Theorem umgrislfupgrlem 29209

Description: Lemma for umgrislfupgr 29210 and usgrislfuspgr 29274. (Contributed by AV, 27-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
umgrislfupgrlem	⊢ ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Proof of Theorem umgrislfupgrlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2pos 12275	. . . 4 ⊢ 0 < 2
2		simprl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)
3		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = (♯‘∅))
4		hash0 14320	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (♯‘∅) = 0
5	3, 4	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = 0)
6	5	breq2d 5084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ∅ → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ 0))
7		2re 12246	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		0re 11137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
9	7, 8	lenlti 11257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ≤ 0 ↔ ¬ 0 < 2)
10		pm2.21 123	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 0 < 2 → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅))
11	9, 10	sylbi 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ≤ 0 → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅))
12	6, 11	biimtrdi 254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ∅ → (2 ≤ (♯‘𝑥) → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅)))
13	12	adantld 491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅)))
14	13	impcomd 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → 𝑥 ≠ ∅))
15		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ≠ ∅ → ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → 𝑥 ≠ ∅))
16	14, 15	pm2.61ine 3017	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → 𝑥 ≠ ∅)
17		eldifsn 4719	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
18	2, 16, 17	sylanbrc 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
19		simprr 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → 2 ≤ (♯‘𝑥))
20	18, 19	jca 516	. . . . . . 7 ⊢ ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)))
21	20	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))))
22		eldifi 4061	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)
23	22	anim1i 621	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)))
24	21, 23	impbid1 226	. . . . 5 ⊢ (0 < 2 → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))))
25	24	rabbidva2 3393	. . . 4 ⊢ (0 < 2 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
26	1, 25	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
27	26	ineq2i 4146	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) = ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
28		inrab 4244	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ((♯‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))}
29		hashxnn0 14292	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0*)
30	29	elv 3436	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝑥) ∈ ℕ0*
31		xnn0xr 12506	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑥) ∈ ℕ0* → (♯‘𝑥) ∈ ℝ*)
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝑥) ∈ ℝ*
33	7	rexri 11194	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ*
34		xrletri3 13096	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) → ((♯‘𝑥) = 2 ↔ ((♯‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))))
35	32, 33, 34	mp2an 698	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 ↔ ((♯‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)))
36	35	bicomi 225	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) ↔ (♯‘𝑥) = 2)
37	36	rabbii 3396	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ((♯‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))} = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
38	27, 28, 37	3eqtri 2766	1 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  {crab 3391  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880   ∩ cin 3882  ∅c0 4261  𝒫 cpw 4529  {csn 4555   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  0cc0 11029  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171  2c2 12227  ℕ₀^*cxnn0 12501  ♯chash 14283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-hash 14284

This theorem is referenced by:  umgrislfupgr  29210  usgrislfuspgr  29274