MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  georeclim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem georeclim 15824
Description: The limit of a geometric series of reciprocals. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
georeclim.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
georeclim.2 (𝜑 → 1 < (abs‘𝐴))
georeclim.3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
Assertion
Ref Expression
georeclim (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (𝐴 − 1)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem georeclim
StepHypRef Expression
1 georeclim.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 georeclim.2 . . . . 5 (𝜑 → 1 < (abs‘𝐴))
3 0le1 11741 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
4 0re 11220 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
5 1re 11218 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
64, 5lenlti 11338 . . . . . . . 8 (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
73, 6mpbi 229 . . . . . . 7 ¬ 1 < 0
8 fveq2 6885 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = (abs‘0))
9 abs0 15238 . . . . . . . . 9 (abs‘0) = 0
108, 9eqtrdi 2782 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = 0)
1110breq2d 5153 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ 1 < 0))
127, 11mtbiri 327 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → ¬ 1 < (abs‘𝐴))
1312necon2ai 2964 . . . . 5 (1 < (abs‘𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
142, 13syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ≠ 0)
151, 14reccld 11987 . . 3 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
16 1cnd 11213 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1716, 1, 14absdivd 15408 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) = ((abs‘1) / (abs‘𝐴)))
18 abs1 15250 . . . . . 6 (abs‘1) = 1
1918oveq1i 7415 . . . . 5 ((abs‘1) / (abs‘𝐴)) = (1 / (abs‘𝐴))
2017, 19eqtrdi 2782 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) = (1 / (abs‘𝐴)))
211, 14absrpcld 15401 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
2221recgt1d 13036 . . . . 5 (𝜑 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ (1 / (abs‘𝐴)) < 1))
232, 22mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (1 / (abs‘𝐴)) < 1)
2420, 23eqbrtrd 5163 . . 3 (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) < 1)
25 georeclim.3 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
2615, 24, 25geolim 15822 . 2 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (1 / (1 − (1 / 𝐴))))
271, 16, 1, 14divsubdird 12033 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 𝐴) = ((𝐴 / 𝐴) − (1 / 𝐴)))
281, 14dividd 11992 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)
2928oveq1d 7420 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐴) − (1 / 𝐴)) = (1 − (1 / 𝐴)))
3027, 29eqtrd 2766 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 𝐴) = (1 − (1 / 𝐴)))
3130oveq2d 7421 . . 3 (𝜑 → (1 / ((𝐴 − 1) / 𝐴)) = (1 / (1 − (1 / 𝐴))))
32 ax-1cn 11170 . . . . 5 1 ∈ ℂ
33 subcl 11463 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
341, 32, 33sylancl 585 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
355ltnri 11327 . . . . . . . 8 ¬ 1 < 1
36 fveq2 6885 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = (abs‘1))
3736, 18eqtrdi 2782 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = 1)
3837breq2d 5153 . . . . . . . 8 (𝐴 = 1 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ 1 < 1))
3935, 38mtbiri 327 . . . . . . 7 (𝐴 = 1 → ¬ 1 < (abs‘𝐴))
4039necon2ai 2964 . . . . . 6 (1 < (abs‘𝐴) → 𝐴 ≠ 1)
412, 40syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ 1)
42 subeq0 11490 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) = 0 ↔ 𝐴 = 1))
431, 32, 42sylancl 585 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 − 1) = 0 ↔ 𝐴 = 1))
4443necon3bid 2979 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 − 1) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 1))
4541, 44mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 − 1) ≠ 0)
4634, 1, 45, 14recdivd 12011 . . 3 (𝜑 → (1 / ((𝐴 − 1) / 𝐴)) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
4731, 46eqtr3d 2768 . 2 (𝜑 → (1 / (1 − (1 / 𝐴))) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
4826, 47breqtrd 5167 1 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (𝐴 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934   class class class wbr 5141  cfv 6537  (class class class)co 7405  cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252  cle 11253  cmin 11448   / cdiv 11875  0cn0 12476  seqcseq 13972  cexp 14032  abscabs 15187  cli 15434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639
This theorem is referenced by:  geoisumr  15830  ege2le3  16040  eftlub  16059
  Copyright terms: Public domain W3C validator