Theorem geoisumr 15960

Description: The infinite sum of reciprocals 1 + (1 / 𝐴)↑1 + (1 / 𝐴)↑2... is 𝐴 / (𝐴 − 1). (Contributed by rpenner, 3-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
geoisumr	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((1 / 𝐴)↑𝑘) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Proof of Theorem geoisumr

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12921	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12623	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → 0 ∈ ℤ)
3		oveq2 7428	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 𝐴)↑𝑛) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
4		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑛))
5		ovex 7453	. . . 4 ⊢ ((1 / 𝐴)↑𝑘) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6994	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
7	6	adantl 487	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
8		0le1 11757	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
9		0re 11230	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		1re 11228	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
11	9, 10	lenlti 11350	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
12	8, 11	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1 < 0
13		fveq2 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = (abs‘0))
14		abs0 15365	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘0) = 0
15	13, 14	eqtrdi 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = 0)
16	15	breq2d 5123	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ 1 < 0))
17	12, 16	mtbiri 330	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 1 < (abs‘𝐴))
18	17	necon2ai 2989	. . . 4 ⊢ (1 < (abs‘𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
19		reccl 11899	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
20	18, 19	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
21		expcl 14138	. . 3 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
22	20, 21	sylan 592	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
23		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
24		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → 1 < (abs‘𝐴))
25	23, 24, 7	georeclim 15954	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑛))) ⇝ (𝐴 / (𝐴 − 1)))
26	1, 2, 7, 22, 25	isumclim 15836	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((1 / 𝐴)↑𝑘) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420  ℂcc 11118  0cc0 11120  1c1 11121   < clt 11263   ≤ cle 11264   − cmin 11461   / cdiv 11891  ℕ₀cn0 12524  ↑cexp 14120  abscabs 15314  Σcsu 15766

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-inf2 9618  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197  ax-pre-sup 11198

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7870  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-er 8701  df-pm 8834  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-fin 8954  df-sup 9410  df-inf 9411  df-oi 9480  df-card 9942  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-div 11892  df-nn 12254  df-2 12323  df-3 12324  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12884  df-rp 13038  df-fz 13557  df-fzo 13705  df-fl 13848  df-seq 14061  df-exp 14121  df-hash 14390  df-cj 15179  df-re 15180  df-im 15181  df-sqrt 15315  df-abs 15316  df-clim 15568  df-rlim 15569  df-sum 15767

This theorem is used by: (None)