Theorem ltnlei 11358

Description: 'Less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 11-Jul-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
ltnlei	⊢ (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem ltnlei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
2		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	1, 2	lenlti 11357	. 2 ⊢ (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵)
4	3	con2bii 360	1 ⊢ (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ℝcr 11126   < clt 11270   ≤ cle 11271

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5661  df-cnv 5663  df-xr 11274  df-le 11276

This theorem is used by:  letrii  11362  nn0ge2m1nn  12601  0nelfz1  13600  fzpreddisj  13631  hashnn0n0nn  14458  hashge2el2dif  14548  hash3tpde  14561  divalglem5  16490  divalglem6  16491  sadcadd  16551  htpycc  25211  pco1  25246  pcohtpylem  25250  pcopt  25253  pcopt2  25254  pcoass  25255  pcorevlem  25257  vitalilem5  25843  vieta1lem2  26546  ppiltx  27416  ppiublem1  27441  chtub  27451  axlowdimlem16  29417  axlowdim  29421  lfgrnloop  29585  lfuhgr1v0e  29717  lfgrwlkprop  30152  ballotlem2  35003  subfacp1lem1  35761  subfacp1lem5  35766  bcneg1  36318  poimirlem9  38381  poimirlem16  38388  poimirlem17  38389  poimirlem19  38391  poimirlem20  38392  poimirlem22  38394  fdc  38498  pellexlem6  43678  jm2.23  43840  nprmdvdsfacm1lem2  48527