Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsup10ex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsup10ex 44475
Description: The superior limit of a function that alternates between two values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
limsup10ex.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 1))
Assertion
Ref Expression
limsup10ex (lim supβ€˜πΉ) = 1

Proof of Theorem limsup10ex
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nftru 1806 . . . 4 β„²π‘˜βŠ€
2 nnex 12214 . . . . 5 β„• ∈ V
32a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ β„• ∈ V)
4 limsup10ex.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 1))
5 0xr 11257 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ 0 ∈ ℝ*)
7 1xr 11269 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ 1 ∈ ℝ*)
96, 8ifcld 4573 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• β†’ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, 1) ∈ ℝ*)
104, 9fmpti 7108 . . . . 5 𝐹:β„•βŸΆβ„*
1110a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„*)
12 eqid 2732 . . . 4 (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < )) = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < ))
131, 3, 11, 12limsupval3 44394 . . 3 (⊀ β†’ (lim supβ€˜πΉ) = inf(ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
1413mptru 1548 . 2 (lim supβ€˜πΉ) = inf(ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < )
15 id 22 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ ℝ β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
164, 15limsup10exlem 44474 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ ℝ β†’ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) = {0, 1})
1716supeq1d 9437 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ ℝ β†’ sup((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < ) = sup({0, 1}, ℝ*, < ))
18 xrltso 13116 . . . . . . . . 9 < Or ℝ*
19 suppr 9462 . . . . . . . . 9 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ sup({0, 1}, ℝ*, < ) = if(1 < 0, 0, 1))
2018, 5, 7, 19mp3an 1461 . . . . . . . 8 sup({0, 1}, ℝ*, < ) = if(1 < 0, 0, 1)
21 0le1 11733 . . . . . . . . . 10 0 ≀ 1
22 0re 11212 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
23 1re 11210 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
2422, 23lenlti 11330 . . . . . . . . . 10 (0 ≀ 1 ↔ Β¬ 1 < 0)
2521, 24mpbi 229 . . . . . . . . 9 Β¬ 1 < 0
2625iffalsei 4537 . . . . . . . 8 if(1 < 0, 0, 1) = 1
2720, 26eqtri 2760 . . . . . . 7 sup({0, 1}, ℝ*, < ) = 1
2817, 27eqtrdi 2788 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ ℝ β†’ sup((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < ) = 1)
2928mpteq2ia 5250 . . . . 5 (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < )) = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ 1)
3029rneqi 5934 . . . 4 ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < )) = ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ 1)
31 eqid 2732 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ ℝ ↦ 1) = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ 1)
32 ren0 44098 . . . . . . 7 ℝ β‰  βˆ…
3332a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ ℝ β‰  βˆ…)
3431, 33rnmptc 7204 . . . . 5 (⊀ β†’ ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ 1) = {1})
3534mptru 1548 . . . 4 ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ 1) = {1}
3630, 35eqtri 2760 . . 3 ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < )) = {1}
3736infeq1i 9469 . 2 inf(ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf({1}, ℝ*, < )
38 infsn 9496 . . 3 (( < Or ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ inf({1}, ℝ*, < ) = 1)
3918, 7, 38mp2an 690 . 2 inf({1}, ℝ*, < ) = 1
4014, 37, 393eqtri 2764 1 (lim supβ€˜πΉ) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   = wceq 1541  βŠ€wtru 1542   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474  βˆ…c0 4321  ifcif 4527  {csn 4627  {cpr 4629   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Or wor 5586  ran crn 5676   β€œ cima 5678  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  supcsup 9431  infcinf 9432  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107  +∞cpnf 11241  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245  β„•cn 12208  2c2 12263  [,)cico 13322  lim supclsp 15410   βˆ₯ cdvds 16193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fl 13753  df-ceil 13754  df-limsup 15411  df-dvds 16194
This theorem is referenced by:  liminfltlimsupex  44483
  Copyright terms: Public domain W3C validator