Theorem latjcom 18527

Description: The join of a lattice commutes. (chjcom 31931 analog.) (Contributed by NM, 16-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latjcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latjcom.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latjcom	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

Proof of Theorem latjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 5700	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
2	1	3adant1 1148	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
3		latjcom.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		latjcom.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
6	3, 4, 5	islat 18513	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom ∨ = (𝐵 × 𝐵) ∧ dom (meet‘𝐾) = (𝐵 × 𝐵))))
7		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (dom ∨ = (𝐵 × 𝐵) ∧ dom (meet‘𝐾) = (𝐵 × 𝐵))) → dom ∨ = (𝐵 × 𝐵))
8	6, 7	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → dom ∨ = (𝐵 × 𝐵))
9	8	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → dom ∨ = (𝐵 × 𝐵))
10	2, 9	eleqtrrd 2868	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
11		opelxpi 5700	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
12	11	ancoms 464	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
13	12	3adant1 1148	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
14	13, 9	eleqtrrd 2868	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom ∨ )
15	10, 14	jca 521	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom ∨ ))
16		latpos 18518	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
17	3, 4	joincom 18480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom ∨ )) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
18	16, 17	syl3anl1 1439	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom ∨ )) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))
19	15, 18	mpdan 700	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) = (𝑌 ∨ 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4597   × cxp 5661  dom cdm 5663  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17293  Posetcpo 18387  joincjn 18391  meetcmee 18392  Latclat 18511

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-lub 18424  df-join 18426  df-lat 18512

This theorem is used by:  latleeqj2  18532  latjlej2  18534  latnle  18553  latmlej12  18559  latj12  18564  latj32  18565  latj13  18566  latj31  18567  latj4rot  18570  mod2ile  18574  latdisdlem  18576  olj02  40060  omllaw4  40080  cmt2N  40084  cmtbr3N  40088  cvlexch2  40163  cvlexchb2  40165  cvlatexchb2  40169  cvlatexch2  40171  cvlatexch3  40172  cvlatcvr2  40176  cvlsupr2  40177  cvlsupr7  40182  cvlsupr8  40183  hlatjcom  40202  hlrelat5N  40235  cvrval5  40249  cvrexch  40254  cvratlem  40255  cvrat  40256  2atlt  40273  cvrat3  40276  cvrat4  40277  cvrat42  40278  4noncolr3  40287  1cvrat  40310  3atlem1  40317  4atlem4d  40436  4atlem12  40446  paddcom  40647  paddasslem2  40655  pmapjat2  40688  atmod2i1  40695  atmod2i2  40696  llnmod2i2  40697  atmod4i1  40700  atmod4i2  40701  dalawlem4  40708  dalawlem9  40713  dalawlem12  40716  lhpjat2  40855  lhple  40876  trljat1  41000  trljat2  41001  cdlemc1  41025  cdlemc6  41030  cdlemd1  41032  cdleme5  41074  cdleme9  41087  cdleme10  41088  cdleme19e  41141  trlcolem  41560  trljco2  41575  cdlemk7  41682  cdlemk7u  41704  cdlemkid1  41756  dih1  42120  dihjatc2N  42146