Theorem umgrislfupgrlem 29139

Description: Lemma for umgrislfupgr 29140 and usgrislfuspgr 29204. (Contributed by AV, 27-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
umgrislfupgrlem	⊢ ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Proof of Theorem umgrislfupgrlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2pos 12369	. . . 4 ⊢ 0 < 2
2		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)
3		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = (♯‘∅))
4		hash0 14406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (♯‘∅) = 0
5	3, 4	eqtrdi 2793	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = 0)
6	5	breq2d 5155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ∅ → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ 0))
7		2re 12340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		0re 11263	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
9	7, 8	lenlti 11381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ≤ 0 ↔ ¬ 0 < 2)
10		pm2.21 123	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 0 < 2 → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅))
11	9, 10	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ≤ 0 → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅))
12	6, 11	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ∅ → (2 ≤ (♯‘𝑥) → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅)))
13	12	adantld 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅)))
14	13	impcomd 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → 𝑥 ≠ ∅))
15		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ≠ ∅ → ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → 𝑥 ≠ ∅))
16	14, 15	pm2.61ine 3025	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → 𝑥 ≠ ∅)
17		eldifsn 4786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
18	2, 16, 17	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
19		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → 2 ≤ (♯‘𝑥))
20	18, 19	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)))
21	20	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))))
22		eldifi 4131	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)
23	22	anim1i 615	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)))
24	21, 23	impbid1 225	. . . . 5 ⊢ (0 < 2 → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))))
25	24	rabbidva2 3438	. . . 4 ⊢ (0 < 2 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
26	1, 25	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
27	26	ineq2i 4217	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) = ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
28		inrab 4316	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ((♯‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))}
29		hashxnn0 14378	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0*)
30	29	elv 3485	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝑥) ∈ ℕ0*
31		xnn0xr 12604	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑥) ∈ ℕ0* → (♯‘𝑥) ∈ ℝ*)
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝑥) ∈ ℝ*
33	7	rexri 11319	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ*
34		xrletri3 13196	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) → ((♯‘𝑥) = 2 ↔ ((♯‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))))
35	32, 33, 34	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 ↔ ((♯‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)))
36	35	bicomi 224	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) ↔ (♯‘𝑥) = 2)
37	36	rabbii 3442	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ((♯‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))} = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
38	27, 28, 37	3eqtri 2769	1 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  {crab 3436  Vcvv 3480   ∖ cdif 3948   ∩ cin 3950  ∅c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  0cc0 11155  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296  2c2 12321  ℕ₀^*cxnn0 12599  ♯chash 14369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370

This theorem is referenced by:  umgrislfupgr  29140  usgrislfuspgr  29204