Theorem latjcom 18382

Description: The join of a lattice commutes. (chjcom 31598 analog.) (Contributed by NM, 16-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latjcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latjcom.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latjcom	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Proof of Theorem latjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 5669	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
2	1	3adant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
3		latjcom.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		latjcom.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
6	3, 4, 5	islat 18368	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom ∨ = (𝐵 × 𝐵) ∧ dom (meet‘𝐾) = (𝐵 × 𝐵))))
7		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (dom ∨ = (𝐵 × 𝐵) ∧ dom (meet‘𝐾) = (𝐵 × 𝐵))) → dom ∨ = (𝐵 × 𝐵))
8	6, 7	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → dom ∨ = (𝐵 × 𝐵))
9	8	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → dom ∨ = (𝐵 × 𝐵))
10	2, 9	eleqtrrd 2840	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
11		opelxpi 5669	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
12	11	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
13	12	3adant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
14	13, 9	eleqtrrd 2840	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom ∨ )
15	10, 14	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom ∨ ))
16		latpos 18373	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
17	3, 4	joincom 18335	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom ∨ )) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
18	16, 17	syl3anl1 1415	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom ∨ )) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
19	15, 18	mpdan 688	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4588   × cxp 5630  dom cdm 5632  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  Posetcpo 18242  joincjn 18246  meetcmee 18247  Latclat 18366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-lub 18279  df-join 18281  df-lat 18367

This theorem is referenced by:  latleeqj2  18387  latjlej2  18389  latnle  18408  latmlej12  18414  latj12  18419  latj32  18420  latj13  18421  latj31  18422  latj4rot  18425  mod2ile  18429  latdisdlem  18431  olj02  39606  omllaw4  39626  cmt2N  39630  cmtbr3N  39634  cvlexch2  39709  cvlexchb2  39711  cvlatexchb2  39715  cvlatexch2  39717  cvlatexch3  39718  cvlatcvr2  39722  cvlsupr2  39723  cvlsupr7  39728  cvlsupr8  39729  hlatjcom  39748  hlrelat5N  39781  cvrval5  39795  cvrexch  39800  cvratlem  39801  cvrat  39802  2atlt  39819  cvrat3  39822  cvrat4  39823  cvrat42  39824  4noncolr3  39833  1cvrat  39856  3atlem1  39863  4atlem4d  39982  4atlem12  39992  paddcom  40193  paddasslem2  40201  pmapjat2  40234  atmod2i1  40241  atmod2i2  40242  llnmod2i2  40243  atmod4i1  40246  atmod4i2  40247  dalawlem4  40254  dalawlem9  40259  dalawlem12  40262  lhpjat2  40401  lhple  40422  trljat1  40546  trljat2  40547  cdlemc1  40571  cdlemc6  40576  cdlemd1  40578  cdleme5  40620  cdleme9  40633  cdleme10  40634  cdleme19e  40687  trlcolem  41106  trljco2  41121  cdlemk7  41228  cdlemk7u  41250  cdlemkid1  41302  dih1  41666  dihjatc2N  41692