Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlem4 33566
Description: If the first pick is a vote for B, A is not ahead throughout the count. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
Assertion
Ref Expression
ballotlem4 (𝐶𝑂 → (¬ 1 ∈ 𝐶 → ¬ 𝐶𝐸))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐶,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐸(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlem4
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . . . . . . 8 𝑀 ∈ ℕ
2 ballotth.n . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℕ
3 nnaddcl 12237 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
41, 2, 3mp2an 690 . . . . . . 7 (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ
5 elnnuz 12868 . . . . . . 7 ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ ↔ (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘1))
64, 5mpbi 229 . . . . . 6 (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘1)
7 eluzfz1 13510 . . . . . 6 ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
86, 7ax-mp 5 . . . . 5 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))
9 0le1 11739 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 1
10 0re 11218 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
11 1re 11216 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
1210, 11lenlti 11336 . . . . . . . . . 10 (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
139, 12mpbi 229 . . . . . . . . 9 ¬ 1 < 0
14 ltsub13 11697 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < (0 − 1) ↔ 1 < (0 − 0)))
1510, 10, 11, 14mp3an 1461 . . . . . . . . . 10 (0 < (0 − 1) ↔ 1 < (0 − 0))
16 0m0e0 12334 . . . . . . . . . . 11 (0 − 0) = 0
1716breq2i 5156 . . . . . . . . . 10 (1 < (0 − 0) ↔ 1 < 0)
1815, 17bitri 274 . . . . . . . . 9 (0 < (0 − 1) ↔ 1 < 0)
1913, 18mtbir 322 . . . . . . . 8 ¬ 0 < (0 − 1)
20 1m1e0 12286 . . . . . . . . . . . 12 (1 − 1) = 0
2120fveq2i 6894 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) = ((𝐹𝐶)‘0)
22 ballotth.o . . . . . . . . . . . 12 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
23 ballotth.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
24 ballotth.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
251, 2, 22, 23, 24ballotlemfval0 33563 . . . . . . . . . . 11 (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘0) = 0)
2621, 25eqtrid 2784 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) = 0)
2726oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (𝐶𝑂 → (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) − 1) = (0 − 1))
2827breq2d 5160 . . . . . . . 8 (𝐶𝑂 → (0 < (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) − 1) ↔ 0 < (0 − 1)))
2919, 28mtbiri 326 . . . . . . 7 (𝐶𝑂 → ¬ 0 < (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) − 1))
3029adantr 481 . . . . . 6 ((𝐶𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ 0 < (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) − 1))
31 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶𝑂 ∧ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → 𝐶𝑂)
32 1nn 12225 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶𝑂 ∧ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → 1 ∈ ℕ)
341, 2, 22, 23, 24, 31, 33ballotlemfp1 33559 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝑂 ∧ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → ((¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) − 1)) ∧ (1 ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) + 1))))
3534simpld 495 . . . . . . . . 9 ((𝐶𝑂 ∧ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → (¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) − 1)))
368, 35mpan2 689 . . . . . . . 8 (𝐶𝑂 → (¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) − 1)))
3736imp 407 . . . . . . 7 ((𝐶𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) − 1))
3837breq2d 5160 . . . . . 6 ((𝐶𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (0 < ((𝐹𝐶)‘1) ↔ 0 < (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) − 1)))
3930, 38mtbird 324 . . . . 5 ((𝐶𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ 0 < ((𝐹𝐶)‘1))
40 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 → ((𝐹𝐶)‘𝑖) = ((𝐹𝐶)‘1))
4140breq2d 5160 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 → (0 < ((𝐹𝐶)‘𝑖) ↔ 0 < ((𝐹𝐶)‘1)))
4241notbid 317 . . . . . 6 (𝑖 = 1 → (¬ 0 < ((𝐹𝐶)‘𝑖) ↔ ¬ 0 < ((𝐹𝐶)‘1)))
4342rspcev 3612 . . . . 5 ((1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ¬ 0 < ((𝐹𝐶)‘1)) → ∃𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ¬ 0 < ((𝐹𝐶)‘𝑖))
448, 39, 43sylancr 587 . . . 4 ((𝐶𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ∃𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ¬ 0 < ((𝐹𝐶)‘𝑖))
45 rexnal 3100 . . . 4 (∃𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ¬ 0 < ((𝐹𝐶)‘𝑖) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝐶)‘𝑖))
4644, 45sylib 217 . . 3 ((𝐶𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝐶)‘𝑖))
47 ballotth.e . . . . 5 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
481, 2, 22, 23, 24, 47ballotleme 33564 . . . 4 (𝐶𝐸 ↔ (𝐶𝑂 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝐶)‘𝑖)))
4948simprbi 497 . . 3 (𝐶𝐸 → ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝐶)‘𝑖))
5046, 49nsyl 140 . 2 ((𝐶𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ 𝐶𝐸)
5150ex 413 1 (𝐶𝑂 → (¬ 1 ∈ 𝐶 → ¬ 𝐶𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  wrex 3070  {crab 3432  cdif 3945  cin 3947  𝒫 cpw 4602   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6543  (class class class)co 7411  cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11250  cle 11251  cmin 11446   / cdiv 11873  cn 12214  cz 12560  cuz 12824  ...cfz 13486  chash 14292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-hash 14293
This theorem is referenced by:  ballotth  33605
  Copyright terms: Public domain W3C validator