Theorem ltnlei 11380

Description: 'Less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 11-Jul-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
ltnlei	⊢ (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem ltnlei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
2		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3	1, 2	lenlti 11379	. 2 ⊢ (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵)
4	3	con2bii 357	1 ⊢ (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ℝcr 11152   < clt 11293   ≤ cle 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5695  df-cnv 5697  df-xr 11297  df-le 11299

This theorem is referenced by:  letrii  11384  nn0ge2m1nn  12594  0nelfz1  13580  fzpreddisj  13610  hashnn0n0nn  14427  hashge2el2dif  14516  hash3tpde  14529  divalglem5  16431  divalglem6  16432  sadcadd  16492  htpycc  25026  pco1  25062  pcohtpylem  25066  pcopt  25069  pcopt2  25070  pcoass  25071  pcorevlem  25073  vitalilem5  25661  vieta1lem2  26368  ppiltx  27235  ppiublem1  27261  chtub  27271  axlowdimlem16  28987  axlowdim  28991  lfgrnloop  29157  lfuhgr1v0e  29286  lfgrwlkprop  29720  ballotlem2  34470  subfacp1lem1  35164  subfacp1lem5  35169  bcneg1  35716  poimirlem9  37616  poimirlem16  37623  poimirlem17  37624  poimirlem19  37626  poimirlem20  37627  poimirlem22  37629  fdc  37732  pellexlem6  42822  jm2.23  42985