Theorem limsup10ex 41596

Description: The superior limit of a function that alternates between two values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
limsup10ex.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))

Assertion

Ref	Expression
limsup10ex	⊢ (lim sup‘𝐹) = 1

Proof of Theorem limsup10ex

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nftru 1786	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘⊤
2		nnex 11492	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℕ ∈ V)
4		limsup10ex.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
5		0xr 10534	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ*)
7		1xr 10547	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ*)
9	6, 8	ifcld 4426	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ ℝ*)
10	4, 9	fmpti 6739	. . . . 5 ⊢ 𝐹:ℕ⟶ℝ*
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐹:ℕ⟶ℝ*)
12		eqid 2795	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
13	1, 3, 11, 12	limsupval3 41515	. . 3 ⊢ (⊤ → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
14	13	mptru 1529	. 2 ⊢ (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < )
15		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ ℝ)
16	4, 15	limsup10exlem 41595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = {0, 1})
17	16	supeq1d 8756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = sup({0, 1}, ℝ*, < ))
18		xrltso 12384	. . . . . . . . . 10 ⊢ < Or ℝ*
19		suppr 8781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → sup({0, 1}, ℝ*, < ) = if(1 < 0, 0, 1))
20	18, 5, 7, 19	mp3an 1453	. . . . . . . . 9 ⊢ sup({0, 1}, ℝ*, < ) = if(1 < 0, 0, 1)
21		0le1 11011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 1
22		0re 10489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
23		1re 10487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
24		lenlt 10566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0))
25	22, 23, 24	mp2an 688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
26	21, 25	mpbi 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 1 < 0
27	26	iffalsei 4391	. . . . . . . . 9 ⊢ if(1 < 0, 0, 1) = 1
28	20, 27	eqtri 2819	. . . . . . . 8 ⊢ sup({0, 1}, ℝ*, < ) = 1
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → sup({0, 1}, ℝ*, < ) = 1)
30	17, 29	eqtrd 2831	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = 1)
31	30	mpteq2ia 5051	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1)
32	31	rneqi 5689	. . . 4 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1)
33		eqid 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1)
34	23	elexi 3456	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 1 ∈ V)
36		ren0 41216	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ≠ ∅
37	36	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℝ ≠ ∅)
38	33, 35, 37	rnmptc 6836	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1) = {1})
39	38	mptru 1529	. . . 4 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1) = {1}
40	32, 39	eqtri 2819	. . 3 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = {1}
41	40	infeq1i 8788	. 2 ⊢ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf({1}, ℝ*, < )
42		infsn 8815	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → inf({1}, ℝ*, < ) = 1)
43	18, 7, 42	mp2an 688	. 2 ⊢ inf({1}, ℝ*, < ) = 1
44	14, 41, 43	3eqtri 2823	1 ⊢ (lim sup‘𝐹) = 1

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1522  ⊤wtru 1523   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  Vcvv 3437  ∅c0 4211  ifcif 4381  {csn 4472  {cpr 4474   class class class wbr 4962   ↦ cmpt 5041   Or wor 5361  ran crn 5444   “ cima 5446  ⟶wf 6221  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  supcsup 8750  infcinf 8751  ℝcr 10382  0cc0 10383  1c1 10384  +∞cpnf 10518  ℝ^*cxr 10520   < clt 10521   ≤ cle 10522  ℕcn 11486  2c2 11540  [,)cico 12590  lim supclsp 14661   ∥ cdvds 15440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-ico 12594  df-fl 13012  df-ceil 13013  df-limsup 14662  df-dvds 15441

This theorem is referenced by:  liminfltlimsupex  41604