Theorem georeclim 15795

Description: The limit of a geometric series of reciprocals. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
georeclim.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
georeclim.2	⊢ (𝜑 → 1 < (abs‘𝐴))
georeclim.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))

Assertion

Ref	Expression
georeclim	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (𝐴 − 1)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem georeclim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		georeclim.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		georeclim.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < (abs‘𝐴))
3		0le1 11660	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
4		0re 11134	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11132	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
6	4, 5	lenlti 11253	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
7	3, 6	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 < 0
8		fveq2 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = (abs‘0))
9		abs0 15208	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘0) = 0
10	8, 9	eqtrdi 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = 0)
11	10	breq2d 5110	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ 1 < 0))
12	7, 11	mtbiri 327	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 1 < (abs‘𝐴))
13	12	necon2ai 2961	. . . . 5 ⊢ (1 < (abs‘𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
14	2, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
15	1, 14	reccld 11910	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
16		1cnd 11127	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
17	16, 1, 14	absdivd 15381	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) = ((abs‘1) / (abs‘𝐴)))
18		abs1 15220	. . . . . 6 ⊢ (abs‘1) = 1
19	18	oveq1i 7368	. . . . 5 ⊢ ((abs‘1) / (abs‘𝐴)) = (1 / (abs‘𝐴))
20	17, 19	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) = (1 / (abs‘𝐴)))
21	1, 14	absrpcld 15374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
22	21	recgt1d 12963	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ (1 / (abs‘𝐴)) < 1))
23	2, 22	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (abs‘𝐴)) < 1)
24	20, 23	eqbrtrd 5120	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) < 1)
25		georeclim.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
26	15, 24, 25	geolim 15793	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (1 / (1 − (1 / 𝐴))))
27	1, 16, 1, 14	divsubdird 11956	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 𝐴) = ((𝐴 / 𝐴) − (1 / 𝐴)))
28	1, 14	dividd 11915	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)
29	28	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐴) − (1 / 𝐴)) = (1 − (1 / 𝐴)))
30	27, 29	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 𝐴) = (1 − (1 / 𝐴)))
31	30	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝐴 − 1) / 𝐴)) = (1 / (1 − (1 / 𝐴))))
32		ax-1cn 11084	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
33		subcl 11379	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
34	1, 32, 33	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
35	5	ltnri 11242	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 1 < 1
36		fveq2 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = (abs‘1))
37	36, 18	eqtrdi 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = 1)
38	37	breq2d 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 1 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ 1 < 1))
39	35, 38	mtbiri 327	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 1 → ¬ 1 < (abs‘𝐴))
40	39	necon2ai 2961	. . . . . 6 ⊢ (1 < (abs‘𝐴) → 𝐴 ≠ 1)
41	2, 40	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 1)
42		subeq0 11407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) = 0 ↔ 𝐴 = 1))
43	1, 32, 42	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) = 0 ↔ 𝐴 = 1))
44	43	necon3bid 2976	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 1))
45	41, 44	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ≠ 0)
46	34, 1, 45, 14	recdivd 11934	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝐴 − 1) / 𝐴)) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
47	31, 46	eqtr3d 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 − (1 / 𝐴))) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
48	26, 47	breqtrd 5124	1 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (𝐴 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364   / cdiv 11794  ℕ₀cn0 12401  seqcseq 13924  ↑cexp 13984  abscabs 15157   ⇝ cli 15407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610

This theorem is referenced by:  geoisumr  15801  ege2le3  16013  eftlub  16034