MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latleeqm1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem latleeqm1 18432
Description: "Less than or equal to" in terms of meet. (Contributed by NM, 7-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latmle.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
latmle.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latleeqm1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
Proof of Theorem latleeqm1
StepHypRef Expression
1 latmle.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 latmle.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
31, 2latref 18406 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ 𝑋)
433adant3 1129 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ 𝑋)
54biantrurd 532 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)))
6 simp1 1133 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
7 simp2 1134 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
8 simp3 1135 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
9 latmle.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
101, 2, 9latlem12 18431 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ↔ 𝑋 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
116, 7, 7, 8, 10syl13anc 1369 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ↔ 𝑋 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
125, 11bitrd 279 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ 𝑋 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
131, 2, 9latmle1 18429 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
1413biantrurd 532 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))))
1512, 14bitrd 279 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))))
16 latpos 18403 . . . 4 (𝐾 ∈ Lat β†’ 𝐾 ∈ Poset)
17163ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
181, 9latmcl 18405 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
191, 2posasymb 18284 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
2017, 18, 7, 19syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
2115, 20bitrd 279 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  Posetcpo 18272  meetcmee 18277  Latclat 18396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18260  df-poset 18278  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-lat 18397
This theorem is referenced by:  latleeqm2  18433  latnlemlt  18437  latabs2  18441  atnle  38700  2llnmat  38908  llnmlplnN  38923  dalem25  39082  2lnat  39168  lhpm0atN  39413  lhpmatb  39415  cdleme1  39611  cdleme5  39624  cdleme20d  39696  cdleme22e  39728  cdleme22eALTN  39729  cdleme23b  39734  cdleme32e  39829  doca2N  40510  djajN  40521  dihglblem5aN  40676  dihmeetbclemN  40688
  Copyright terms: Public domain W3C validator