Theorem ltnlei 11295

Description: 'Less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 11-Jul-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
ltnlei	⊢ (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem ltnlei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
2		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	1, 2	lenlti 11294	. 2 ⊢ (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵)
4	3	con2bii 357	1 ⊢ (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ℝcr 11067   < clt 11208   ≤ cle 11209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-xp 5644  df-cnv 5646  df-xr 11212  df-le 11214

This theorem is referenced by:  letrii  11299  nn0ge2m1nn  12512  0nelfz1  13504  fzpreddisj  13534  hashnn0n0nn  14356  hashge2el2dif  14445  hash3tpde  14458  divalglem5  16367  divalglem6  16368  sadcadd  16428  htpycc  24879  pco1  24915  pcohtpylem  24919  pcopt  24922  pcopt2  24923  pcoass  24924  pcorevlem  24926  vitalilem5  25513  vieta1lem2  26219  ppiltx  27087  ppiublem1  27113  chtub  27123  axlowdimlem16  28884  axlowdim  28888  lfgrnloop  29052  lfuhgr1v0e  29181  lfgrwlkprop  29615  ballotlem2  34480  subfacp1lem1  35166  subfacp1lem5  35171  bcneg1  35723  poimirlem9  37623  poimirlem16  37630  poimirlem17  37631  poimirlem19  37633  poimirlem20  37634  poimirlem22  37636  fdc  37739  pellexlem6  42822  jm2.23  42985