Theorem ltnlei 11431

Description: 'Less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 11-Jul-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
ltnlei	⊢ (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem ltnlei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
2		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	1, 2	lenlti 11430	. 2 ⊢ (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵)
4	3	con2bii 360	1 ⊢ (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ℝcr 11199   < clt 11343   ≤ cle 11344

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5657  df-cnv 5659  df-xr 11347  df-le 11349

This theorem is used by:  letrii  11435  nn0ge2m1nn  12676  0nelfz1  13676  fzpreddisj  13707  hashnn0n0nn  14535  hashge2el2dif  14625  hash3tpde  14638  divalglem5  16567  divalglem6  16568  sadcadd  16628  htpycc  25301  pco1  25336  pcohtpylem  25340  pcopt  25343  pcopt2  25344  pcoass  25345  pcorevlem  25347  vitalilem5  25933  vieta1lem2  26634  ppiltx  27504  ppiublem1  27529  chtub  27539  axlowdimlem16  29535  axlowdim  29539  lfgrnloop  29703  lfuhgr1v0e  29835  lfgrwlkprop  30270  ballotlem2  35121  subfacp1lem1  35944  subfacp1lem5  35949  bcneg1  36501  poimirlem9  38547  poimirlem16  38554  poimirlem17  38555  poimirlem19  38557  poimirlem20  38558  poimirlem22  38560  fdc  38679  pellexlem6  43840  jm2.23  44002  nprmdvdsfacm1lem2  48705