MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjcom Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem latjcom 18404
Description: The join of a lattice commutes. (chjcom 31026 analog.) (Contributed by NM, 16-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latjcom.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latjcom.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latjcom ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) = (π‘Œ ∨ 𝑋))
Proof of Theorem latjcom
StepHypRef Expression
1 opelxpi 5712 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
213adant1 1128 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
3 latjcom.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
4 latjcom.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
5 eqid 2730 . . . . . . 7 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
63, 4, 5islat 18390 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ dom (meetβ€˜πΎ) = (𝐡 Γ— 𝐡))))
7 simprl 767 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ dom (meetβ€˜πΎ) = (𝐡 Γ— 𝐡))) β†’ dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡))
86, 7sylbi 216 . . . . 5 (𝐾 ∈ Lat β†’ dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡))
983ad2ant1 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡))
102, 9eleqtrrd 2834 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∨ )
11 opelxpi 5712 . . . . . 6 ((π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
1211ancoms 457 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
13123adant1 1128 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
1413, 9eleqtrrd 2834 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ dom ∨ )
1510, 14jca 510 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∨ ∧ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ dom ∨ ))
16 latpos 18395 . . 3 (𝐾 ∈ Lat β†’ 𝐾 ∈ Poset)
173, 4joincom 18359 . . 3 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∨ ∧ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ dom ∨ )) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) = (π‘Œ ∨ 𝑋))
1816, 17syl3anl1 1410 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∨ ∧ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ dom ∨ )) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) = (π‘Œ ∨ 𝑋))
1915, 18mpdan 683 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) = (π‘Œ ∨ 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βŸ¨cop 4633   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  Posetcpo 18264  joincjn 18268  meetcmee 18269  Latclat 18388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-lub 18303  df-join 18305  df-lat 18389
This theorem is referenced by:  latleeqj2  18409  latjlej2  18411  latnle  18430  latmlej12  18436  latj12  18441  latj32  18442  latj13  18443  latj31  18444  latj4rot  18447  mod2ile  18451  latdisdlem  18453  olj02  38399  omllaw4  38419  cmt2N  38423  cmtbr3N  38427  cvlexch2  38502  cvlexchb2  38504  cvlatexchb2  38508  cvlatexch2  38510  cvlatexch3  38511  cvlatcvr2  38515  cvlsupr2  38516  cvlsupr7  38521  cvlsupr8  38522  hlatjcom  38541  hlrelat5N  38575  cvrval5  38589  cvrexch  38594  cvratlem  38595  cvrat  38596  2atlt  38613  cvrat3  38616  cvrat4  38617  cvrat42  38618  4noncolr3  38627  1cvrat  38650  3atlem1  38657  4atlem4d  38776  4atlem12  38786  paddcom  38987  paddasslem2  38995  pmapjat2  39028  atmod2i1  39035  atmod2i2  39036  llnmod2i2  39037  atmod4i1  39040  atmod4i2  39041  dalawlem4  39048  dalawlem9  39053  dalawlem12  39056  lhpjat2  39195  lhple  39216  trljat1  39340  trljat2  39341  cdlemc1  39365  cdlemc6  39370  cdlemd1  39372  cdleme5  39414  cdleme9  39427  cdleme10  39428  cdleme19e  39481  trlcolem  39900  trljco2  39915  cdlemk7  40022  cdlemk7u  40044  cdlemkid1  40096  dih1  40460  dihjatc2N  40486
  Copyright terms: Public domain W3C validator