MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latleeqm1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem latleeqm1 18419
Description: "Less than or equal to" in terms of meet. (Contributed by NM, 7-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latmle.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
latmle.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latleeqm1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
Proof of Theorem latleeqm1
StepHypRef Expression
1 latmle.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 latmle.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
31, 2latref 18393 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ 𝑋)
433adant3 1132 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ 𝑋)
54biantrurd 533 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)))
6 simp1 1136 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
7 simp2 1137 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
8 simp3 1138 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
9 latmle.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
101, 2, 9latlem12 18418 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ↔ 𝑋 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
116, 7, 7, 8, 10syl13anc 1372 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ↔ 𝑋 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
125, 11bitrd 278 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ 𝑋 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
131, 2, 9latmle1 18416 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
1413biantrurd 533 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))))
1512, 14bitrd 278 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))))
16 latpos 18390 . . . 4 (𝐾 ∈ Lat β†’ 𝐾 ∈ Poset)
17163ad2ant1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
181, 9latmcl 18392 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
191, 2posasymb 18271 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
2017, 18, 7, 19syl3anc 1371 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
2115, 20bitrd 278 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  lecple 17203  Posetcpo 18259  meetcmee 18264  Latclat 18383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-proset 18247  df-poset 18265  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-lat 18384
This theorem is referenced by:  latleeqm2  18420  latnlemlt  18424  latabs2  18428  atnle  38182  2llnmat  38390  llnmlplnN  38405  dalem25  38564  2lnat  38650  lhpm0atN  38895  lhpmatb  38897  cdleme1  39093  cdleme5  39106  cdleme20d  39178  cdleme22e  39210  cdleme22eALTN  39211  cdleme23b  39216  cdleme32e  39311  doca2N  39992  djajN  40003  dihglblem5aN  40158  dihmeetbclemN  40170
  Copyright terms: Public domain W3C validator