Theorem hashgt12el 14471

Description: In a set with more than one element are two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hashgt12el	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏)

Distinct variable groups:   𝑊,𝑎   𝑉,𝑎,𝑏

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑏)

Proof of Theorem hashgt12el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash0 14416	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
2		fveq2 6920	. . . 4 ⊢ (∅ = 𝑉 → (♯‘∅) = (♯‘𝑉))
3	1, 2	eqtr3id 2794	. . 3 ⊢ (∅ = 𝑉 → 0 = (♯‘𝑉))
4		breq2 5170	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑉) = 0 → (1 < (♯‘𝑉) ↔ 1 < 0))
5	4	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑉) = 0 → (1 < (♯‘𝑉) → 1 < 0))
6	5	eqcoms 2748	. . . . . 6 ⊢ (0 = (♯‘𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → 1 < 0))
7		0le1 11813	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
8		0re 11292	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		1re 11290	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
10	8, 9	lenlti 11410	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
11		pm2.21 123	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 1 < 0 → (1 < 0 → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
12	10, 11	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 1 → (1 < 0 → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
13	7, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1 < 0 → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏)
14	6, 13	syl6com 37	. . . . 5 ⊢ (1 < (♯‘𝑉) → (0 = (♯‘𝑉) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (0 = (♯‘𝑉) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
16	15	com12 32	. . 3 ⊢ (0 = (♯‘𝑉) → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
17	3, 16	syl 17	. 2 ⊢ (∅ = 𝑉 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
18		df-ne 2947	. . . 4 ⊢ (∅ ≠ 𝑉 ↔ ¬ ∅ = 𝑉)
19		necom 3000	. . . 4 ⊢ (∅ ≠ 𝑉 ↔ 𝑉 ≠ ∅)
20	18, 19	bitr3i 277	. . 3 ⊢ (¬ ∅ = 𝑉 ↔ 𝑉 ≠ ∅)
21		ralnex 3078	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑉 ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ¬ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏)
22		ralnex 3078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑉 ¬ 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏)
23		nne 2950	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑏)
24		equcom 2017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑏 = 𝑎)
25	23, 24	bitri 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ 𝑏 = 𝑎)
26	25	ralbii 3099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑉 ¬ 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎)
27	22, 26	bitr3i 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎)
28	27	ralbii 3099	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑉 ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎)
29	21, 28	bitr3i 277	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎)
30		eqsn 4854	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 = {𝑎} ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 = {𝑎} ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎))
32	31	bicomd 223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎 ↔ 𝑉 = {𝑎}))
33	32	ralbidv 3184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑉 𝑉 = {𝑎}))
34		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝑎}))
35		hashsnle1 14466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (♯‘{𝑎}) ≤ 1
36	34, 35	eqbrtrdi 5205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1)
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1))
38	37	reximdva0 4378	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1))
39		r19.36v 3190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1))
41	33, 40	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎 → (♯‘𝑉) ≤ 1))
42		hashxrcl 14406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
43	42	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
44		1xr 11349	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ*
45		xrlenlt 11355	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
46	43, 44, 45	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
47	41, 46	sylibd 239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝑎 → ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
48	29, 47	biimtrid 242	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (¬ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏 → ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
49	48	con4d 115	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (1 < (♯‘𝑉) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
50	49	impancom 451	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (𝑉 ≠ ∅ → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
51	50	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
52	20, 51	sylbi 217	. 2 ⊢ (¬ ∅ = 𝑉 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏))
53	17, 52	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝑎 ≠ 𝑏)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  ∅c0 4352  {csn 4648   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  0cc0 11184  1c1 11185  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  ♯chash 14379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-hash 14380

This theorem is referenced by:  hashgt23el  14473  symgpssefmnd  19437  ring1ne0  20322  frgrwopreglem5  30353  frgrwopreglem5ALT  30354