MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjcom Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem latjcom 18400
Description: The join of a lattice commutes. (chjcom 30759 analog.) (Contributed by NM, 16-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latjcom.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latjcom.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latjcom ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) = (π‘Œ ∨ 𝑋))
Proof of Theorem latjcom
StepHypRef Expression
1 opelxpi 5714 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
213adant1 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
3 latjcom.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
4 latjcom.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
5 eqid 2733 . . . . . . 7 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
63, 4, 5islat 18386 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ dom (meetβ€˜πΎ) = (𝐡 Γ— 𝐡))))
7 simprl 770 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ dom (meetβ€˜πΎ) = (𝐡 Γ— 𝐡))) β†’ dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡))
86, 7sylbi 216 . . . . 5 (𝐾 ∈ Lat β†’ dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡))
983ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡))
102, 9eleqtrrd 2837 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∨ )
11 opelxpi 5714 . . . . . 6 ((π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
1211ancoms 460 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
13123adant1 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
1413, 9eleqtrrd 2837 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ dom ∨ )
1510, 14jca 513 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∨ ∧ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ dom ∨ ))
16 latpos 18391 . . 3 (𝐾 ∈ Lat β†’ 𝐾 ∈ Poset)
173, 4joincom 18355 . . 3 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∨ ∧ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ dom ∨ )) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) = (π‘Œ ∨ 𝑋))
1816, 17syl3anl1 1413 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∨ ∧ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ dom ∨ )) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) = (π‘Œ ∨ 𝑋))
1915, 18mpdan 686 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) = (π‘Œ ∨ 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βŸ¨cop 4635   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  Posetcpo 18260  joincjn 18264  meetcmee 18265  Latclat 18384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-lub 18299  df-join 18301  df-lat 18385
This theorem is referenced by:  latleeqj2  18405  latjlej2  18407  latnle  18426  latmlej12  18432  latj12  18437  latj32  18438  latj13  18439  latj31  18440  latj4rot  18443  mod2ile  18447  latdisdlem  18449  olj02  38096  omllaw4  38116  cmt2N  38120  cmtbr3N  38124  cvlexch2  38199  cvlexchb2  38201  cvlatexchb2  38205  cvlatexch2  38207  cvlatexch3  38208  cvlatcvr2  38212  cvlsupr2  38213  cvlsupr7  38218  cvlsupr8  38219  hlatjcom  38238  hlrelat5N  38272  cvrval5  38286  cvrexch  38291  cvratlem  38292  cvrat  38293  2atlt  38310  cvrat3  38313  cvrat4  38314  cvrat42  38315  4noncolr3  38324  1cvrat  38347  3atlem1  38354  4atlem4d  38473  4atlem12  38483  paddcom  38684  paddasslem2  38692  pmapjat2  38725  atmod2i1  38732  atmod2i2  38733  llnmod2i2  38734  atmod4i1  38737  atmod4i2  38738  dalawlem4  38745  dalawlem9  38750  dalawlem12  38753  lhpjat2  38892  lhple  38913  trljat1  39037  trljat2  39038  cdlemc1  39062  cdlemc6  39067  cdlemd1  39069  cdleme5  39111  cdleme9  39124  cdleme10  39125  cdleme19e  39178  trlcolem  39597  trljco2  39612  cdlemk7  39719  cdlemk7u  39741  cdlemkid1  39793  dih1  40157  dihjatc2N  40183
  Copyright terms: Public domain W3C validator