MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latjcom 17339
Description: The join of a lattice commutes. (chjcom 28842 analog.) (Contributed by NM, 16-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latjcom.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latjcom.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latjcom ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))

Proof of Theorem latjcom
StepHypRef Expression
1 opelxpi 5316 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
213adant1 1160 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
3 latjcom.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
4 latjcom.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
5 eqid 2765 . . . . . . 7 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
63, 4, 5islat 17327 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom = (𝐵 × 𝐵) ∧ dom (meet‘𝐾) = (𝐵 × 𝐵))))
7 simprl 787 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (dom = (𝐵 × 𝐵) ∧ dom (meet‘𝐾) = (𝐵 × 𝐵))) → dom = (𝐵 × 𝐵))
86, 7sylbi 208 . . . . 5 (𝐾 ∈ Lat → dom = (𝐵 × 𝐵))
983ad2ant1 1163 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → dom = (𝐵 × 𝐵))
102, 9eleqtrrd 2847 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom )
11 opelxpi 5316 . . . . . 6 ((𝑌𝐵𝑋𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
1211ancoms 450 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
13123adant1 1160 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
1413, 9eleqtrrd 2847 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom )
1510, 14jca 507 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom ))
16 latpos 17330 . . 3 (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
173, 4joincom 17310 . . 3 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom )) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
1816, 17syl3anl1 1533 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom )) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
1915, 18mpdan 678 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  cop 4342   × cxp 5277  dom cdm 5279  cfv 6070  (class class class)co 6846  Basecbs 16144  Posetcpo 17220  joincjn 17224  meetcmee 17225  Latclat 17325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-lub 17254  df-join 17256  df-lat 17326
This theorem is referenced by:  latleeqj2  17344  latjlej2  17346  latnle  17365  latmlej12  17371  latj12  17376  latj32  17377  latj13  17378  latj31  17379  latj4rot  17382  mod2ile  17386  latdisdlem  17469  olj02  35203  omllaw4  35223  cmt2N  35227  cmtbr3N  35231  cvlexch2  35306  cvlexchb2  35308  cvlatexchb2  35312  cvlatexch2  35314  cvlatexch3  35315  cvlatcvr2  35319  cvlsupr2  35320  cvlsupr7  35325  cvlsupr8  35326  hlatjcom  35345  hlrelat5N  35378  cvrval5  35392  cvrexch  35397  cvratlem  35398  cvrat  35399  2atlt  35416  cvrat3  35419  cvrat4  35420  cvrat42  35421  4noncolr3  35430  1cvrat  35453  3atlem1  35460  4atlem4d  35579  4atlem12  35589  paddcom  35790  paddasslem2  35798  pmapjat2  35831  atmod2i1  35838  atmod2i2  35839  llnmod2i2  35840  atmod4i1  35843  atmod4i2  35844  dalawlem4  35851  dalawlem9  35856  dalawlem12  35859  lhpjat2  35998  lhple  36019  trljat1  36143  trljat2  36144  cdlemc1  36168  cdlemc6  36173  cdlemd1  36175  cdleme5  36217  cdleme9  36230  cdleme10  36231  cdleme19e  36284  trlcolem  36703  trljco2  36718  cdlemk7  36825  cdlemk7u  36847  cdlemkid1  36899  dih1  37263  dihjatc2N  37289
  Copyright terms: Public domain W3C validator