Theorem ballotlem4 31435

Description: If the first pick is a vote for B, A is not ahead throughout the count. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e	⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
ballotlem4	⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (¬ 1 ∈ 𝐶 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐶,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐸(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		ballotth.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		nnaddcl 11462	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	mp2an 680	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ
5		elnnuz 12095	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ ↔ (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘1))
6	4, 5	mpbi 222	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘1)
7		eluzfz1 12729	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))
9		0le1 10963	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
10		0re 10440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		1re 10438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
12	10, 11	lenlti 10559	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
13	9, 12	mpbi 222	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 1 < 0
14		ltsub13 10921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < (0 − 1) ↔ 1 < (0 − 0)))
15	10, 10, 11, 14	mp3an 1441	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < (0 − 1) ↔ 1 < (0 − 0))
16		0m0e0 11566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 − 0) = 0
17	16	breq2i 4934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 < (0 − 0) ↔ 1 < 0)
18	15, 17	bitri 267	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < (0 − 1) ↔ 1 < 0)
19	13, 18	mtbir 315	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 0 < (0 − 1)
20		1m1e0 11511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 − 1) = 0
21	20	fveq2i 6500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) = ((𝐹‘𝐶)‘0)
22		ballotth.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
23		ballotth.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
24		ballotth.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
25	1, 2, 22, 23, 24	ballotlemfval0 31432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘0) = 0)
26	21, 25	syl5eq 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) = 0)
27	26	oveq1d 6990	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1) = (0 − 1))
28	27	breq2d 4938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (0 < (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1) ↔ 0 < (0 − 1)))
29	19, 28	mtbiri 319	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ¬ 0 < (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1))
30	29	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ 0 < (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1))
31		simpl 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → 𝐶 ∈ 𝑂)
32		1nn 11451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → 1 ∈ ℕ)
34	1, 2, 22, 23, 24, 31, 33	ballotlemfp1 31428	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → ((¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1)) ∧ (1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) + 1))))
35	34	simpld 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → (¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1)))
36	8, 35	mpan2 679	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1)))
37	36	imp 398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1))
38	37	breq2d 4938	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (0 < ((𝐹‘𝐶)‘1) ↔ 0 < (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1)))
39	30, 38	mtbird 317	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘1))
40		fveq2 6497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝐹‘𝐶)‘𝑖) = ((𝐹‘𝐶)‘1))
41	40	breq2d 4938	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → (0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖) ↔ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘1)))
42	41	notbid 310	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → (¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖) ↔ ¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘1)))
43	42	rspcev 3530	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘1)) → ∃𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖))
44	8, 39, 43	sylancr 579	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ∃𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖))
45		rexnal 3180	. . . 4 ⊢ (∃𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖))
46	44, 45	sylib 210	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖))
47		ballotth.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
48	1, 2, 22, 23, 24, 47	ballotleme 31433	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐸 ↔ (𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖)))
49	48	simprbi 489	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖))
50	46, 49	nsyl 138	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐸)
51	50	ex 405	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (¬ 1 ∈ 𝐶 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐸))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  ∀wral 3083  ∃wrex 3084  {crab 3087   ∖ cdif 3821   ∩ cin 3823  𝒫 cpw 4417   class class class wbr 4926   ↦ cmpt 5005  ‘cfv 6186  (class class class)co 6975  ℝcr 10333  0cc0 10334  1c1 10335   + caddc 10337   < clt 10473   ≤ cle 10474   − cmin 10669   / cdiv 11097  ℕcn 11438  ℤcz 11792  ℤ_≥cuz 12057  ...cfz 12707  ♯chash 13504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-int 4747  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-1o 7904  df-oadd 7908  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-fin 8309  df-dju 9123  df-card 9161  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-nn 11439  df-n0 11707  df-z 11793  df-uz 12058  df-fz 12708  df-hash 13505

This theorem is referenced by:  ballotth  31474