MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  georeclim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem georeclim 15908
Description: The limit of a geometric series of reciprocals. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
georeclim.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
georeclim.2 (𝜑 → 1 < (abs‘𝐴))
georeclim.3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
Assertion
Ref Expression
georeclim (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (𝐴 − 1)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem georeclim
StepHypRef Expression
1 georeclim.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 georeclim.2 . . . . 5 (𝜑 → 1 < (abs‘𝐴))
3 0le1 11786 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
4 0re 11263 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
5 1re 11261 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
64, 5lenlti 11381 . . . . . . . 8 (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
73, 6mpbi 230 . . . . . . 7 ¬ 1 < 0
8 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = (abs‘0))
9 abs0 15324 . . . . . . . . 9 (abs‘0) = 0
108, 9eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = 0)
1110breq2d 5155 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ 1 < 0))
127, 11mtbiri 327 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → ¬ 1 < (abs‘𝐴))
1312necon2ai 2970 . . . . 5 (1 < (abs‘𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
142, 13syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ≠ 0)
151, 14reccld 12036 . . 3 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
16 1cnd 11256 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1716, 1, 14absdivd 15494 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) = ((abs‘1) / (abs‘𝐴)))
18 abs1 15336 . . . . . 6 (abs‘1) = 1
1918oveq1i 7441 . . . . 5 ((abs‘1) / (abs‘𝐴)) = (1 / (abs‘𝐴))
2017, 19eqtrdi 2793 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) = (1 / (abs‘𝐴)))
211, 14absrpcld 15487 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
2221recgt1d 13091 . . . . 5 (𝜑 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ (1 / (abs‘𝐴)) < 1))
232, 22mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (1 / (abs‘𝐴)) < 1)
2420, 23eqbrtrd 5165 . . 3 (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) < 1)
25 georeclim.3 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
2615, 24, 25geolim 15906 . 2 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (1 / (1 − (1 / 𝐴))))
271, 16, 1, 14divsubdird 12082 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 𝐴) = ((𝐴 / 𝐴) − (1 / 𝐴)))
281, 14dividd 12041 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)
2928oveq1d 7446 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐴) − (1 / 𝐴)) = (1 − (1 / 𝐴)))
3027, 29eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 𝐴) = (1 − (1 / 𝐴)))
3130oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → (1 / ((𝐴 − 1) / 𝐴)) = (1 / (1 − (1 / 𝐴))))
32 ax-1cn 11213 . . . . 5 1 ∈ ℂ
33 subcl 11507 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
341, 32, 33sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
355ltnri 11370 . . . . . . . 8 ¬ 1 < 1
36 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = (abs‘1))
3736, 18eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = 1)
3837breq2d 5155 . . . . . . . 8 (𝐴 = 1 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ 1 < 1))
3935, 38mtbiri 327 . . . . . . 7 (𝐴 = 1 → ¬ 1 < (abs‘𝐴))
4039necon2ai 2970 . . . . . 6 (1 < (abs‘𝐴) → 𝐴 ≠ 1)
412, 40syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ 1)
42 subeq0 11535 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) = 0 ↔ 𝐴 = 1))
431, 32, 42sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 − 1) = 0 ↔ 𝐴 = 1))
4443necon3bid 2985 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 − 1) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 1))
4541, 44mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 − 1) ≠ 0)
4634, 1, 45, 14recdivd 12060 . . 3 (𝜑 → (1 / ((𝐴 − 1) / 𝐴)) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
4731, 46eqtr3d 2779 . 2 (𝜑 → (1 / (1 − (1 / 𝐴))) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
4826, 47breqtrd 5169 1 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (𝐴 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  0cn0 12526  seqcseq 14042  cexp 14102  abscabs 15273  cli 15520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723
This theorem is referenced by:  geoisumr  15914  ege2le3  16126  eftlub  16145
  Copyright terms: Public domain W3C validator