Theorem hashgt12el 14329

Description: In a set with more than one element are two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hashgt12el	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏)

Distinct variable groups:   𝑊,𝑎   𝑉,𝑎,𝑏

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑏)

Proof of Theorem hashgt12el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash0 14274	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
2		fveq2 6822	. . . 4 ⊢ (∅ = 𝑉 → (♯‘∅) = (♯‘𝑉))
3	1, 2	eqtr3id 2778	. . 3 ⊢ (∅ = 𝑉 → 0 = (♯‘𝑉))
4		breq2 5096	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑉) = 0 → (1 < (♯‘𝑉) ↔ 1 < 0))
5	4	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑉) = 0 → (1 < (♯‘𝑉) → 1 < 0))
6	5	eqcoms 2737	. . . . . 6 ⊢ (0 = (♯‘𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → 1 < 0))
7		0le1 11643	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
8		0re 11117	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		1re 11115	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
10	8, 9	lenlti 11236	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
11		pm2.21 123	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 1 < 0 → (1 < 0 → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
12	10, 11	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 1 → (1 < 0 → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
13	7, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1 < 0 → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏)
14	6, 13	syl6com 37	. . . . 5 ⊢ (1 < (♯‘𝑉) → (0 = (♯‘𝑉) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (0 = (♯‘𝑉) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
16	15	com12 32	. . 3 ⊢ (0 = (♯‘𝑉) → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
17	3, 16	syl 17	. 2 ⊢ (∅ = 𝑉 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
18		df-ne 2926	. . . 4 ⊢ (∅ ≠ 𝑉 ↔ ¬ ∅ = 𝑉)
19		necom 2978	. . . 4 ⊢ (∅ ≠ 𝑉 ↔ 𝑉 ≠ ∅)
20	18, 19	bitr3i 277	. . 3 ⊢ (¬ ∅ = 𝑉 ↔ 𝑉 ≠ ∅)
21		ralnex 3055	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑉 ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏)
22		ralnex 3055	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑉 ¬ 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏)
23		nne 2929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑏)
24		equcom 2018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑏 = 𝑎)
25	23, 24	bitri 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ 𝑏 = 𝑎)
26	25	ralbii 3075	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑉 ¬ 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎)
27	22, 26	bitr3i 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎)
28	27	ralbii 3075	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑉 ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎)
29	21, 28	bitr3i 277	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎)
30		eqsn 4780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 = {𝑎} ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 = {𝑎} ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎))
32	31	bicomd 223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎 ↔ 𝑉 = {𝑎}))
33	32	ralbidv 3152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑉 𝑉 = {𝑎}))
34		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝑎}))
35		hashsnle1 14324	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (♯‘{𝑎}) ≤ 1
36	34, 35	eqbrtrdi 5131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1)
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1))
38	37	reximdva0 4306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1))
39		r19.36v 3157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1))
41	33, 40	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎 → (♯‘𝑉) ≤ 1))
42		hashxrcl 14264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
43	42	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
44		1xr 11174	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ*
45		xrlenlt 11180	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
46	43, 44, 45	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
47	41, 46	sylibd 239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎 → ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
48	29, 47	biimtrid 242	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (¬ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏 → ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
49	48	con4d 115	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (1 < (♯‘𝑉) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
50	49	impancom 451	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (𝑉 ≠ ∅ → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
51	50	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
52	20, 51	sylbi 217	. 2 ⊢ (¬ ∅ = 𝑉 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
53	17, 52	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  ∅c0 4284  {csn 4577   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  0cc0 11009  1c1 11010  ℝ^*cxr 11148   < clt 11149   ≤ cle 11150  ♯chash 14237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-hash 14238

This theorem is referenced by:  hashgt23el  14331  symgpssefmnd  19275  ring1ne0  20184  frgrwopreglem5  30265  frgrwopreglem5ALT  30266