MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjcom Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem latjcom 18399
Description: The join of a lattice commutes. (chjcom 30754 analog.) (Contributed by NM, 16-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latjcom.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latjcom.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latjcom ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) = (π‘Œ ∨ 𝑋))
Proof of Theorem latjcom
StepHypRef Expression
1 opelxpi 5713 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
213adant1 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
3 latjcom.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
4 latjcom.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
5 eqid 2732 . . . . . . 7 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
63, 4, 5islat 18385 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ dom (meetβ€˜πΎ) = (𝐡 Γ— 𝐡))))
7 simprl 769 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ dom (meetβ€˜πΎ) = (𝐡 Γ— 𝐡))) β†’ dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡))
86, 7sylbi 216 . . . . 5 (𝐾 ∈ Lat β†’ dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡))
983ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡))
102, 9eleqtrrd 2836 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∨ )
11 opelxpi 5713 . . . . . 6 ((π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
1211ancoms 459 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
13123adant1 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
1413, 9eleqtrrd 2836 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ dom ∨ )
1510, 14jca 512 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∨ ∧ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ dom ∨ ))
16 latpos 18390 . . 3 (𝐾 ∈ Lat β†’ 𝐾 ∈ Poset)
173, 4joincom 18354 . . 3 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∨ ∧ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ dom ∨ )) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) = (π‘Œ ∨ 𝑋))
1816, 17syl3anl1 1412 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∨ ∧ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ dom ∨ )) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) = (π‘Œ ∨ 𝑋))
1915, 18mpdan 685 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) = (π‘Œ ∨ 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βŸ¨cop 4634   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  Posetcpo 18259  joincjn 18263  meetcmee 18264  Latclat 18383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-lub 18298  df-join 18300  df-lat 18384
This theorem is referenced by:  latleeqj2  18404  latjlej2  18406  latnle  18425  latmlej12  18431  latj12  18436  latj32  18437  latj13  18438  latj31  18439  latj4rot  18442  mod2ile  18446  latdisdlem  18448  olj02  38091  omllaw4  38111  cmt2N  38115  cmtbr3N  38119  cvlexch2  38194  cvlexchb2  38196  cvlatexchb2  38200  cvlatexch2  38202  cvlatexch3  38203  cvlatcvr2  38207  cvlsupr2  38208  cvlsupr7  38213  cvlsupr8  38214  hlatjcom  38233  hlrelat5N  38267  cvrval5  38281  cvrexch  38286  cvratlem  38287  cvrat  38288  2atlt  38305  cvrat3  38308  cvrat4  38309  cvrat42  38310  4noncolr3  38319  1cvrat  38342  3atlem1  38349  4atlem4d  38468  4atlem12  38478  paddcom  38679  paddasslem2  38687  pmapjat2  38720  atmod2i1  38727  atmod2i2  38728  llnmod2i2  38729  atmod4i1  38732  atmod4i2  38733  dalawlem4  38740  dalawlem9  38745  dalawlem12  38748  lhpjat2  38887  lhple  38908  trljat1  39032  trljat2  39033  cdlemc1  39057  cdlemc6  39062  cdlemd1  39064  cdleme5  39106  cdleme9  39119  cdleme10  39120  cdleme19e  39173  trlcolem  39592  trljco2  39607  cdlemk7  39714  cdlemk7u  39736  cdlemkid1  39788  dih1  40152  dihjatc2N  40178
  Copyright terms: Public domain W3C validator