Theorem hashgt12el 14387

Description: In a set with more than one element are two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hashgt12el	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏)

Distinct variable groups:   𝑊,𝑎   𝑉,𝑎,𝑏

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑏)

Proof of Theorem hashgt12el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash0 14332	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
2		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (∅ = 𝑉 → (♯‘∅) = (♯‘𝑉))
3	1, 2	eqtr3id 2780	. . 3 ⊢ (∅ = 𝑉 → 0 = (♯‘𝑉))
4		breq2 5145	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑉) = 0 → (1 < (♯‘𝑉) ↔ 1 < 0))
5	4	biimpd 228	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑉) = 0 → (1 < (♯‘𝑉) → 1 < 0))
6	5	eqcoms 2734	. . . . . 6 ⊢ (0 = (♯‘𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → 1 < 0))
7		0le1 11741	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
8		0re 11220	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		1re 11218	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
10	8, 9	lenlti 11338	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
11		pm2.21 123	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 1 < 0 → (1 < 0 → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
12	10, 11	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 1 → (1 < 0 → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
13	7, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1 < 0 → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏)
14	6, 13	syl6com 37	. . . . 5 ⊢ (1 < (♯‘𝑉) → (0 = (♯‘𝑉) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (0 = (♯‘𝑉) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
16	15	com12 32	. . 3 ⊢ (0 = (♯‘𝑉) → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
17	3, 16	syl 17	. 2 ⊢ (∅ = 𝑉 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
18		df-ne 2935	. . . 4 ⊢ (∅ ≠ 𝑉 ↔ ¬ ∅ = 𝑉)
19		necom 2988	. . . 4 ⊢ (∅ ≠ 𝑉 ↔ 𝑉 ≠ ∅)
20	18, 19	bitr3i 277	. . 3 ⊢ (¬ ∅ = 𝑉 ↔ 𝑉 ≠ ∅)
21		ralnex 3066	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑉 ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏)
22		ralnex 3066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑉 ¬ 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏)
23		nne 2938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑏)
24		equcom 2013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑏 = 𝑎)
25	23, 24	bitri 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ 𝑏 = 𝑎)
26	25	ralbii 3087	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑉 ¬ 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎)
27	22, 26	bitr3i 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎)
28	27	ralbii 3087	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑉 ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎)
29	21, 28	bitr3i 277	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎)
30		eqsn 4827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 = {𝑎} ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 = {𝑎} ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎))
32	31	bicomd 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎 ↔ 𝑉 = {𝑎}))
33	32	ralbidv 3171	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑉 𝑉 = {𝑎}))
34		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝑎}))
35		hashsnle1 14382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (♯‘{𝑎}) ≤ 1
36	34, 35	eqbrtrdi 5180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1)
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1))
38	37	reximdva0 4346	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1))
39		r19.36v 3177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1))
41	33, 40	sylbid 239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎 → (♯‘𝑉) ≤ 1))
42		hashxrcl 14322	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
43	42	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
44		1xr 11277	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ*
45		xrlenlt 11283	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
46	43, 44, 45	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
47	41, 46	sylibd 238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎 → ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
48	29, 47	biimtrid 241	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (¬ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏 → ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
49	48	con4d 115	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (1 < (♯‘𝑉) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
50	49	impancom 451	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (𝑉 ≠ ∅ → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
51	50	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
52	20, 51	sylbi 216	. 2 ⊢ (¬ ∅ = 𝑉 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
53	17, 52	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ∀wral 3055  ∃wrex 3064  ∅c0 4317  {csn 4623   class class class wbr 5141  ‘cfv 6537  0cc0 11112  1c1 11113  ℝ^*cxr 11251   < clt 11252   ≤ cle 11253  ♯chash 14295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-hash 14296

This theorem is referenced by:  hashgt23el  14389  symgpssefmnd  19315  ring1ne0  20198  frgrwopreglem5  30083  frgrwopreglem5ALT  30084