Theorem hashgt12el 14384

Description: In a set with more than one element are two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hashgt12el	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏)

Distinct variable groups:   𝑊,𝑎   𝑉,𝑎,𝑏

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑏)

Proof of Theorem hashgt12el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash0 14329	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
2		fveq2 6840	. . . 4 ⊢ (∅ = 𝑉 → (♯‘∅) = (♯‘𝑉))
3	1, 2	eqtr3id 2785	. . 3 ⊢ (∅ = 𝑉 → 0 = (♯‘𝑉))
4		breq2 5089	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑉) = 0 → (1 < (♯‘𝑉) ↔ 1 < 0))
5	4	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑉) = 0 → (1 < (♯‘𝑉) → 1 < 0))
6	5	eqcoms 2744	. . . . . 6 ⊢ (0 = (♯‘𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → 1 < 0))
7		0le1 11673	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
8		0re 11146	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		1re 11144	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
10	8, 9	lenlti 11266	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
11		pm2.21 123	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 1 < 0 → (1 < 0 → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
12	10, 11	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 1 → (1 < 0 → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
13	7, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1 < 0 → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏)
14	6, 13	syl6com 37	. . . . 5 ⊢ (1 < (♯‘𝑉) → (0 = (♯‘𝑉) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (0 = (♯‘𝑉) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
16	15	com12 32	. . 3 ⊢ (0 = (♯‘𝑉) → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
17	3, 16	syl 17	. 2 ⊢ (∅ = 𝑉 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
18		df-ne 2933	. . . 4 ⊢ (∅ ≠ 𝑉 ↔ ¬ ∅ = 𝑉)
19		necom 2985	. . . 4 ⊢ (∅ ≠ 𝑉 ↔ 𝑉 ≠ ∅)
20	18, 19	bitr3i 277	. . 3 ⊢ (¬ ∅ = 𝑉 ↔ 𝑉 ≠ ∅)
21		ralnex 3063	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑉 ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏)
22		ralnex 3063	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑉 ¬ 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏)
23		nne 2936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑏)
24		equcom 2020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑏 = 𝑎)
25	23, 24	bitri 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ 𝑏 = 𝑎)
26	25	ralbii 3083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑉 ¬ 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎)
27	22, 26	bitr3i 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎)
28	27	ralbii 3083	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑉 ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎)
29	21, 28	bitr3i 277	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎)
30		eqsn 4772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 = {𝑎} ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 = {𝑎} ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎))
32	31	bicomd 223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎 ↔ 𝑉 = {𝑎}))
33	32	ralbidv 3160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑉 𝑉 = {𝑎}))
34		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝑎}))
35		hashsnle1 14379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (♯‘{𝑎}) ≤ 1
36	34, 35	eqbrtrdi 5124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1)
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1))
38	37	reximdva0 4295	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1))
39		r19.36v 3165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1))
41	33, 40	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎 → (♯‘𝑉) ≤ 1))
42		hashxrcl 14319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
43	42	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
44		1xr 11204	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ*
45		xrlenlt 11210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
46	43, 44, 45	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
47	41, 46	sylibd 239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎 → ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
48	29, 47	biimtrid 242	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (¬ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏 → ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
49	48	con4d 115	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (1 < (♯‘𝑉) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
50	49	impancom 451	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (𝑉 ≠ ∅ → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
51	50	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
52	20, 51	sylbi 217	. 2 ⊢ (¬ ∅ = 𝑉 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
53	17, 52	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  ∅c0 4273  {csn 4567   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  0cc0 11038  1c1 11039  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   ≤ cle 11180  ♯chash 14292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-hash 14293

This theorem is referenced by:  hashgt23el  14386  symgpssefmnd  19371  ring1ne0  20280  frgrwopreglem5  30391  frgrwopreglem5ALT  30392