Theorem geoisumr 15635

Description: The infinite sum of reciprocals 1 + (1 / 𝐴)↑1 + (1 / 𝐴)↑2... is 𝐴 / (𝐴 − 1). (Contributed by rpenner, 3-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
geoisumr	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((1 / 𝐴)↑𝑘) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Proof of Theorem geoisumr

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12666	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12377	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → 0 ∈ ℤ)
3		oveq2 7315	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 𝐴)↑𝑛) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑛))
5		ovex 7340	. . . 4 ⊢ ((1 / 𝐴)↑𝑘) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6907	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
7	6	adantl 483	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
8		0le1 11544	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
9		0re 11023	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		1re 11021	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
11	9, 10	lenlti 11141	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
12	8, 11	mpbi 229	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1 < 0
13		fveq2 6804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = (abs‘0))
14		abs0 15042	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘0) = 0
15	13, 14	eqtrdi 2792	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = 0)
16	15	breq2d 5093	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ 1 < 0))
17	12, 16	mtbiri 327	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 1 < (abs‘𝐴))
18	17	necon2ai 2971	. . . 4 ⊢ (1 < (abs‘𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
19		reccl 11686	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
20	18, 19	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
21		expcl 13846	. . 3 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
22	20, 21	sylan 581	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
23		simpl 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
24		simpr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → 1 < (abs‘𝐴))
25	23, 24, 7	georeclim 15629	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑛))) ⇝ (𝐴 / (𝐴 − 1)))
26	1, 2, 7, 22, 25	isumclim 15514	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((1 / 𝐴)↑𝑘) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2941   class class class wbr 5081   ↦ cmpt 5164  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  ℂcc 10915  0cc0 10917  1c1 10918   < clt 11055   ≤ cle 11056   − cmin 11251   / cdiv 11678  ℕ₀cn0 12279  ↑cexp 13828  abscabs 14990  Σcsu 15442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-inf2 9443  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-pm 8649  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-sup 9245  df-inf 9246  df-oi 9313  df-card 9741  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-rp 12777  df-fz 13286  df-fzo 13429  df-fl 13558  df-seq 13768  df-exp 13829  df-hash 14091  df-cj 14855  df-re 14856  df-im 14857  df-sqrt 14991  df-abs 14992  df-clim 15242  df-rlim 15243  df-sum 15443

This theorem is referenced by: (None)