Theorem limsup10ex 45223

Description: The superior limit of a function that alternates between two values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
limsup10ex.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))

Assertion

Ref	Expression
limsup10ex	⊢ (lim sup‘𝐹) = 1

Proof of Theorem limsup10ex

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nftru 1798	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘⊤
2		nnex 12246	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℕ ∈ V)
4		limsup10ex.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
5		0xr 11289	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ*)
7		1xr 11301	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ*)
9	6, 8	ifcld 4570	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ ℝ*)
10	4, 9	fmpti 7116	. . . . 5 ⊢ 𝐹:ℕ⟶ℝ*
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐹:ℕ⟶ℝ*)
12		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
13	1, 3, 11, 12	limsupval3 45142	. . 3 ⊢ (⊤ → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
14	13	mptru 1540	. 2 ⊢ (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < )
15		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ ℝ)
16	4, 15	limsup10exlem 45222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = {0, 1})
17	16	supeq1d 9467	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = sup({0, 1}, ℝ*, < ))
18		xrltso 13150	. . . . . . . . 9 ⊢ < Or ℝ*
19		suppr 9492	. . . . . . . . 9 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → sup({0, 1}, ℝ*, < ) = if(1 < 0, 0, 1))
20	18, 5, 7, 19	mp3an 1457	. . . . . . . 8 ⊢ sup({0, 1}, ℝ*, < ) = if(1 < 0, 0, 1)
21		0le1 11765	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
22		0re 11244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
23		1re 11242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
24	22, 23	lenlti 11362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
25	21, 24	mpbi 229	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 1 < 0
26	25	iffalsei 4534	. . . . . . . 8 ⊢ if(1 < 0, 0, 1) = 1
27	20, 26	eqtri 2753	. . . . . . 7 ⊢ sup({0, 1}, ℝ*, < ) = 1
28	17, 27	eqtrdi 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = 1)
29	28	mpteq2ia 5246	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1)
30	29	rneqi 5933	. . . 4 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1)
31		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1)
32		ren0 44846	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ≠ ∅
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℝ ≠ ∅)
34	31, 33	rnmptc 7214	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1) = {1})
35	34	mptru 1540	. . . 4 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1) = {1}
36	30, 35	eqtri 2753	. . 3 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = {1}
37	36	infeq1i 9499	. 2 ⊢ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf({1}, ℝ*, < )
38		infsn 9526	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → inf({1}, ℝ*, < ) = 1)
39	18, 7, 38	mp2an 690	. 2 ⊢ inf({1}, ℝ*, < ) = 1
40	14, 37, 39	3eqtri 2757	1 ⊢ (lim sup‘𝐹) = 1

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1533  ⊤wtru 1534   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  Vcvv 3463  ∅c0 4318  ifcif 4524  {csn 4624  {cpr 4626   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   Or wor 5583  ran crn 5673   “ cima 5675  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415  supcsup 9461  infcinf 9462  ℝcr 11135  0cc0 11136  1c1 11137  +∞cpnf 11273  ℝ^*cxr 11275   < clt 11276   ≤ cle 11277  ℕcn 12240  2c2 12295  [,)cico 13356  lim supclsp 15444   ∥ cdvds 16228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-ico 13360  df-fl 13787  df-ceil 13788  df-limsup 15445  df-dvds 16229

This theorem is referenced by:  liminfltlimsupex  45231