Theorem latleeqm1 18526

Description: "Less than or equal to" in terms of meet. (Contributed by NM, 7-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latmle.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latleeqm1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))

Proof of Theorem latleeqm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmle.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latmle.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3	1, 2	latref 18500	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ 𝑋)
4	3	3adant3 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ 𝑋)
5	4	biantrurd 541	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌)))
6		simp1 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
7		simp2 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		simp3 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		latmle.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
10	1, 2, 9	latlem12 18525	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ↔ 𝑋 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌)))
11	6, 7, 7, 8, 10	syl13anc 1397	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ↔ 𝑋 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌)))
12	5, 11	bitrd 282	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ 𝑋 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌)))
13	1, 2, 9	latmle1 18523	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)
14	13	biantrurd 541	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌) ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))))
15	12, 14	bitrd 282	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))))
16		latpos 18497	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
17	16	3ad2ant1 1149	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
18	1, 9	latmcl 18499	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
19	1, 2	posasymb 18378	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌)) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
20	17, 18, 7, 19	syl3anc 1396	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌)) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
21	15, 20	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2150   class class class wbr 5114  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  Basecbs 17272  lecple 17320  Posetcpo 18366  meetcmee 18371  Latclat 18490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5560  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-proset 18353  df-poset 18372  df-lub 18403  df-glb 18404  df-join 18405  df-meet 18406  df-lat 18491

This theorem is referenced by:  latleeqm2  18527  latnlemlt  18531  latabs2  18535  atnle  40041  2llnmat  40248  llnmlplnN  40263  dalem25  40422  2lnat  40508  lhpm0atN  40753  lhpmatb  40755  cdleme1  40951  cdleme5  40964  cdleme20d  41036  cdleme22e  41068  cdleme22eALTN  41069  cdleme23b  41074  cdleme32e  41169  doca2N  41850  djajN  41861  dihglblem5aN  42016  dihmeetbclemN  42028