MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latleeqm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latleeqm1 17679
Description: "Less than or equal to" in terms of meet. (Contributed by NM, 7-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l = (le‘𝐾)
latmle.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latleeqm1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))

Proof of Theorem latleeqm1
StepHypRef Expression
1 latmle.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latmle.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
31, 2latref 17653 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋 𝑋)
433adant3 1126 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋 𝑋)
54biantrurd 533 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋 𝑋𝑋 𝑌)))
6 simp1 1130 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
7 simp2 1131 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
8 simp3 1132 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
9 latmle.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
101, 2, 9latlem12 17678 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 𝑋𝑋 𝑌) ↔ 𝑋 (𝑋 𝑌)))
116, 7, 7, 8, 10syl13anc 1366 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑋𝑋 𝑌) ↔ 𝑋 (𝑋 𝑌)))
125, 11bitrd 280 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌𝑋 (𝑋 𝑌)))
131, 2, 9latmle1 17676 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) 𝑋)
1413biantrurd 533 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 (𝑋 𝑌) ↔ ((𝑋 𝑌) 𝑋𝑋 (𝑋 𝑌))))
1512, 14bitrd 280 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ ((𝑋 𝑌) 𝑋𝑋 (𝑋 𝑌))))
16 latpos 17650 . . . 4 (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
17163ad2ant1 1127 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
181, 9latmcl 17652 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
191, 2posasymb 17552 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → (((𝑋 𝑌) 𝑋𝑋 (𝑋 𝑌)) ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
2017, 18, 7, 19syl3anc 1365 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((𝑋 𝑌) 𝑋𝑋 (𝑋 𝑌)) ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
2115, 20bitrd 280 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107   class class class wbr 5063  cfv 6352  (class class class)co 7148  Basecbs 16473  lecple 16562  Posetcpo 17540  meetcmee 17545  Latclat 17645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-proset 17528  df-poset 17546  df-lub 17574  df-glb 17575  df-join 17576  df-meet 17577  df-lat 17646
This theorem is referenced by:  latleeqm2  17680  latnlemlt  17684  latabs2  17688  atnle  36323  2llnmat  36530  llnmlplnN  36545  dalem25  36704  2lnat  36790  lhpm0atN  37035  lhpmatb  37037  cdleme1  37233  cdleme5  37246  cdleme20d  37318  cdleme22e  37350  cdleme22eALTN  37351  cdleme23b  37356  cdleme32e  37451  doca2N  38132  djajN  38143  dihglblem5aN  38298  dihmeetbclemN  38310
  Copyright terms: Public domain W3C validator