Theorem ltnlei 11266

Description: 'Less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 11-Jul-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
ltnlei	⊢ (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem ltnlei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
2		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	1, 2	lenlti 11265	. 2 ⊢ (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵)
4	3	con2bii 357	1 ⊢ (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ℝcr 11037   < clt 11178   ≤ cle 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5638  df-cnv 5640  df-xr 11182  df-le 11184

This theorem is referenced by:  letrii  11270  nn0ge2m1nn  12483  0nelfz1  13471  fzpreddisj  13501  hashnn0n0nn  14326  hashge2el2dif  14415  hash3tpde  14428  divalglem5  16336  divalglem6  16337  sadcadd  16397  htpycc  24947  pco1  24983  pcohtpylem  24987  pcopt  24990  pcopt2  24991  pcoass  24992  pcorevlem  24994  vitalilem5  25581  vieta1lem2  26287  ppiltx  27155  ppiublem1  27181  chtub  27191  axlowdimlem16  29042  axlowdim  29046  lfgrnloop  29210  lfuhgr1v0e  29339  lfgrwlkprop  29771  ballotlem2  34667  subfacp1lem1  35395  subfacp1lem5  35400  bcneg1  35952  poimirlem9  37880  poimirlem16  37887  poimirlem17  37888  poimirlem19  37890  poimirlem20  37891  poimirlem22  37893  fdc  37996  pellexlem6  43191  jm2.23  43353