Theorem ltnlei 11234

Description: 'Less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 11-Jul-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
ltnlei	⊢ (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem ltnlei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
2		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	1, 2	lenlti 11233	. 2 ⊢ (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵)
4	3	con2bii 357	1 ⊢ (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  ℝcr 11005   < clt 11146   ≤ cle 11147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-br 5090  df-opab 5152  df-xp 5620  df-cnv 5622  df-xr 11150  df-le 11152

This theorem is referenced by:  letrii  11238  nn0ge2m1nn  12451  0nelfz1  13443  fzpreddisj  13473  hashnn0n0nn  14298  hashge2el2dif  14387  hash3tpde  14400  divalglem5  16308  divalglem6  16309  sadcadd  16369  htpycc  24906  pco1  24942  pcohtpylem  24946  pcopt  24949  pcopt2  24950  pcoass  24951  pcorevlem  24953  vitalilem5  25540  vieta1lem2  26246  ppiltx  27114  ppiublem1  27140  chtub  27150  axlowdimlem16  28935  axlowdim  28939  lfgrnloop  29103  lfuhgr1v0e  29232  lfgrwlkprop  29664  ballotlem2  34502  subfacp1lem1  35223  subfacp1lem5  35228  bcneg1  35780  poimirlem9  37679  poimirlem16  37686  poimirlem17  37687  poimirlem19  37689  poimirlem20  37690  poimirlem22  37692  fdc  37795  pellexlem6  42937  jm2.23  43099