MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geoisumr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geoisumr 15830
Description: The infinite sum of reciprocals 1 + (1 / 𝐴)↑1 + (1 / 𝐴)↑2... is 𝐴 / (𝐴 − 1). (Contributed by rpenner, 3-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
geoisumr ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((1 / 𝐴)↑𝑘) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Proof of Theorem geoisumr
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12868 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 12574 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → 0 ∈ ℤ)
3 oveq2 7413 . . . 4 (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 𝐴)↑𝑛) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
4 eqid 2726 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑛))
5 ovex 7438 . . . 4 ((1 / 𝐴)↑𝑘) ∈ V
63, 4, 5fvmpt 6992 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
76adantl 481 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
8 0le1 11741 . . . . . . 7 0 ≤ 1
9 0re 11220 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
10 1re 11218 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
119, 10lenlti 11338 . . . . . . 7 (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
128, 11mpbi 229 . . . . . 6 ¬ 1 < 0
13 fveq2 6885 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = (abs‘0))
14 abs0 15238 . . . . . . . 8 (abs‘0) = 0
1513, 14eqtrdi 2782 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = 0)
1615breq2d 5153 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ 1 < 0))
1712, 16mtbiri 327 . . . . 5 (𝐴 = 0 → ¬ 1 < (abs‘𝐴))
1817necon2ai 2964 . . . 4 (1 < (abs‘𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
19 reccl 11883 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
2018, 19sylan2 592 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
21 expcl 14050 . . 3 (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
2220, 21sylan 579 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
23 simpl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
24 simpr 484 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → 1 < (abs‘𝐴))
2523, 24, 7georeclim 15824 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑛))) ⇝ (𝐴 / (𝐴 − 1)))
261, 2, 7, 22, 25isumclim 15709 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((1 / 𝐴)↑𝑘) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934   class class class wbr 5141  cmpt 5224  cfv 6537  (class class class)co 7405  cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   < clt 11252  cle 11253  cmin 11448   / cdiv 11875  0cn0 12476  cexp 14032  abscabs 15187  Σcsu 15638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator