MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgt12el Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashgt12el 13590
Description: In a set with more than one element are two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashgt12el ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏)
Distinct variable groups:   𝑊,𝑎   𝑉,𝑎,𝑏
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑏)

Proof of Theorem hashgt12el
StepHypRef Expression
1 hash0 13537 . . . 4 (♯‘∅) = 0
2 fveq2 6493 . . . 4 (∅ = 𝑉 → (♯‘∅) = (♯‘𝑉))
31, 2syl5eqr 2822 . . 3 (∅ = 𝑉 → 0 = (♯‘𝑉))
4 breq2 4927 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑉) = 0 → (1 < (♯‘𝑉) ↔ 1 < 0))
54biimpd 221 . . . . . . 7 ((♯‘𝑉) = 0 → (1 < (♯‘𝑉) → 1 < 0))
65eqcoms 2780 . . . . . 6 (0 = (♯‘𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → 1 < 0))
7 0le1 10958 . . . . . . 7 0 ≤ 1
8 0re 10435 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
9 1re 10433 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
108, 9lenlti 10554 . . . . . . . 8 (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
11 pm2.21 121 . . . . . . . 8 (¬ 1 < 0 → (1 < 0 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
1210, 11sylbi 209 . . . . . . 7 (0 ≤ 1 → (1 < 0 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
137, 12ax-mp 5 . . . . . 6 (1 < 0 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏)
146, 13syl6com 37 . . . . 5 (1 < (♯‘𝑉) → (0 = (♯‘𝑉) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
1514adantl 474 . . . 4 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (0 = (♯‘𝑉) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
1615com12 32 . . 3 (0 = (♯‘𝑉) → ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
173, 16syl 17 . 2 (∅ = 𝑉 → ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
18 df-ne 2962 . . . 4 (∅ ≠ 𝑉 ↔ ¬ ∅ = 𝑉)
19 necom 3014 . . . 4 (∅ ≠ 𝑉𝑉 ≠ ∅)
2018, 19bitr3i 269 . . 3 (¬ ∅ = 𝑉𝑉 ≠ ∅)
21 ralnex 3177 . . . . . . . 8 (∀𝑎𝑉 ¬ ∃𝑏𝑉 𝑎𝑏 ↔ ¬ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏)
22 ralnex 3177 . . . . . . . . . 10 (∀𝑏𝑉 ¬ 𝑎𝑏 ↔ ¬ ∃𝑏𝑉 𝑎𝑏)
23 nne 2965 . . . . . . . . . . . 12 𝑎𝑏𝑎 = 𝑏)
24 equcom 1975 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑏𝑏 = 𝑎)
2523, 24bitri 267 . . . . . . . . . . 11 𝑎𝑏𝑏 = 𝑎)
2625ralbii 3109 . . . . . . . . . 10 (∀𝑏𝑉 ¬ 𝑎𝑏 ↔ ∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎)
2722, 26bitr3i 269 . . . . . . . . 9 (¬ ∃𝑏𝑉 𝑎𝑏 ↔ ∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎)
2827ralbii 3109 . . . . . . . 8 (∀𝑎𝑉 ¬ ∃𝑏𝑉 𝑎𝑏 ↔ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎)
2921, 28bitr3i 269 . . . . . . 7 (¬ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏 ↔ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎)
30 eqsn 4630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 = {𝑎} ↔ ∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎))
3130adantl 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 = {𝑎} ↔ ∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎))
3231bicomd 215 . . . . . . . . . 10 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎𝑉 = {𝑎}))
3332ralbidv 3141 . . . . . . . . 9 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎 ↔ ∀𝑎𝑉 𝑉 = {𝑎}))
34 fveq2 6493 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝑎}))
35 hashsnle1 13585 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘{𝑎}) ≤ 1
3634, 35syl6eqbr 4962 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1)
3736a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉𝑊𝑎𝑉) → (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1))
3837reximdva0 4192 . . . . . . . . . 10 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → ∃𝑎𝑉 (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1))
39 r19.36v 3277 . . . . . . . . . 10 (∃𝑎𝑉 (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1) → (∀𝑎𝑉 𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑎𝑉 𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1))
4133, 40sylbid 232 . . . . . . . 8 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎 → (♯‘𝑉) ≤ 1))
42 hashxrcl 13527 . . . . . . . . . 10 (𝑉𝑊 → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
4342adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
44 1xr 10494 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ*
45 xrlenlt 10500 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑉) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
4643, 44, 45sylancl 577 . . . . . . . 8 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
4741, 46sylibd 231 . . . . . . 7 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎 → ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
4829, 47syl5bi 234 . . . . . 6 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (¬ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏 → ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
4948con4d 115 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (1 < (♯‘𝑉) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
5049impancom 444 . . . 4 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (𝑉 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
5150com12 32 . . 3 (𝑉 ≠ ∅ → ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
5220, 51sylbi 209 . 2 (¬ ∅ = 𝑉 → ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
5317, 52pm2.61i 177 1 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2961  wral 3082  wrex 3083  c0 4172  {csn 4435   class class class wbr 4923  cfv 6182  0cc0 10329  1c1 10330  *cxr 10467   < clt 10468  cle 10469  chash 13499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-1o 7899  df-er 8083  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-fin 8304  df-card 9156  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-nn 11434  df-n0 11702  df-xnn0 11774  df-z 11788  df-uz 12053  df-fz 12703  df-hash 13500
This theorem is referenced by:  hashgt23el  13592  ring1ne0  19058  frgrwopreglem5  27849  frgrwopreglem5ALT  27850
  Copyright terms: Public domain W3C validator