Theorem umgrislfupgrlem 29503

Description: Lemma for umgrislfupgr 29504 and usgrislfuspgr 29571. (Contributed by AV, 27-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
umgrislfupgrlem	⊢ ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Proof of Theorem umgrislfupgrlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2pos 12356	. . . 4 ⊢ 0 < 2
2		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)
3		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = (♯‘∅))
4		hash0 14417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (♯‘∅) = 0
5	3, 4	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = 0)
6	5	breq2d 5123	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ∅ → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ 0))
7		2re 12326	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		0re 11221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
9	7, 8	lenlti 11341	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ≤ 0 ↔ ¬ 0 < 2)
10		pm2.21 124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 0 < 2 → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅))
11	9, 10	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ≤ 0 → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅))
12	6, 11	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ∅ → (2 ≤ (♯‘𝑥) → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅)))
13	12	adantld 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅)))
14	13	impcomd 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → 𝑥 ≠ ∅))
15		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ≠ ∅ → ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → 𝑥 ≠ ∅))
16	14, 15	pm2.61ine 3043	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → 𝑥 ≠ ∅)
17		eldifsn 4755	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
18	2, 16, 17	sylanbrc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
19		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → 2 ≤ (♯‘𝑥))
20	18, 19	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)))
21	20	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))))
22		eldifi 4085	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)
23	22	anim1i 627	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)))
24	21, 23	impbid1 228	. . . . 5 ⊢ (0 < 2 → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))))
25	24	rabbidva2 3420	. . . 4 ⊢ (0 < 2 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
26	1, 25	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
27	26	ineq2i 4170	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) = ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
28		inrab 4269	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ((♯‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))}
29		hashxnn0 14389	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0*)
30	29	elv 3462	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝑥) ∈ ℕ0*
31		xnn0xr 12593	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑥) ∈ ℕ0* → (♯‘𝑥) ∈ ℝ*)
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝑥) ∈ ℝ*
33	7	rexri 11278	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ*
34		xrletri3 13191	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) → ((♯‘𝑥) = 2 ↔ ((♯‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))))
35	32, 33, 34	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑥) = 2 ↔ ((♯‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)))
36	35	bicomi 227	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥)) ↔ (♯‘𝑥) = 2)
37	36	rabbii 3423	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ((♯‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑥))} = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
38	27, 28, 37	3eqtri 2792	1 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  {crab 3418  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903   ∩ cin 3905  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4564  {csn 4591   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  0cc0 11111  ℝ^*cxr 11253   < clt 11254   ≤ cle 11255  2c2 12306  ℕ₀^*cxnn0 12588  ♯chash 14380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-n0 12516  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-uz 12875  df-fz 13548  df-hash 14381

This theorem is used by:  umgrislfupgr  29504  usgrislfuspgr  29571