MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latjcom 18341
Description: The join of a lattice commutes. (chjcom 30490 analog.) (Contributed by NM, 16-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latjcom.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latjcom.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latjcom ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) = (π‘Œ ∨ 𝑋))

Proof of Theorem latjcom
StepHypRef Expression
1 opelxpi 5671 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
213adant1 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
3 latjcom.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
4 latjcom.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
5 eqid 2733 . . . . . . 7 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
63, 4, 5islat 18327 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ dom (meetβ€˜πΎ) = (𝐡 Γ— 𝐡))))
7 simprl 770 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ dom (meetβ€˜πΎ) = (𝐡 Γ— 𝐡))) β†’ dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡))
86, 7sylbi 216 . . . . 5 (𝐾 ∈ Lat β†’ dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡))
983ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ dom ∨ = (𝐡 Γ— 𝐡))
102, 9eleqtrrd 2837 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∨ )
11 opelxpi 5671 . . . . . 6 ((π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
1211ancoms 460 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
13123adant1 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
1413, 9eleqtrrd 2837 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ dom ∨ )
1510, 14jca 513 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∨ ∧ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ dom ∨ ))
16 latpos 18332 . . 3 (𝐾 ∈ Lat β†’ 𝐾 ∈ Poset)
173, 4joincom 18296 . . 3 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∨ ∧ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ dom ∨ )) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) = (π‘Œ ∨ 𝑋))
1816, 17syl3anl1 1413 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∨ ∧ βŸ¨π‘Œ, π‘‹βŸ© ∈ dom ∨ )) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) = (π‘Œ ∨ 𝑋))
1915, 18mpdan 686 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) = (π‘Œ ∨ 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βŸ¨cop 4593   Γ— cxp 5632  dom cdm 5634  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  Posetcpo 18201  joincjn 18205  meetcmee 18206  Latclat 18325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-lub 18240  df-join 18242  df-lat 18326
This theorem is referenced by:  latleeqj2  18346  latjlej2  18348  latnle  18367  latmlej12  18373  latj12  18378  latj32  18379  latj13  18380  latj31  18381  latj4rot  18384  mod2ile  18388  latdisdlem  18390  olj02  37734  omllaw4  37754  cmt2N  37758  cmtbr3N  37762  cvlexch2  37837  cvlexchb2  37839  cvlatexchb2  37843  cvlatexch2  37845  cvlatexch3  37846  cvlatcvr2  37850  cvlsupr2  37851  cvlsupr7  37856  cvlsupr8  37857  hlatjcom  37876  hlrelat5N  37910  cvrval5  37924  cvrexch  37929  cvratlem  37930  cvrat  37931  2atlt  37948  cvrat3  37951  cvrat4  37952  cvrat42  37953  4noncolr3  37962  1cvrat  37985  3atlem1  37992  4atlem4d  38111  4atlem12  38121  paddcom  38322  paddasslem2  38330  pmapjat2  38363  atmod2i1  38370  atmod2i2  38371  llnmod2i2  38372  atmod4i1  38375  atmod4i2  38376  dalawlem4  38383  dalawlem9  38388  dalawlem12  38391  lhpjat2  38530  lhple  38551  trljat1  38675  trljat2  38676  cdlemc1  38700  cdlemc6  38705  cdlemd1  38707  cdleme5  38749  cdleme9  38762  cdleme10  38763  cdleme19e  38816  trlcolem  39235  trljco2  39250  cdlemk7  39357  cdlemk7u  39379  cdlemkid1  39431  dih1  39795  dihjatc2N  39821
  Copyright terms: Public domain W3C validator