Theorem georeclim 15845

Description: The limit of a geometric series of reciprocals. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
georeclim.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
georeclim.2	⊢ (𝜑 → 1 < (abs‘𝐴))
georeclim.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))

Assertion

Ref	Expression
georeclim	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (𝐴 − 1)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Proof of Theorem georeclim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		georeclim.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		georeclim.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < (abs‘𝐴))
3		0le1 11708	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
4		0re 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11181	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
6	4, 5	lenlti 11301	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
7	3, 6	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 < 0
8		fveq2 6861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = (abs‘0))
9		abs0 15258	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘0) = 0
10	8, 9	eqtrdi 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = 0)
11	10	breq2d 5122	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ 1 < 0))
12	7, 11	mtbiri 327	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 1 < (abs‘𝐴))
13	12	necon2ai 2955	. . . . 5 ⊢ (1 < (abs‘𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
14	2, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
15	1, 14	reccld 11958	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
16		1cnd 11176	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
17	16, 1, 14	absdivd 15431	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) = ((abs‘1) / (abs‘𝐴)))
18		abs1 15270	. . . . . 6 ⊢ (abs‘1) = 1
19	18	oveq1i 7400	. . . . 5 ⊢ ((abs‘1) / (abs‘𝐴)) = (1 / (abs‘𝐴))
20	17, 19	eqtrdi 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) = (1 / (abs‘𝐴)))
21	1, 14	absrpcld 15424	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
22	21	recgt1d 13016	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ (1 / (abs‘𝐴)) < 1))
23	2, 22	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (abs‘𝐴)) < 1)
24	20, 23	eqbrtrd 5132	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) < 1)
25		georeclim.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
26	15, 24, 25	geolim 15843	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (1 / (1 − (1 / 𝐴))))
27	1, 16, 1, 14	divsubdird 12004	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 𝐴) = ((𝐴 / 𝐴) − (1 / 𝐴)))
28	1, 14	dividd 11963	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)
29	28	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐴) − (1 / 𝐴)) = (1 − (1 / 𝐴)))
30	27, 29	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) / 𝐴) = (1 − (1 / 𝐴)))
31	30	oveq2d 7406	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝐴 − 1) / 𝐴)) = (1 / (1 − (1 / 𝐴))))
32		ax-1cn 11133	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
33		subcl 11427	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
34	1, 32, 33	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
35	5	ltnri 11290	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 1 < 1
36		fveq2 6861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = (abs‘1))
37	36, 18	eqtrdi 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = 1)
38	37	breq2d 5122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 1 → (1 < (abs‘𝐴) ↔ 1 < 1))
39	35, 38	mtbiri 327	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 1 → ¬ 1 < (abs‘𝐴))
40	39	necon2ai 2955	. . . . . 6 ⊢ (1 < (abs‘𝐴) → 𝐴 ≠ 1)
41	2, 40	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 1)
42		subeq0 11455	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) = 0 ↔ 𝐴 = 1))
43	1, 32, 42	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) = 0 ↔ 𝐴 = 1))
44	43	necon3bid 2970	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 1))
45	41, 44	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ≠ 0)
46	34, 1, 45, 14	recdivd 11982	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝐴 − 1) / 𝐴)) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
47	31, 46	eqtr3d 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 − (1 / 𝐴))) = (𝐴 / (𝐴 − 1)))
48	26, 47	breqtrd 5136	1 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (𝐴 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412   / cdiv 11842  ℕ₀cn0 12449  seqcseq 13973  ↑cexp 14033  abscabs 15207   ⇝ cli 15457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660

This theorem is referenced by:  geoisumr  15851  ege2le3  16063  eftlub  16084