Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsup10ex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsup10ex 40482
Description: The superior limit of a function that alternates between two values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
limsup10ex.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
Assertion
Ref Expression
limsup10ex (lim sup‘𝐹) = 1

Proof of Theorem limsup10ex
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nftru 1886 . . . 4 𝑘
2 nnex 11307 . . . . 5 ℕ ∈ V
32a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℕ ∈ V)
4 limsup10ex.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
5 0xr 10367 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ*)
7 1re 10321 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
87rexri 10378 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ*)
106, 9ifcld 4324 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ ℝ*)
114, 10fmpti 6600 . . . . 5 𝐹:ℕ⟶ℝ*
1211a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐹:ℕ⟶ℝ*)
13 eqid 2806 . . . 4 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
141, 3, 12, 13limsupval3 40401 . . 3 (⊤ → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
1514mptru 1645 . 2 (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < )
16 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ ℝ)
174, 16limsup10exlem 40481 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℝ → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = {0, 1})
1817supeq1d 8587 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = sup({0, 1}, ℝ*, < ))
19 xrltso 12186 . . . . . . . . . 10 < Or ℝ*
20 suppr 8612 . . . . . . . . . 10 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → sup({0, 1}, ℝ*, < ) = if(1 < 0, 0, 1))
2119, 5, 8, 20mp3an 1578 . . . . . . . . 9 sup({0, 1}, ℝ*, < ) = if(1 < 0, 0, 1)
22 0le1 10832 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 1
23 0re 10323 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
24 lenlt 10397 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0))
2523, 7, 24mp2an 675 . . . . . . . . . . 11 (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
2622, 25mpbi 221 . . . . . . . . . 10 ¬ 1 < 0
2726iffalsei 4289 . . . . . . . . 9 if(1 < 0, 0, 1) = 1
2821, 27eqtri 2828 . . . . . . . 8 sup({0, 1}, ℝ*, < ) = 1
2928a1i 11 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℝ → sup({0, 1}, ℝ*, < ) = 1)
3018, 29eqtrd 2840 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℝ → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = 1)
3130mpteq2ia 4934 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1)
3231rneqi 5553 . . . 4 ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1)
33 eqid 2806 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1)
347elexi 3407 . . . . . . 7 1 ∈ V
3534a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 1 ∈ V)
36 ren0 40102 . . . . . . 7 ℝ ≠ ∅
3736a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ℝ ≠ ∅)
3833, 35, 37rnmptc 39839 . . . . 5 (⊤ → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1) = {1})
3938mptru 1645 . . . 4 ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1) = {1}
4032, 39eqtri 2828 . . 3 ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = {1}
4140infeq1i 8619 . 2 inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf({1}, ℝ*, < )
42 infsn 8645 . . 3 (( < Or ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → inf({1}, ℝ*, < ) = 1)
4319, 8, 42mp2an 675 . 2 inf({1}, ℝ*, < ) = 1
4415, 41, 433eqtri 2832 1 (lim sup‘𝐹) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wtru 1638  wcel 2156  wne 2978  Vcvv 3391  c0 4116  ifcif 4279  {csn 4370  {cpr 4372   class class class wbr 4844  cmpt 4923   Or wor 5231  ran crn 5312  cima 5314  wf 6093  cfv 6097  (class class class)co 6870  supcsup 8581  infcinf 8582  cr 10216  0cc0 10217  1c1 10218  +∞cpnf 10352  *cxr 10354   < clt 10355  cle 10356  cn 11301  2c2 11352  [,)cico 12391  lim supclsp 14420  cdvds 15199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294  ax-pre-sup 10295
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-er 7975  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-sup 8583  df-inf 8584  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-div 10966  df-nn 11302  df-2 11360  df-n0 11556  df-z 11640  df-uz 11901  df-rp 12043  df-ico 12395  df-fl 12813  df-ceil 12814  df-limsup 14421  df-dvds 15200
This theorem is referenced by:  liminfltlimsupex  40490
  Copyright terms: Public domain W3C validator