Theorem limsup10ex 42943

Description: The superior limit of a function that alternates between two values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
limsup10ex.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))

Assertion

Ref	Expression
limsup10ex	⊢ (lim sup‘𝐹) = 1

Proof of Theorem limsup10ex

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nftru 1812	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘⊤
2		nnex 11819	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℕ ∈ V)
4		limsup10ex.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
5		0xr 10863	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ*)
7		1xr 10875	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ*)
9	6, 8	ifcld 4475	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ ℝ*)
10	4, 9	fmpti 6918	. . . . 5 ⊢ 𝐹:ℕ⟶ℝ*
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐹:ℕ⟶ℝ*)
12		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
13	1, 3, 11, 12	limsupval3 42862	. . 3 ⊢ (⊤ → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
14	13	mptru 1550	. 2 ⊢ (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < )
15		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ ℝ)
16	4, 15	limsup10exlem 42942	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = {0, 1})
17	16	supeq1d 9051	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = sup({0, 1}, ℝ*, < ))
18		xrltso 12714	. . . . . . . . 9 ⊢ < Or ℝ*
19		suppr 9076	. . . . . . . . 9 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → sup({0, 1}, ℝ*, < ) = if(1 < 0, 0, 1))
20	18, 5, 7, 19	mp3an 1463	. . . . . . . 8 ⊢ sup({0, 1}, ℝ*, < ) = if(1 < 0, 0, 1)
21		0le1 11338	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
22		0re 10818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
23		1re 10816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
24	22, 23	lenlti 10935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
25	21, 24	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 1 < 0
26	25	iffalsei 4439	. . . . . . . 8 ⊢ if(1 < 0, 0, 1) = 1
27	20, 26	eqtri 2762	. . . . . . 7 ⊢ sup({0, 1}, ℝ*, < ) = 1
28	17, 27	eqtrdi 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = 1)
29	28	mpteq2ia 5135	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1)
30	29	rneqi 5795	. . . 4 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1)
31		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1)
32		ren0 42567	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ≠ ∅
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℝ ≠ ∅)
34	31, 33	rnmptc 7011	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1) = {1})
35	34	mptru 1550	. . . 4 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1) = {1}
36	30, 35	eqtri 2762	. . 3 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = {1}
37	36	infeq1i 9083	. 2 ⊢ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf({1}, ℝ*, < )
38		infsn 9110	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → inf({1}, ℝ*, < ) = 1)
39	18, 7, 38	mp2an 692	. 2 ⊢ inf({1}, ℝ*, < ) = 1
40	14, 37, 39	3eqtri 2766	1 ⊢ (lim sup‘𝐹) = 1

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1543  ⊤wtru 1544   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2935  Vcvv 3401  ∅c0 4227  ifcif 4429  {csn 4531  {cpr 4533   class class class wbr 5043   ↦ cmpt 5124   Or wor 5456  ran crn 5541   “ cima 5543  ⟶wf 6365  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202  supcsup 9045  infcinf 9046  ℝcr 10711  0cc0 10712  1c1 10713  +∞cpnf 10847  ℝ^*cxr 10849   < clt 10850   ≤ cle 10851  ℕcn 11813  2c2 11868  [,)cico 12920  lim supclsp 15014   ∥ cdvds 15796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789  ax-pre-sup 10790

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-sup 9047  df-inf 9048  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-div 11473  df-nn 11814  df-2 11876  df-n0 12074  df-z 12160  df-uz 12422  df-rp 12570  df-ico 12924  df-fl 13350  df-ceil 13351  df-limsup 15015  df-dvds 15797

This theorem is referenced by:  liminfltlimsupex  42951