Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  georeclim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem georeclim 15231
 Description: The limit of a geometric series of reciprocals. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
georeclim.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
georeclim.2 (𝜑 → 1 < (abs‘𝐴))
georeclim.3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
Assertion
Ref Expression
georeclim (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (𝐴 − 1)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem georeclim
StepHypRef Expression
1 georeclim.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 georeclim.2 . . . . 5 (𝜑 → 1 < (abs‘𝐴))
3 0le1 11166 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
4 0re 10646 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
5 1re 10644 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
64, 5lenlti 10763 . . . . . . . 8 (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
73, 6mpbi 232 . . . . . . 7 ¬ 1 < 0
8 fveq2 6673 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = (abs‘0))
9 abs0 14648 . . . . . . . . 9 (abs‘0) = 0
108, 9syl6eq 2875 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = 0)
1110breq2d 5081 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ 1 < 0))
127, 11mtbiri 329 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → ¬ 1 < (abs‘𝐴))
1312necon2ai 3048 . . . . 5 (1 < (abs‘𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
142, 13syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ≠ 0)
151, 14reccld 11412 . . 3 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
16 1cnd 10639 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1716, 1, 14absdivd 14818 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) = ((abs‘1) / (abs‘𝐴)))
18 abs1 14660 . . . . . 6 (abs‘1) = 1
1918oveq1i 7169 . . . . 5 ((abs‘1) / (abs‘𝐴)) = (1 / (abs‘𝐴))
2017, 19syl6eq 2875 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) = (1 / (abs‘𝐴)))
211, 14absrpcld 14811 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
2221recgt1d 12448 . . . . 5 (𝜑 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ (1 / (abs‘𝐴)) < 1))
232, 22mpbid 234 . . . 4 (𝜑 → (1 / (abs‘𝐴)) < 1)
2420, 23eqbrtrd 5091 . . 3 (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) < 1)
25 georeclim.3 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
2615, 24, 25geolim 15229 . 2 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (1 / (1 − (1 / 𝐴))))
271, 16, 1, 14divsubdird 11458 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 𝐴) = ((𝐴 / 𝐴) − (1 / 𝐴)))
281, 14dividd 11417 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)
2928oveq1d 7174 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐴) − (1 / 𝐴)) = (1 − (1 / 𝐴)))
3027, 29eqtrd 2859 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 𝐴) = (1 − (1 / 𝐴)))
3130oveq2d 7175 . . 3 (𝜑 → (1 / ((𝐴 − 1) / 𝐴)) = (1 / (1 − (1 / 𝐴))))
32 ax-1cn 10598 . . . . 5 1 ∈ ℂ
33 subcl 10888 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
341, 32, 33sylancl 588 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
355ltnri 10752 . . . . . . . 8 ¬ 1 < 1
36 fveq2 6673 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = (abs‘1))
3736, 18syl6eq 2875 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = 1)
3837breq2d 5081 . . . . . . . 8 (𝐴 = 1 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ 1 < 1))
3935, 38mtbiri 329 . . . . . . 7 (𝐴 = 1 → ¬ 1 < (abs‘𝐴))
4039necon2ai 3048 . . . . . 6 (1 < (abs‘𝐴) → 𝐴 ≠ 1)
412, 40syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ 1)
42 subeq0 10915 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) = 0 ↔ 𝐴 = 1))
431, 32, 42sylancl 588 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 − 1) = 0 ↔ 𝐴 = 1))
4443necon3bid 3063 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 − 1) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 1))
4541, 44mpbird 259 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 − 1) ≠ 0)
4634, 1, 45, 14recdivd 11436 . . 3 (𝜑 → (1 / ((𝐴 − 1) / 𝐴)) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
4731, 46eqtr3d 2861 . 2 (𝜑 → (1 / (1 − (1 / 𝐴))) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
4826, 47breqtrd 5095 1 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (𝐴 − 1)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019   class class class wbr 5069  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  ℂcc 10538  0cc0 10540  1c1 10541   + caddc 10543   < clt 10678   ≤ cle 10679   − cmin 10873   / cdiv 11300  ℕ0cn0 11900  seqcseq 13372  ↑cexp 13432  abscabs 14596   ⇝ cli 14844 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-pm 8412  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-sup 8909  df-inf 8910  df-oi 8977  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-rlim 14849  df-sum 15046 This theorem is referenced by:  geoisumr  15237  ege2le3  15446  eftlub  15465
 Copyright terms: Public domain W3C validator