𝐵)
8 simpr1 1191 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋𝐵)
9 eqid 2822 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
10 simpl 486 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
111, 9, 3, 10, 6, 7latcl2 17649 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (⟨𝑌, 𝑍⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑌, 𝑍⟩ ∈ dom ))
1211simprd 499 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ⟨𝑌, 𝑍⟩ ∈ dom )
131, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12meetle 17629 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑋 𝑍) ↔ 𝑋 (𝑌 𝑍)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4545   class class class wbr 5042  dom cdm 5532  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  lecple 16563  Posetcpo 17541  joincjn 17545  meetcmee 17546  Latclat 17646 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-poset 17547  df-glb 17576  df-meet 17578  df-lat 17647 This theorem is referenced by:  latleeqm1  17680  latmlem1  17682  latmidm  17687  latledi  17690  mod1ile  17706  oldmm1  36471  olm01  36490  cmtbr4N  36509  atnle  36571  atlatmstc  36573  hlrelat2  36657  cvrval5  36669  cvrexchlem  36673  2atjm  36699  atbtwn  36700  ps-2b  36736  2atm  36781  2llnm4  36824  2llnmeqat  36825  dalemcea  36914  dalem21  36948  dalem54  36980  dalem55  36981  dalem57  36983  2atm2atN  37039  2llnma1b  37040  cdlemblem  37047  dalawlem2  37126  dalawlem3  37127  dalawlem6  37130  dalawlem11  37135  dalawlem12  37136  lhpocnle  37270  lhpmcvr4N  37280  lhpat3  37300  4atexlemcnd  37326  lautm  37348  trlval3  37441  cdlemc5  37449  cdleme3  37491  cdleme7ga  37502  cdleme7  37503  cdleme11k  37522  cdleme16e  37536  cdleme16f  37537  cdlemednpq  37553  cdleme22aa  37593  cdleme22b  37595  cdleme22cN  37596  cdleme23c  37605  cdlemeg46req  37783  cdlemf2  37816  cdlemg10c  37893  cdlemg12f  37902  cdlemg17dALTN  37918  cdlemg19a  37937  cdlemg27b  37950  cdlemi  38074  cdlemk15  38109  cdlemk50  38206  dia2dimlem1  38318  dihopelvalcpre  38502  dihord5b  38513  dihmeetlem1N  38544  dihglblem5apreN  38545  dihglblem2N  38548  dihmeetlem3N  38559
 Copyright terms: Public domain W3C validator