Theorem georeclim 14810

Description: The limit of a geometric series of reciprocals. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
georeclim.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
georeclim.2	⊢ (𝜑 → 1 < (abs‘𝐴))
georeclim.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))

Assertion

Ref	Expression
georeclim	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (𝐴 − 1)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem georeclim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		georeclim.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		georeclim.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < (abs‘𝐴))
3		0le1 10757	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
4		0re 10246	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 10245	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
6	4, 5	lenlti 10363	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
7	3, 6	mpbi 220	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 < 0
8		fveq2 6333	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = (abs‘0))
9		abs0 14233	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘0) = 0
10	8, 9	syl6eq 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = 0)
11	10	breq2d 4799	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ 1 < 0))
12	7, 11	mtbiri 316	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 1 < (abs‘𝐴))
13	12	necon2ai 2972	. . . . 5 ⊢ (1 < (abs‘𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
14	2, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
15	1, 14	reccld 11000	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
16		1cnd 10262	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
17	16, 1, 14	absdivd 14402	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) = ((abs‘1) / (abs‘𝐴)))
18		abs1 14245	. . . . . 6 ⊢ (abs‘1) = 1
19	18	oveq1i 6806	. . . . 5 ⊢ ((abs‘1) / (abs‘𝐴)) = (1 / (abs‘𝐴))
20	17, 19	syl6eq 2821	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) = (1 / (abs‘𝐴)))
21	1, 14	absrpcld 14395	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
22	21	recgt1d 12089	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ (1 / (abs‘𝐴)) < 1))
23	2, 22	mpbid 222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (abs‘𝐴)) < 1)
24	20, 23	eqbrtrd 4809	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) < 1)
25		georeclim.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
26	15, 24, 25	geolim 14808	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (1 / (1 − (1 / 𝐴))))
27	1, 16, 1, 14	divsubdird 11046	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 𝐴) = ((𝐴 / 𝐴) − (1 / 𝐴)))
28	1, 14	dividd 11005	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)
29	28	oveq1d 6811	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐴) − (1 / 𝐴)) = (1 − (1 / 𝐴)))
30	27, 29	eqtrd 2805	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 𝐴) = (1 − (1 / 𝐴)))
31	30	oveq2d 6812	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝐴 − 1) / 𝐴)) = (1 / (1 − (1 / 𝐴))))
32		ax-1cn 10200	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
33		subcl 10486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
34	1, 32, 33	sylancl 574	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
35	5	ltnri 10352	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 1 < 1
36		fveq2 6333	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = (abs‘1))
37	36, 18	syl6eq 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = 1)
38	37	breq2d 4799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 1 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ 1 < 1))
39	35, 38	mtbiri 316	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 1 → ¬ 1 < (abs‘𝐴))
40	39	necon2ai 2972	. . . . . 6 ⊢ (1 < (abs‘𝐴) → 𝐴 ≠ 1)
41	2, 40	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 1)
42		subeq0 10513	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) = 0 ↔ 𝐴 = 1))
43	1, 32, 42	sylancl 574	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) = 0 ↔ 𝐴 = 1))
44	43	necon3bid 2987	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 1))
45	41, 44	mpbird 247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ≠ 0)
46	34, 1, 45, 14	recdivd 11024	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝐴 − 1) / 𝐴)) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
47	31, 46	eqtr3d 2807	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 − (1 / 𝐴))) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
48	26, 47	breqtrd 4813	1 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (𝐴 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943   class class class wbr 4787  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  ℂcc 10140  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   < clt 10280   ≤ cle 10281   − cmin 10472   / cdiv 10890  ℕ₀cn0 11499  seqcseq 13008  ↑cexp 13067  abscabs 14182   ⇝ cli 14423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625

This theorem is referenced by:  geoisumr  14816  ege2le3  15026  eftlub  15045