MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latjcom 17657
Description: The join of a lattice commutes. (chjcom 29210 analog.) (Contributed by NM, 16-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latjcom.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latjcom.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latjcom ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))

Proof of Theorem latjcom
StepHypRef Expression
1 opelxpi 5585 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
213adant1 1122 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
3 latjcom.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
4 latjcom.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
5 eqid 2818 . . . . . . 7 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
63, 4, 5islat 17645 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom = (𝐵 × 𝐵) ∧ dom (meet‘𝐾) = (𝐵 × 𝐵))))
7 simprl 767 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (dom = (𝐵 × 𝐵) ∧ dom (meet‘𝐾) = (𝐵 × 𝐵))) → dom = (𝐵 × 𝐵))
86, 7sylbi 218 . . . . 5 (𝐾 ∈ Lat → dom = (𝐵 × 𝐵))
983ad2ant1 1125 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → dom = (𝐵 × 𝐵))
102, 9eleqtrrd 2913 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom )
11 opelxpi 5585 . . . . . 6 ((𝑌𝐵𝑋𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
1211ancoms 459 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
13123adant1 1122 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
1413, 9eleqtrrd 2913 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom )
1510, 14jca 512 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom ))
16 latpos 17648 . . 3 (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
173, 4joincom 17628 . . 3 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom )) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
1816, 17syl3anl1 1404 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom )) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
1915, 18mpdan 683 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  cop 4563   × cxp 5546  dom cdm 5548  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  Posetcpo 17538  joincjn 17542  meetcmee 17543  Latclat 17643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-lub 17572  df-join 17574  df-lat 17644
This theorem is referenced by:  latleeqj2  17662  latjlej2  17664  latnle  17683  latmlej12  17689  latj12  17694  latj32  17695  latj13  17696  latj31  17697  latj4rot  17700  mod2ile  17704  latdisdlem  17787  olj02  36242  omllaw4  36262  cmt2N  36266  cmtbr3N  36270  cvlexch2  36345  cvlexchb2  36347  cvlatexchb2  36351  cvlatexch2  36353  cvlatexch3  36354  cvlatcvr2  36358  cvlsupr2  36359  cvlsupr7  36364  cvlsupr8  36365  hlatjcom  36384  hlrelat5N  36417  cvrval5  36431  cvrexch  36436  cvratlem  36437  cvrat  36438  2atlt  36455  cvrat3  36458  cvrat4  36459  cvrat42  36460  4noncolr3  36469  1cvrat  36492  3atlem1  36499  4atlem4d  36618  4atlem12  36628  paddcom  36829  paddasslem2  36837  pmapjat2  36870  atmod2i1  36877  atmod2i2  36878  llnmod2i2  36879  atmod4i1  36882  atmod4i2  36883  dalawlem4  36890  dalawlem9  36895  dalawlem12  36898  lhpjat2  37037  lhple  37058  trljat1  37182  trljat2  37183  cdlemc1  37207  cdlemc6  37212  cdlemd1  37214  cdleme5  37256  cdleme9  37269  cdleme10  37270  cdleme19e  37323  trlcolem  37742  trljco2  37757  cdlemk7  37864  cdlemk7u  37886  cdlemkid1  37938  dih1  38302  dihjatc2N  38328
  Copyright terms: Public domain W3C validator