Theorem lenlti 11410

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by NM, 24-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
lenlti	⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴)

Proof of Theorem lenlti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		lt.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		lenlt 11368	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	mp2an 691	1 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ℝcr 11183   < clt 11324   ≤ cle 11325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-cnv 5708  df-xr 11328  df-le 11330

This theorem is referenced by:  ltnlei  11411  hashgt12el  14471  hashgt12el2  14472  georeclim  15920  geoisumr  15926  divalglem6  16446  umgrislfupgrlem  29157  ballotlem4  34463  signswch  34538  limsup10ex  45694