Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsup10ex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsup10ex 41930
Description: The superior limit of a function that alternates between two values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
limsup10ex.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
Assertion
Ref Expression
limsup10ex (lim sup‘𝐹) = 1

Proof of Theorem limsup10ex
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nftru 1796 . . . 4 𝑘
2 nnex 11632 . . . . 5 ℕ ∈ V
32a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℕ ∈ V)
4 limsup10ex.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
5 0xr 10676 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ*)
7 1xr 10688 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ*)
96, 8ifcld 4508 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ ℝ*)
104, 9fmpti 6868 . . . . 5 𝐹:ℕ⟶ℝ*
1110a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐹:ℕ⟶ℝ*)
12 eqid 2818 . . . 4 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
131, 3, 11, 12limsupval3 41849 . . 3 (⊤ → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
1413mptru 1535 . 2 (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < )
15 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ ℝ)
164, 15limsup10exlem 41929 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℝ → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = {0, 1})
1716supeq1d 8898 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = sup({0, 1}, ℝ*, < ))
18 xrltso 12522 . . . . . . . . . 10 < Or ℝ*
19 suppr 8923 . . . . . . . . . 10 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → sup({0, 1}, ℝ*, < ) = if(1 < 0, 0, 1))
2018, 5, 7, 19mp3an 1452 . . . . . . . . 9 sup({0, 1}, ℝ*, < ) = if(1 < 0, 0, 1)
21 0le1 11151 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 1
22 0re 10631 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
23 1re 10629 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
24 lenlt 10707 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0))
2522, 23, 24mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
2621, 25mpbi 231 . . . . . . . . . 10 ¬ 1 < 0
2726iffalsei 4473 . . . . . . . . 9 if(1 < 0, 0, 1) = 1
2820, 27eqtri 2841 . . . . . . . 8 sup({0, 1}, ℝ*, < ) = 1
2928a1i 11 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ → sup({0, 1}, ℝ*, < ) = 1)
3017, 29eqtrd 2853 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℝ → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = 1)
3130mpteq2ia 5148 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1)
3231rneqi 5800 . . . 4 ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1)
33 eqid 2818 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1)
3423elexi 3511 . . . . . . 7 1 ∈ V
3534a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 1 ∈ V)
36 ren0 41551 . . . . . . 7 ℝ ≠ ∅
3736a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ℝ ≠ ∅)
3833, 35, 37rnmptc 6961 . . . . 5 (⊤ → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1) = {1})
3938mptru 1535 . . . 4 ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1) = {1}
4032, 39eqtri 2841 . . 3 ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = {1}
4140infeq1i 8930 . 2 inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf({1}, ℝ*, < )
42 infsn 8957 . . 3 (( < Or ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → inf({1}, ℝ*, < ) = 1)
4318, 7, 42mp2an 688 . 2 inf({1}, ℝ*, < ) = 1
4414, 41, 433eqtri 2845 1 (lim sup‘𝐹) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wtru 1529  wcel 2105  wne 3013  Vcvv 3492  c0 4288  ifcif 4463  {csn 4557  {cpr 4559   class class class wbr 5057  cmpt 5137   Or wor 5466  ran crn 5549  cima 5551  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  supcsup 8892  infcinf 8893  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526  +∞cpnf 10660  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  cn 11626  2c2 11680  [,)cico 12728  lim supclsp 14815  cdvds 15595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ico 12732  df-fl 13150  df-ceil 13151  df-limsup 14816  df-dvds 15596
This theorem is referenced by:  liminfltlimsupex  41938
  Copyright terms: Public domain W3C validator