MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latleeqm1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem latleeqm1 18458
Description: "Less than or equal to" in terms of meet. (Contributed by NM, 7-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latmle.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
latmle.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latleeqm1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
Proof of Theorem latleeqm1
StepHypRef Expression
1 latmle.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 latmle.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
31, 2latref 18432 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ 𝑋)
433adant3 1129 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ 𝑋)
54biantrurd 531 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)))
6 simp1 1133 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
7 simp2 1134 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
8 simp3 1135 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
9 latmle.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
101, 2, 9latlem12 18457 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ↔ 𝑋 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
116, 7, 7, 8, 10syl13anc 1369 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ↔ 𝑋 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
125, 11bitrd 278 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ 𝑋 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
131, 2, 9latmle1 18455 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
1413biantrurd 531 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ) ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))))
1512, 14bitrd 278 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))))
16 latpos 18429 . . . 4 (𝐾 ∈ Lat β†’ 𝐾 ∈ Poset)
17163ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
181, 9latmcl 18431 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
191, 2posasymb 18310 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
2017, 18, 7, 19syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ)) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
2115, 20bitrd 278 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  lecple 17239  Posetcpo 18298  meetcmee 18303  Latclat 18422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-proset 18286  df-poset 18304  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-lat 18423
This theorem is referenced by:  latleeqm2  18459  latnlemlt  18463  latabs2  18467  atnle  38845  2llnmat  39053  llnmlplnN  39068  dalem25  39227  2lnat  39313  lhpm0atN  39558  lhpmatb  39560  cdleme1  39756  cdleme5  39769  cdleme20d  39841  cdleme22e  39873  cdleme22eALTN  39874  cdleme23b  39879  cdleme32e  39974  doca2N  40655  djajN  40666  dihglblem5aN  40821  dihmeetbclemN  40833
  Copyright terms: Public domain W3C validator