Theorem ltnlei 10918

Description: 'Less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 11-Jul-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
ltnlei	⊢ (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem ltnlei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
2		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	1, 2	lenlti 10917	. 2 ⊢ (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵)
4	3	con2bii 361	1 ⊢ (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5039  ℝcr 10693   < clt 10832   ≤ cle 10833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-sb 2073  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-br 5040  df-opab 5102  df-xp 5542  df-cnv 5544  df-xr 10836  df-le 10838

This theorem is referenced by:  letrii  10922  nn0ge2m1nn  12124  0nelfz1  13096  fzpreddisj  13126  hashnn0n0nn  13923  hashge2el2dif  14011  divalglem5  15921  divalglem6  15922  sadcadd  15980  htpycc  23831  pco1  23866  pcohtpylem  23870  pcopt  23873  pcopt2  23874  pcoass  23875  pcorevlem  23877  vitalilem5  24463  vieta1lem2  25158  ppiltx  26013  ppiublem1  26037  chtub  26047  axlowdimlem16  27002  axlowdim  27006  lfgrnloop  27170  lfuhgr1v0e  27296  lfgrwlkprop  27729  ballotlem2  32121  subfacp1lem1  32808  subfacp1lem5  32813  bcneg1  33371  poimirlem9  35472  poimirlem16  35479  poimirlem17  35480  poimirlem19  35482  poimirlem20  35483  poimirlem22  35485  fdc  35589  pellexlem6  40300  jm2.23  40462