Theorem limsup10ex 40482

Description: The superior limit of a function that alternates between two values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
limsup10ex.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))

Assertion

Ref	Expression
limsup10ex	⊢ (lim sup‘𝐹) = 1

Proof of Theorem limsup10ex

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nftru 1886	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘⊤
2		nnex 11307	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℕ ∈ V)
4		limsup10ex.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 1))
5		0xr 10367	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ*)
7		1re 10321	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
8	7	rexri 10378	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ*)
10	6, 9	ifcld 4324	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, 1) ∈ ℝ*)
11	4, 10	fmpti 6600	. . . . 5 ⊢ 𝐹:ℕ⟶ℝ*
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐹:ℕ⟶ℝ*)
13		eqid 2806	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
14	1, 3, 12, 13	limsupval3 40401	. . 3 ⊢ (⊤ → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
15	14	mptru 1645	. 2 ⊢ (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < )
16		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ ℝ)
17	4, 16	limsup10exlem 40481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = {0, 1})
18	17	supeq1d 8587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = sup({0, 1}, ℝ*, < ))
19		xrltso 12186	. . . . . . . . . 10 ⊢ < Or ℝ*
20		suppr 8612	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → sup({0, 1}, ℝ*, < ) = if(1 < 0, 0, 1))
21	19, 5, 8, 20	mp3an 1578	. . . . . . . . 9 ⊢ sup({0, 1}, ℝ*, < ) = if(1 < 0, 0, 1)
22		0le1 10832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 1
23		0re 10323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
24		lenlt 10397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0))
25	23, 7, 24	mp2an 675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
26	22, 25	mpbi 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 1 < 0
27	26	iffalsei 4289	. . . . . . . . 9 ⊢ if(1 < 0, 0, 1) = 1
28	21, 27	eqtri 2828	. . . . . . . 8 ⊢ sup({0, 1}, ℝ*, < ) = 1
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → sup({0, 1}, ℝ*, < ) = 1)
30	18, 29	eqtrd 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = 1)
31	30	mpteq2ia 4934	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1)
32	31	rneqi 5553	. . . 4 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1)
33		eqid 2806	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1)
34	7	elexi 3407	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 1 ∈ V)
36		ren0 40102	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ≠ ∅
37	36	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℝ ≠ ∅)
38	33, 35, 37	rnmptc 39839	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1) = {1})
39	38	mptru 1645	. . . 4 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ 1) = {1}
40	32, 39	eqtri 2828	. . 3 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = {1}
41	40	infeq1i 8619	. 2 ⊢ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf({1}, ℝ*, < )
42		infsn 8645	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → inf({1}, ℝ*, < ) = 1)
43	19, 8, 42	mp2an 675	. 2 ⊢ inf({1}, ℝ*, < ) = 1
44	15, 41, 43	3eqtri 2832	1 ⊢ (lim sup‘𝐹) = 1

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 197   ∧ wa 384   = wceq 1637  ⊤wtru 1638   ∈ wcel 2156   ≠ wne 2978  Vcvv 3391  ∅c0 4116  ifcif 4279  {csn 4370  {cpr 4372   class class class wbr 4844   ↦ cmpt 4923   Or wor 5231  ran crn 5312   “ cima 5314  ⟶wf 6093  ‘cfv 6097  (class class class)co 6870  supcsup 8581  infcinf 8582  ℝcr 10216  0cc0 10217  1c1 10218  +∞cpnf 10352  ℝ^*cxr 10354   < clt 10355   ≤ cle 10356  ℕcn 11301  2c2 11352  [,)cico 12391  lim supclsp 14420   ∥ cdvds 15199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294  ax-pre-sup 10295

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-er 7975  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-sup 8583  df-inf 8584  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-div 10966  df-nn 11302  df-2 11360  df-n0 11556  df-z 11640  df-uz 11901  df-rp 12043  df-ico 12395  df-fl 12813  df-ceil 12814  df-limsup 14421  df-dvds 15200

This theorem is referenced by:  liminfltlimsupex  40490