Theorem geoisumr 15914

Description: The infinite sum of reciprocals 1 + (1 / 𝐴)↑1 + (1 / 𝐴)↑2... is 𝐴 / (𝐴 − 1). (Contributed by rpenner, 3-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
geoisumr	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((1 / 𝐴)↑𝑘) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Proof of Theorem geoisumr

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12920	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12625	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → 0 ∈ ℤ)
3		oveq2 7439	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 𝐴)↑𝑛) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑛))
5		ovex 7464	. . . 4 ⊢ ((1 / 𝐴)↑𝑘) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 7016	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
7	6	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
8		0le1 11786	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
9		0re 11263	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		1re 11261	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
11	9, 10	lenlti 11381	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
12	8, 11	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1 < 0
13		fveq2 6906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = (abs‘0))
14		abs0 15324	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘0) = 0
15	13, 14	eqtrdi 2793	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = 0)
16	15	breq2d 5155	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ 1 < 0))
17	12, 16	mtbiri 327	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 1 < (abs‘𝐴))
18	17	necon2ai 2970	. . . 4 ⊢ (1 < (abs‘𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
19		reccl 11929	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
20	18, 19	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
21		expcl 14120	. . 3 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
22	20, 21	sylan 580	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
23		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
24		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → 1 < (abs‘𝐴))
25	23, 24, 7	georeclim 15908	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑛))) ⇝ (𝐴 / (𝐴 − 1)))
26	1, 2, 7, 22, 25	isumclim 15793	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((1 / 𝐴)↑𝑘) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492   / cdiv 11920  ℕ₀cn0 12526  ↑cexp 14102  abscabs 15273  Σcsu 15722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723

This theorem is referenced by: (None)