Theorem georeclim 15850

Description: The limit of a geometric series of reciprocals. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
georeclim.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
georeclim.2	⊢ (𝜑 → 1 < (abs‘𝐴))
georeclim.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))

Assertion

Ref	Expression
georeclim	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (𝐴 − 1)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem georeclim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		georeclim.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		georeclim.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < (abs‘𝐴))
3		0le1 11767	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
4		0re 11246	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11244	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
6	4, 5	lenlti 11364	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
7	3, 6	mpbi 229	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 < 0
8		fveq2 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = (abs‘0))
9		abs0 15264	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘0) = 0
10	8, 9	eqtrdi 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = 0)
11	10	breq2d 5155	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ 1 < 0))
12	7, 11	mtbiri 326	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 1 < (abs‘𝐴))
13	12	necon2ai 2960	. . . . 5 ⊢ (1 < (abs‘𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
14	2, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
15	1, 14	reccld 12013	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
16		1cnd 11239	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
17	16, 1, 14	absdivd 15434	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) = ((abs‘1) / (abs‘𝐴)))
18		abs1 15276	. . . . . 6 ⊢ (abs‘1) = 1
19	18	oveq1i 7426	. . . . 5 ⊢ ((abs‘1) / (abs‘𝐴)) = (1 / (abs‘𝐴))
20	17, 19	eqtrdi 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) = (1 / (abs‘𝐴)))
21	1, 14	absrpcld 15427	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
22	21	recgt1d 13062	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ (1 / (abs‘𝐴)) < 1))
23	2, 22	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (abs‘𝐴)) < 1)
24	20, 23	eqbrtrd 5165	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) < 1)
25		georeclim.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
26	15, 24, 25	geolim 15848	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (1 / (1 − (1 / 𝐴))))
27	1, 16, 1, 14	divsubdird 12059	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 𝐴) = ((𝐴 / 𝐴) − (1 / 𝐴)))
28	1, 14	dividd 12018	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)
29	28	oveq1d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐴) − (1 / 𝐴)) = (1 − (1 / 𝐴)))
30	27, 29	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 𝐴) = (1 − (1 / 𝐴)))
31	30	oveq2d 7432	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝐴 − 1) / 𝐴)) = (1 / (1 − (1 / 𝐴))))
32		ax-1cn 11196	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
33		subcl 11489	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
34	1, 32, 33	sylancl 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
35	5	ltnri 11353	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 1 < 1
36		fveq2 6892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = (abs‘1))
37	36, 18	eqtrdi 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = 1)
38	37	breq2d 5155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 1 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ 1 < 1))
39	35, 38	mtbiri 326	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 1 → ¬ 1 < (abs‘𝐴))
40	39	necon2ai 2960	. . . . . 6 ⊢ (1 < (abs‘𝐴) → 𝐴 ≠ 1)
41	2, 40	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 1)
42		subeq0 11516	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) = 0 ↔ 𝐴 = 1))
43	1, 32, 42	sylancl 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) = 0 ↔ 𝐴 = 1))
44	43	necon3bid 2975	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 1))
45	41, 44	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ≠ 0)
46	34, 1, 45, 14	recdivd 12037	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝐴 − 1) / 𝐴)) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
47	31, 46	eqtr3d 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 − (1 / 𝐴))) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
48	26, 47	breqtrd 5169	1 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (𝐴 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930   class class class wbr 5143  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  ℂcc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   < clt 11278   ≤ cle 11279   − cmin 11474   / cdiv 11901  ℕ₀cn0 12502  seqcseq 13998  ↑cexp 14058  abscabs 15213   ⇝ cli 15460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665

This theorem is referenced by:  geoisumr  15856  ege2le3  16066  eftlub  16085