Theorem ballotlem4 34692

Description: If the first pick is a vote for B, A is not ahead throughout the count. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e	⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
ballotlem4	⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (¬ 1 ∈ 𝐶 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐶,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐸(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		ballotth.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		nnaddcl 12189	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	mp2an 698	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ
5		elnnuz 12820	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ ↔ (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘1))
6	4, 5	mpbi 231	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘1)
7		eluzfz1 13477	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))
9		0le1 11665	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
10		0re 11138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		1re 11136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
12	10, 11	lenlti 11258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
13	9, 12	mpbi 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 1 < 0
14		ltsub13 11623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < (0 − 1) ↔ 1 < (0 − 0)))
15	10, 10, 11, 14	mp3an 1469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < (0 − 1) ↔ 1 < (0 − 0))
16		0m0e0 12288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 − 0) = 0
17	16	breq2i 5081	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 < (0 − 0) ↔ 1 < 0)
18	15, 17	bitri 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < (0 − 1) ↔ 1 < 0)
19	13, 18	mtbir 324	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 0 < (0 − 1)
20		1m1e0 12245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 − 1) = 0
21	20	fveq2i 6831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) = ((𝐹‘𝐶)‘0)
22		ballotth.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
23		ballotth.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
24		ballotth.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
25	1, 2, 22, 23, 24	ballotlemfval0 34689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘0) = 0)
26	21, 25	eqtrid 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) = 0)
27	26	oveq1d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1) = (0 − 1))
28	27	breq2d 5085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (0 < (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1) ↔ 0 < (0 − 1)))
29	19, 28	mtbiri 328	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ¬ 0 < (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1))
30	29	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ 0 < (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1))
31		simpl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → 𝐶 ∈ 𝑂)
32		1nn 12177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → 1 ∈ ℕ)
34	1, 2, 22, 23, 24, 31, 33	ballotlemfp1 34685	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → ((¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1)) ∧ (1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) + 1))))
35	34	simpld 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → (¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1)))
36	8, 35	mpan2 697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1)))
37	36	imp 407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1))
38	37	breq2d 5085	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (0 < ((𝐹‘𝐶)‘1) ↔ 0 < (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1)))
39	30, 38	mtbird 326	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘1))
40		fveq2 6828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝐹‘𝐶)‘𝑖) = ((𝐹‘𝐶)‘1))
41	40	breq2d 5085	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → (0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖) ↔ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘1)))
42	41	notbid 319	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → (¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖) ↔ ¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘1)))
43	42	rspcev 3560	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘1)) → ∃𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖))
44	8, 39, 43	sylancr 593	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ∃𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖))
45		rexnal 3091	. . . 4 ⊢ (∃𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖))
46	44, 45	sylib 219	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖))
47		ballotth.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
48	1, 2, 22, 23, 24, 47	ballotleme 34690	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐸 ↔ (𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖)))
49	48	simprbi 498	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖))
50	46, 49	nsyl 140	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐸)
51	50	ex 413	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (¬ 1 ∈ 𝐶 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐸))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  {crab 3391   ∖ cdif 3880   ∩ cin 3882  𝒫 cpw 4530   class class class wbr 5073   ↦ cmpt 5154  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   < clt 11171   ≤ cle 11172   − cmin 11369   / cdiv 11799  ℕcn 12166  ℤcz 12516  ℤ_≥cuz 12780  ...cfz 13453  ♯chash 14284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-oadd 8400  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-fz 13454  df-hash 14285

This theorem is referenced by:  ballotth  34731