MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geoisumr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geoisumr 15866
Description: The infinite sum of reciprocals 1 + (1 / 𝐴)↑1 + (1 / 𝐴)↑2... is 𝐴 / (𝐴 − 1). (Contributed by rpenner, 3-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
geoisumr ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((1 / 𝐴)↑𝑘) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Proof of Theorem geoisumr
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12904 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 12610 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → 0 ∈ ℤ)
3 oveq2 7434 . . . 4 (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 𝐴)↑𝑛) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
4 eqid 2728 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑛))
5 ovex 7459 . . . 4 ((1 / 𝐴)↑𝑘) ∈ V
63, 4, 5fvmpt 7010 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
76adantl 480 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
8 0le1 11777 . . . . . . 7 0 ≤ 1
9 0re 11256 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
10 1re 11254 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
119, 10lenlti 11374 . . . . . . 7 (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
128, 11mpbi 229 . . . . . 6 ¬ 1 < 0
13 fveq2 6902 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = (abs‘0))
14 abs0 15274 . . . . . . . 8 (abs‘0) = 0
1513, 14eqtrdi 2784 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = 0)
1615breq2d 5164 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ 1 < 0))
1712, 16mtbiri 326 . . . . 5 (𝐴 = 0 → ¬ 1 < (abs‘𝐴))
1817necon2ai 2967 . . . 4 (1 < (abs‘𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
19 reccl 11919 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
2018, 19sylan2 591 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
21 expcl 14086 . . 3 (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
2220, 21sylan 578 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
23 simpl 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
24 simpr 483 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → 1 < (abs‘𝐴))
2523, 24, 7georeclim 15860 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑛))) ⇝ (𝐴 / (𝐴 − 1)))
261, 2, 7, 22, 25isumclim 15745 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 < (abs‘𝐴)) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((1 / 𝐴)↑𝑘) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937   class class class wbr 5152  cmpt 5235  cfv 6553  (class class class)co 7426  cc 11146  0cc0 11148  1c1 11149   < clt 11288  cle 11289  cmin 11484   / cdiv 11911  0cn0 12512  cexp 14068  abscabs 15223  Σcsu 15674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-pm 8856  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-clim 15474  df-rlim 15475  df-sum 15675
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator