MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  georeclim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem georeclim 15922
Description: The limit of a geometric series of reciprocals. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
georeclim.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
georeclim.2 (𝜑 → 1 < (abs‘𝐴))
georeclim.3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
Assertion
Ref Expression
georeclim (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (𝐴 − 1)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem georeclim
StepHypRef Expression
1 georeclim.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 georeclim.2 . . . . 5 (𝜑 → 1 < (abs‘𝐴))
3 0le1 11733 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
4 0re 11206 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
5 1re 11204 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
64, 5lenlti 11326 . . . . . . . 8 (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
73, 6mpbi 233 . . . . . . 7 ¬ 1 < 0
8 fveq2 6879 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = (abs‘0))
9 abs0 15332 . . . . . . . . 9 (abs‘0) = 0
108, 9eqtrdi 2820 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = 0)
1110breq2d 5122 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ 1 < 0))
127, 11mtbiri 330 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → ¬ 1 < (abs‘𝐴))
1312necon2ai 2993 . . . . 5 (1 < (abs‘𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
142, 13syl 18 . . . 4 (𝜑𝐴 ≠ 0)
151, 14reccld 11980 . . 3 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
16 1cnd 11198 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1716, 1, 14absdivd 15505 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) = ((abs‘1) / (abs‘𝐴)))
18 abs1 15344 . . . . . 6 (abs‘1) = 1
1918oveq1i 7418 . . . . 5 ((abs‘1) / (abs‘𝐴)) = (1 / (abs‘𝐴))
2017, 19eqtrdi 2820 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) = (1 / (abs‘𝐴)))
211, 14absrpcld 15498 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
2221recgt1d 13070 . . . . 5 (𝜑 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ (1 / (abs‘𝐴)) < 1))
232, 22mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → (1 / (abs‘𝐴)) < 1)
2420, 23eqbrtrd 5134 . . 3 (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) < 1)
25 georeclim.3 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
2615, 24, 25geolim 15920 . 2 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (1 / (1 − (1 / 𝐴))))
271, 16, 1, 14divsubdird 12026 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 𝐴) = ((𝐴 / 𝐴) − (1 / 𝐴)))
281, 14dividd 11985 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)
2928oveq1d 7423 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐴) − (1 / 𝐴)) = (1 − (1 / 𝐴)))
3027, 29eqtrd 2804 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 𝐴) = (1 − (1 / 𝐴)))
3130oveq2d 7424 . . 3 (𝜑 → (1 / ((𝐴 − 1) / 𝐴)) = (1 / (1 − (1 / 𝐴))))
32 ax-1cn 11154 . . . . 5 1 ∈ ℂ
33 subcl 11452 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
341, 32, 33sylancl 597 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
355ltnri 11315 . . . . . . . 8 ¬ 1 < 1
36 fveq2 6879 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = (abs‘1))
3736, 18eqtrdi 2820 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = 1)
3837breq2d 5122 . . . . . . . 8 (𝐴 = 1 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ 1 < 1))
3935, 38mtbiri 330 . . . . . . 7 (𝐴 = 1 → ¬ 1 < (abs‘𝐴))
4039necon2ai 2993 . . . . . 6 (1 < (abs‘𝐴) → 𝐴 ≠ 1)
412, 40syl 18 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ 1)
42 subeq0 11480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) = 0 ↔ 𝐴 = 1))
431, 32, 42sylancl 597 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 − 1) = 0 ↔ 𝐴 = 1))
4443necon3bid 3008 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 − 1) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 1))
4541, 44mpbird 260 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 − 1) ≠ 0)
4634, 1, 45, 14recdivd 12004 . . 3 (𝜑 → (1 / ((𝐴 − 1) / 𝐴)) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
4731, 46eqtr3d 2806 . 2 (𝜑 → (1 / (1 − (1 / 𝐴))) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
4826, 47breqtrd 5138 1 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (𝐴 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 400   = wceq 1567  wcel 2149  wne 2964   class class class wbr 5110  cfv 6533  (class class class)co 7408  cc 11094  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   < clt 11239  cle 11240  cmin 11437   / cdiv 11867  0cn0 12500  seqcseq 14033  cexp 14093  abscabs 15281  cli 15531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734
This theorem is referenced by:  geoisumr  15928  ege2le3  16140  eftlub  16161
  Copyright terms: Public domain W3C validator