MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgt12el Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashgt12el 14411
Description: In a set with more than one element are two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashgt12el ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏)
Distinct variable groups:   𝑊,𝑎   𝑉,𝑎,𝑏
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑏)

Proof of Theorem hashgt12el
StepHypRef Expression
1 hash0 14356 . . . 4 (♯‘∅) = 0
2 fveq2 6891 . . . 4 (∅ = 𝑉 → (♯‘∅) = (♯‘𝑉))
31, 2eqtr3id 2779 . . 3 (∅ = 𝑉 → 0 = (♯‘𝑉))
4 breq2 5147 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑉) = 0 → (1 < (♯‘𝑉) ↔ 1 < 0))
54biimpd 228 . . . . . . 7 ((♯‘𝑉) = 0 → (1 < (♯‘𝑉) → 1 < 0))
65eqcoms 2733 . . . . . 6 (0 = (♯‘𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → 1 < 0))
7 0le1 11765 . . . . . . 7 0 ≤ 1
8 0re 11244 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
9 1re 11242 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
108, 9lenlti 11362 . . . . . . . 8 (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
11 pm2.21 123 . . . . . . . 8 (¬ 1 < 0 → (1 < 0 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
1210, 11sylbi 216 . . . . . . 7 (0 ≤ 1 → (1 < 0 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
137, 12ax-mp 5 . . . . . 6 (1 < 0 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏)
146, 13syl6com 37 . . . . 5 (1 < (♯‘𝑉) → (0 = (♯‘𝑉) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
1514adantl 480 . . . 4 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (0 = (♯‘𝑉) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
1615com12 32 . . 3 (0 = (♯‘𝑉) → ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
173, 16syl 17 . 2 (∅ = 𝑉 → ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
18 df-ne 2931 . . . 4 (∅ ≠ 𝑉 ↔ ¬ ∅ = 𝑉)
19 necom 2984 . . . 4 (∅ ≠ 𝑉𝑉 ≠ ∅)
2018, 19bitr3i 276 . . 3 (¬ ∅ = 𝑉𝑉 ≠ ∅)
21 ralnex 3062 . . . . . . . 8 (∀𝑎𝑉 ¬ ∃𝑏𝑉 𝑎𝑏 ↔ ¬ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏)
22 ralnex 3062 . . . . . . . . . 10 (∀𝑏𝑉 ¬ 𝑎𝑏 ↔ ¬ ∃𝑏𝑉 𝑎𝑏)
23 nne 2934 . . . . . . . . . . . 12 𝑎𝑏𝑎 = 𝑏)
24 equcom 2013 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑏𝑏 = 𝑎)
2523, 24bitri 274 . . . . . . . . . . 11 𝑎𝑏𝑏 = 𝑎)
2625ralbii 3083 . . . . . . . . . 10 (∀𝑏𝑉 ¬ 𝑎𝑏 ↔ ∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎)
2722, 26bitr3i 276 . . . . . . . . 9 (¬ ∃𝑏𝑉 𝑎𝑏 ↔ ∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎)
2827ralbii 3083 . . . . . . . 8 (∀𝑎𝑉 ¬ ∃𝑏𝑉 𝑎𝑏 ↔ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎)
2921, 28bitr3i 276 . . . . . . 7 (¬ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏 ↔ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎)
30 eqsn 4828 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 = {𝑎} ↔ ∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎))
3130adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 = {𝑎} ↔ ∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎))
3231bicomd 222 . . . . . . . . . 10 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎𝑉 = {𝑎}))
3332ralbidv 3168 . . . . . . . . 9 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎 ↔ ∀𝑎𝑉 𝑉 = {𝑎}))
34 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝑎}))
35 hashsnle1 14406 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘{𝑎}) ≤ 1
3634, 35eqbrtrdi 5182 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1)
3736a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉𝑊𝑎𝑉) → (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1))
3837reximdva0 4347 . . . . . . . . . 10 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → ∃𝑎𝑉 (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1))
39 r19.36v 3174 . . . . . . . . . 10 (∃𝑎𝑉 (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1) → (∀𝑎𝑉 𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑎𝑉 𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1))
4133, 40sylbid 239 . . . . . . . 8 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎 → (♯‘𝑉) ≤ 1))
42 hashxrcl 14346 . . . . . . . . . 10 (𝑉𝑊 → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
4342adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
44 1xr 11301 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ*
45 xrlenlt 11307 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑉) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
4643, 44, 45sylancl 584 . . . . . . . 8 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
4741, 46sylibd 238 . . . . . . 7 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎 → ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
4829, 47biimtrid 241 . . . . . 6 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (¬ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏 → ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
4948con4d 115 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (1 < (♯‘𝑉) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
5049impancom 450 . . . 4 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (𝑉 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
5150com12 32 . . 3 (𝑉 ≠ ∅ → ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
5220, 51sylbi 216 . 2 (¬ ∅ = 𝑉 → ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
5317, 52pm2.61i 182 1 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2930  wral 3051  wrex 3060  c0 4318  {csn 4624   class class class wbr 5143  cfv 6542  0cc0 11136  1c1 11137  *cxr 11275   < clt 11276  cle 11277  chash 14319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-hash 14320
This theorem is referenced by:  hashgt23el  14413  symgpssefmnd  19352  ring1ne0  20237  frgrwopreglem5  30173  frgrwopreglem5ALT  30174
  Copyright terms: Public domain W3C validator