Theorem umgrislfupgrlem 29101

Description: Lemma for umgrislfupgr 29102 and usgrislfuspgr 29166. (Contributed by AV, 27-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
umgrislfupgrlem	⊢ ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Proof of Theorem umgrislfupgrlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2pos 12343	. . . 4 ⊢ 0 < 2
2		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)
3		fveq2 6876	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = (♯‘∅))
4		hash0 14385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (♯‘∅) = 0
5	3, 4	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = 0)
6	5	breq2d 5131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ∅ → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ 0))
7		2re 12314	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		0re 11237	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
9	7, 8	lenlti 11355	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ≤ 0 ↔ ¬ 0 < 2)
10		pm2.21 123	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 0 < 2 → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅))
11	9, 10	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ≤ 0 → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅))
12	6, 11	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ∅ → (2 ≤ (♯‘𝑥) → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅)))
13	12	adantld 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅)))
14	13	impcomd 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → 𝑥 ≠ ∅))
15		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ≠ ∅ → ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → 𝑥 ≠ ∅))
16	14, 15	pm2.61ine 3015	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → 𝑥 ≠ ∅)
17		eldifsn 4762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
18	2, 16, 17	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
19		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → 2 ≤ (♯‘𝑥))
20	18, 19	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)))
21	20	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))))
22		eldifi 4106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)
23	22	anim1i 615	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)))
24	21, 23	impbid1 225	. . . . 5 ⊢ (0 < 2 → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))))
25	24	rabbidva2 3417	. . . 4 ⊢ (0 < 2 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
26	1, 25	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
27	26	ineq2i 4192	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) = ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
28		inrab 4291	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ((♯‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))}
29		hashxnn0 14357	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0*)
30	29	elv 3464	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝑥) ∈ ℕ0*
31		xnn0xr 12579	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑥) ∈ ℕ0* → (♯‘𝑥) ∈ ℝ*)
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝑥) ∈ ℝ*
33	7	rexri 11293	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ*
34		xrletri3 13170	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) → ((♯‘𝑥) = 2 ↔ ((♯‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))))
35	32, 33, 34	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 ↔ ((♯‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)))
36	35	bicomi 224	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) ↔ (♯‘𝑥) = 2)
37	36	rabbii 3421	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ((♯‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))} = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
38	27, 28, 37	3eqtri 2762	1 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  {crab 3415  Vcvv 3459   ∖ cdif 3923   ∩ cin 3925  ∅c0 4308  𝒫 cpw 4575  {csn 4601   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  0cc0 11129  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ≤ cle 11270  2c2 12295  ℕ₀^*cxnn0 12574  ♯chash 14348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-hash 14349

This theorem is referenced by:  umgrislfupgr  29102  usgrislfuspgr  29166