Theorem umgrislfupgrlem 29579

Description: Lemma for umgrislfupgr 29580 and usgrislfuspgr 29647. (Contributed by AV, 27-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
umgrislfupgrlem	⊢ ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Proof of Theorem umgrislfupgrlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2pos 12369	. . . 4 ⊢ 0 < 2
2		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)
3		fveq2 6878	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = (♯‘∅))
4		hash0 14431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (♯‘∅) = 0
5	3, 4	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = 0)
6	5	breq2d 5115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ∅ → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ 0))
7		2re 12339	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		0re 11234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
9	7, 8	lenlti 11354	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ≤ 0 ↔ ¬ 0 < 2)
10		pm2.21 124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 0 < 2 → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅))
11	9, 10	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ≤ 0 → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅))
12	6, 11	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ∅ → (2 ≤ (♯‘𝑥) → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅)))
13	12	adantld 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅)))
14	13	impcomd 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → 𝑥 ≠ ∅))
15		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ≠ ∅ → ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → 𝑥 ≠ ∅))
16	14, 15	pm2.61ine 3038	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → 𝑥 ≠ ∅)
17		eldifsn 4748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
18	2, 16, 17	sylanbrc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
19		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → 2 ≤ (♯‘𝑥))
20	18, 19	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)))
21	20	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))))
22		eldifi 4078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)
23	22	anim1i 627	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)))
24	21, 23	impbid1 228	. . . . 5 ⊢ (0 < 2 → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))))
25	24	rabbidva2 3414	. . . 4 ⊢ (0 < 2 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
26	1, 25	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
27	26	ineq2i 4163	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) = ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
28		inrab 4262	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ((♯‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))}
29		hashxnn0 14403	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0*)
30	29	elv 3455	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝑥) ∈ ℕ0*
31		xnn0xr 12606	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑥) ∈ ℕ0* → (♯‘𝑥) ∈ ℝ*)
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝑥) ∈ ℝ*
33	7	rexri 11291	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ*
34		xrletri3 13205	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) → ((♯‘𝑥) = 2 ↔ ((♯‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))))
35	32, 33, 34	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 ↔ ((♯‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)))
36	35	bicomi 227	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) ↔ (♯‘𝑥) = 2)
37	36	rabbii 3417	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ((♯‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))} = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
38	27, 28, 37	3eqtri 2787	1 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  {crab 3412  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  {csn 4584   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  0cc0 11124  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268  2c2 12319  ℕ₀^*cxnn0 12601  ♯chash 14394

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-hash 14395

This theorem is used by:  umgrislfupgr  29580  usgrislfuspgr  29647