Theorem lenlti 10447

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by NM, 24-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
lenlti	⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴)

Proof of Theorem lenlti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		lt.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		lenlt 10406	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	mp2an 684	1 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 198   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4843  ℝcr 10223   < clt 10363   ≤ cle 10364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pr 5097

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-br 4844  df-opab 4906  df-xp 5318  df-cnv 5320  df-xr 10367  df-le 10369

This theorem is referenced by:  ltnlei  10448  hashgt12el  13459  hashgt12el2  13460  georeclim  14941  geoisumr  14947  divalglem6  15457  umgrislfupgrlem  26357  ballotlem4  31077  signswch  31156