Theorem limsup10ex 40517

Description: The superior limit of a function that alternates between two values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
limsup10ex.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))

Assertion

Ref	Expression
limsup10ex	⊢ (lim sup‘𝐹) = 1

Proof of Theorem limsup10ex

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nftru 1877	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘⊤
2		nnex 11227	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℕ ∈ V)
4		limsup10ex.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
5		0xr 10287	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ*)
7		1re 10240	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
8	7	rexri 10298	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ*)
10	6, 9	ifcld 4268	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ ℝ*)
11	4, 10	fmpti 6525	. . . . 5 ⊢ 𝐹:ℕ⟶ℝ*
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐹:ℕ⟶ℝ*)
13		eqid 2770	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
14	1, 3, 12, 13	limsupval3 40436	. . 3 ⊢ (⊤ → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
15	14	trud 1640	. 2 ⊢ (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < )
16		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ ℝ)
17	4, 16	limsup10exlem 40516	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = {0, 1})
18	17	supeq1d 8507	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = sup({0, 1}, ℝ*, < ))
19		xrltso 12178	. . . . . . . . . 10 ⊢ < Or ℝ*
20		suppr 8532	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → sup({0, 1}, ℝ*, < ) = if(1 < 0, 0, 1))
21	19, 5, 8, 20	mp3an 1571	. . . . . . . . 9 ⊢ sup({0, 1}, ℝ*, < ) = if(1 < 0, 0, 1)
22		0le1 10752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 1
23		0re 10241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
24		lenlt 10317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0))
25	23, 7, 24	mp2an 664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
26	22, 25	mpbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 1 < 0
27	26	iffalsei 4233	. . . . . . . . 9 ⊢ if(1 < 0, 0, 1) = 1
28	21, 27	eqtri 2792	. . . . . . . 8 ⊢ sup({0, 1}, ℝ*, < ) = 1
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → sup({0, 1}, ℝ*, < ) = 1)
30	18, 29	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = 1)
31	30	mpteq2ia 4872	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1)
32	31	rneqi 5490	. . . 4 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1)
33		eqid 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1)
34	7	elexi 3362	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 1 ∈ V)
36		ren0 40136	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ≠ ∅
37	36	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℝ ≠ ∅)
38	33, 35, 37	rnmptc 39867	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1) = {1})
39	38	trud 1640	. . . 4 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1) = {1}
40	32, 39	eqtri 2792	. . 3 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = {1}
41	40	infeq1i 8539	. 2 ⊢ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf({1}, ℝ*, < )
42		infsn 8565	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → inf({1}, ℝ*, < ) = 1)
43	19, 8, 42	mp2an 664	. 2 ⊢ inf({1}, ℝ*, < ) = 1
44	15, 41, 43	3eqtri 2796	1 ⊢ (lim sup‘𝐹) = 1

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1630  ⊤wtru 1631   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2942  Vcvv 3349  ∅c0 4061  ifcif 4223  {csn 4314  {cpr 4316   class class class wbr 4784   ↦ cmpt 4861   Or wor 5169  ran crn 5250   “ cima 5252  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  supcsup 8501  infcinf 8502  ℝcr 10136  0cc0 10137  1c1 10138  +∞cpnf 10272  ℝ^*cxr 10274   < clt 10275   ≤ cle 10276  ℕcn 11221  2c2 11271  [,)cico 12381  lim supclsp 14408   ∥ cdvds 15188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-ico 12385  df-fl 12800  df-ceil 12801  df-limsup 14409  df-dvds 15189

This theorem is referenced by:  liminfltlimsupex  40525