Theorem georeclim 15944

Description: The limit of a geometric series of reciprocals. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
georeclim.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
georeclim.2	⊢ (𝜑 → 1 < (abs‘𝐴))
georeclim.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))

Assertion

Ref	Expression
georeclim	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (𝐴 − 1)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem georeclim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		georeclim.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		georeclim.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < (abs‘𝐴))
3		0le1 11748	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
4		0re 11221	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11219	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
6	4, 5	lenlti 11341	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
7	3, 6	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 < 0
8		fveq2 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = (abs‘0))
9		abs0 15355	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘0) = 0
10	8, 9	eqtrdi 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = 0)
11	10	breq2d 5123	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ 1 < 0))
12	7, 11	mtbiri 330	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 1 < (abs‘𝐴))
13	12	necon2ai 2989	. . . . 5 ⊢ (1 < (abs‘𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
14	2, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
15	1, 14	reccld 11995	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
16		1cnd 11213	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
17	16, 1, 14	absdivd 15528	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) = ((abs‘1) / (abs‘𝐴)))
18		abs1 15367	. . . . . 6 ⊢ (abs‘1) = 1
19	18	oveq1i 7426	. . . . 5 ⊢ ((abs‘1) / (abs‘𝐴)) = (1 / (abs‘𝐴))
20	17, 19	eqtrdi 2816	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) = (1 / (abs‘𝐴)))
21	1, 14	absrpcld 15521	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
22	21	recgt1d 13085	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ (1 / (abs‘𝐴)) < 1))
23	2, 22	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (abs‘𝐴)) < 1)
24	20, 23	eqbrtrd 5135	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) < 1)
25		georeclim.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
26	15, 24, 25	geolim 15942	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (1 / (1 − (1 / 𝐴))))
27	1, 16, 1, 14	divsubdird 12041	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 𝐴) = ((𝐴 / 𝐴) − (1 / 𝐴)))
28	1, 14	dividd 12000	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)
29	28	oveq1d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐴) − (1 / 𝐴)) = (1 − (1 / 𝐴)))
30	27, 29	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 𝐴) = (1 − (1 / 𝐴)))
31	30	oveq2d 7432	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝐴 − 1) / 𝐴)) = (1 / (1 − (1 / 𝐴))))
32		ax-1cn 11169	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
33		subcl 11467	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
34	1, 32, 33	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
35	5	ltnri 11330	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 1 < 1
36		fveq2 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = (abs‘1))
37	36, 18	eqtrdi 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = 1)
38	37	breq2d 5123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 1 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ 1 < 1))
39	35, 38	mtbiri 330	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 1 → ¬ 1 < (abs‘𝐴))
40	39	necon2ai 2989	. . . . . 6 ⊢ (1 < (abs‘𝐴) → 𝐴 ≠ 1)
41	2, 40	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 1)
42		subeq0 11495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) = 0 ↔ 𝐴 = 1))
43	1, 32, 42	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) = 0 ↔ 𝐴 = 1))
44	43	necon3bid 3004	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 1))
45	41, 44	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ≠ 0)
46	34, 1, 45, 14	recdivd 12019	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝐴 − 1) / 𝐴)) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
47	31, 46	eqtr3d 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 − (1 / 𝐴))) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
48	26, 47	breqtrd 5139	1 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (𝐴 − 1)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   < clt 11254   ≤ cle 11255   − cmin 11452   / cdiv 11882  ℕ₀cn0 12515  seqcseq 14050  ↑cexp 14110  abscabs 15304   ⇝ cli 15554

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-rp 13028  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-fl 13838  df-seq 14051  df-exp 14111  df-hash 14380  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-clim 15558  df-rlim 15559  df-sum 15757

This theorem is used by:  geoisumr  15950  ege2le3  16161  eftlub  16182