Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsup10ex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsup10ex 45788
Description: The superior limit of a function that alternates between two values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
limsup10ex.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
Assertion
Ref Expression
limsup10ex (lim sup‘𝐹) = 1

Proof of Theorem limsup10ex
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nftru 1804 . . . 4 𝑘
2 nnex 12272 . . . . 5 ℕ ∈ V
32a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℕ ∈ V)
4 limsup10ex.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
5 0xr 11308 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ*)
7 1xr 11320 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ*)
96, 8ifcld 4572 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ ℝ*)
104, 9fmpti 7132 . . . . 5 𝐹:ℕ⟶ℝ*
1110a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐹:ℕ⟶ℝ*)
12 eqid 2737 . . . 4 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
131, 3, 11, 12limsupval3 45707 . . 3 (⊤ → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
1413mptru 1547 . 2 (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < )
15 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ ℝ)
164, 15limsup10exlem 45787 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℝ → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = {0, 1})
1716supeq1d 9486 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = sup({0, 1}, ℝ*, < ))
18 xrltso 13183 . . . . . . . . 9 < Or ℝ*
19 suppr 9511 . . . . . . . . 9 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → sup({0, 1}, ℝ*, < ) = if(1 < 0, 0, 1))
2018, 5, 7, 19mp3an 1463 . . . . . . . 8 sup({0, 1}, ℝ*, < ) = if(1 < 0, 0, 1)
21 0le1 11786 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 1
22 0re 11263 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
23 1re 11261 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
2422, 23lenlti 11381 . . . . . . . . . 10 (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
2521, 24mpbi 230 . . . . . . . . 9 ¬ 1 < 0
2625iffalsei 4535 . . . . . . . 8 if(1 < 0, 0, 1) = 1
2720, 26eqtri 2765 . . . . . . 7 sup({0, 1}, ℝ*, < ) = 1
2817, 27eqtrdi 2793 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℝ → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = 1)
2928mpteq2ia 5245 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1)
3029rneqi 5948 . . . 4 ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1)
31 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1)
32 ren0 45413 . . . . . . 7 ℝ ≠ ∅
3332a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ℝ ≠ ∅)
3431, 33rnmptc 7227 . . . . 5 (⊤ → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1) = {1})
3534mptru 1547 . . . 4 ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1) = {1}
3630, 35eqtri 2765 . . 3 ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = {1}
3736infeq1i 9518 . 2 inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf({1}, ℝ*, < )
38 infsn 9545 . . 3 (( < Or ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → inf({1}, ℝ*, < ) = 1)
3918, 7, 38mp2an 692 . 2 inf({1}, ℝ*, < ) = 1
4014, 37, 393eqtri 2769 1 (lim sup‘𝐹) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  c0 4333  ifcif 4525  {csn 4626  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cmpt 5225   Or wor 5591  ran crn 5686  cima 5688  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  supcsup 9480  infcinf 9481  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cn 12266  2c2 12321  [,)cico 13389  lim supclsp 15506  cdvds 16290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fl 13832  df-ceil 13833  df-limsup 15507  df-dvds 16291
This theorem is referenced by:  liminfltlimsupex  45796
  Copyright terms: Public domain W3C validator