Theorem latleeqm1 18667

Description: "Less than or equal to" in terms of meet. (Contributed by NM, 7-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latmle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latleeqm1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))

Proof of Theorem latleeqm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmle.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latmle.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3	1, 2	latref 18641	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ 𝑋)
4	3	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ 𝑋)
5	4	biantrurd 542	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌)))
6		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
7		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		latmle.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
10	1, 2, 9	latlem12 18666	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ↔ 𝑋 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌)))
11	6, 7, 7, 8, 10	syl13anc 1400	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ↔ 𝑋 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌)))
12	5, 11	bitrd 282	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌)))
13	1, 2, 9	latmle1 18664	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)
14	13	biantrurd 542	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))))
15	12, 14	bitrd 282	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))))
16		latpos 18638	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
17	16	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
18	1, 9	latmcl 18640	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
19	1, 2	posasymb 18519	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌)) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
20	17, 18, 7, 19	syl3anc 1399	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌)) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
21	15, 20	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Basecbs 17413  lecple 17461  Posetcpo 18507  meetcmee 18512  Latclat 18631

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-proset 18494  df-poset 18513  df-lub 18544  df-glb 18545  df-join 18546  df-meet 18547  df-lat 18632

This theorem is used by:  latleeqm2  18668  latnlemlt  18672  latabs2  18676  atnle  40565  2llnmat  40772  llnmlplnN  40787  dalem25  40946  2lnat  41032  lhpm0atN  41277  lhpmatb  41279  cdleme1  41475  cdleme5  41488  cdleme20d  41560  cdleme22e  41592  cdleme22eALTN  41593  cdleme23b  41598  cdleme32e  41693  doca2N  42374  djajN  42385  dihglblem5aN  42540  dihmeetbclemN  42552