Theorem ltnlei 11261

Description: 'Less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 11-Jul-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
ltnlei	⊢ (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem ltnlei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
2		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	1, 2	lenlti 11260	. 2 ⊢ (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵)
4	3	con2bii 357	1 ⊢ (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ℝcr 11031   < clt 11173   ≤ cle 11174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5631  df-cnv 5633  df-xr 11177  df-le 11179

This theorem is referenced by:  letrii  11265  nn0ge2m1nn  12501  0nelfz1  13491  fzpreddisj  13521  hashnn0n0nn  14347  hashge2el2dif  14436  hash3tpde  14449  divalglem5  16360  divalglem6  16361  sadcadd  16421  htpycc  24960  pco1  24995  pcohtpylem  24999  pcopt  25002  pcopt2  25003  pcoass  25004  pcorevlem  25006  vitalilem5  25592  vieta1lem2  26291  ppiltx  27157  ppiublem1  27182  chtub  27192  axlowdimlem16  29043  axlowdim  29047  lfgrnloop  29211  lfuhgr1v0e  29340  lfgrwlkprop  29772  ballotlem2  34652  subfacp1lem1  35380  subfacp1lem5  35385  bcneg1  35937  poimirlem9  37967  poimirlem16  37974  poimirlem17  37975  poimirlem19  37977  poimirlem20  37978  poimirlem22  37980  fdc  38083  pellexlem6  43283  jm2.23  43445  nprmdvdsfacm1lem2  48099