Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsup10ex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsup10ex 41596
Description: The superior limit of a function that alternates between two values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
limsup10ex.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
Assertion
Ref Expression
limsup10ex (lim sup‘𝐹) = 1

Proof of Theorem limsup10ex
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nftru 1786 . . . 4 𝑘
2 nnex 11492 . . . . 5 ℕ ∈ V
32a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℕ ∈ V)
4 limsup10ex.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
5 0xr 10534 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ*)
7 1xr 10547 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ*)
96, 8ifcld 4426 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ ℝ*)
104, 9fmpti 6739 . . . . 5 𝐹:ℕ⟶ℝ*
1110a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐹:ℕ⟶ℝ*)
12 eqid 2795 . . . 4 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
131, 3, 11, 12limsupval3 41515 . . 3 (⊤ → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
1413mptru 1529 . 2 (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < )
15 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ ℝ)
164, 15limsup10exlem 41595 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℝ → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = {0, 1})
1716supeq1d 8756 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = sup({0, 1}, ℝ*, < ))
18 xrltso 12384 . . . . . . . . . 10 < Or ℝ*
19 suppr 8781 . . . . . . . . . 10 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → sup({0, 1}, ℝ*, < ) = if(1 < 0, 0, 1))
2018, 5, 7, 19mp3an 1453 . . . . . . . . 9 sup({0, 1}, ℝ*, < ) = if(1 < 0, 0, 1)
21 0le1 11011 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 1
22 0re 10489 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
23 1re 10487 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
24 lenlt 10566 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0))
2522, 23, 24mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
2621, 25mpbi 231 . . . . . . . . . 10 ¬ 1 < 0
2726iffalsei 4391 . . . . . . . . 9 if(1 < 0, 0, 1) = 1
2820, 27eqtri 2819 . . . . . . . 8 sup({0, 1}, ℝ*, < ) = 1
2928a1i 11 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ → sup({0, 1}, ℝ*, < ) = 1)
3017, 29eqtrd 2831 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℝ → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = 1)
3130mpteq2ia 5051 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1)
3231rneqi 5689 . . . 4 ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1)
33 eqid 2795 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1)
3423elexi 3456 . . . . . . 7 1 ∈ V
3534a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 1 ∈ V)
36 ren0 41216 . . . . . . 7 ℝ ≠ ∅
3736a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ℝ ≠ ∅)
3833, 35, 37rnmptc 6836 . . . . 5 (⊤ → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1) = {1})
3938mptru 1529 . . . 4 ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1) = {1}
4032, 39eqtri 2819 . . 3 ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = {1}
4140infeq1i 8788 . 2 inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf({1}, ℝ*, < )
42 infsn 8815 . . 3 (( < Or ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → inf({1}, ℝ*, < ) = 1)
4318, 7, 42mp2an 688 . 2 inf({1}, ℝ*, < ) = 1
4414, 41, 433eqtri 2823 1 (lim sup‘𝐹) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wtru 1523  wcel 2081  wne 2984  Vcvv 3437  c0 4211  ifcif 4381  {csn 4472  {cpr 4474   class class class wbr 4962  cmpt 5041   Or wor 5361  ran crn 5444  cima 5446  wf 6221  cfv 6225  (class class class)co 7016  supcsup 8750  infcinf 8751  cr 10382  0cc0 10383  1c1 10384  +∞cpnf 10518  *cxr 10520   < clt 10521  cle 10522  cn 11486  2c2 11540  [,)cico 12590  lim supclsp 14661  cdvds 15440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-ico 12594  df-fl 13012  df-ceil 13013  df-limsup 14662  df-dvds 15441
This theorem is referenced by:  liminfltlimsupex  41604
  Copyright terms: Public domain W3C validator