Theorem lenlti 11257

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by NM, 24-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
lenlti	⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴)

Proof of Theorem lenlti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		lt.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		lenlt 11215	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	mp2an 698	1 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 207   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ℝcr 11028   < clt 11170   ≤ cle 11171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-br 5073  df-opab 5135  df-xp 5624  df-cnv 5626  df-xr 11174  df-le 11176

This theorem is referenced by:  ltnlei  11258  hashgt12el  14375  hashgt12el2  14376  georeclim  15828  geoisumr  15834  divalglem6  16358  umgrislfupgrlem  29209  ballotlem4  34683  signswch  34745  limsup10ex  46216