Theorem ballotlem4 34958

Description: If the first pick is a vote for B, A is not ahead throughout the count. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e	⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
ballotlem4	⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (¬ 1 ∈ 𝐶 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐶,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥, 𝑐)   𝑃(𝑥, 𝑖, 𝑐)   𝐸(𝑥, 𝑖, 𝑐)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		ballotth.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		nnaddcl 12275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ
5		elnnuz 12922	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ ↔ (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘1))
6	4, 5	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘1)
7		eluzfz1 13579	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))
9		0le1 11756	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
10		0re 11229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		1re 11227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
12	10, 11	lenlti 11349	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
13	9, 12	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 1 < 0
14		ltsub13 11714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < (0 − 1) ↔ 1 < (0 − 0)))
15	10, 10, 11, 14	mp3an 1490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < (0 − 1) ↔ 1 < (0 − 0))
16		0m0e0 12378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 − 0) = 0
17	16	breq2i 5119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 < (0 − 0) ↔ 1 < 0)
18	15, 17	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < (0 − 1) ↔ 1 < 0)
19	13, 18	mtbir 326	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 0 < (0 − 1)
20		1m1e0 12332	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 − 1) = 0
21	20	fveq2i 6888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) = ((𝐹‘𝐶)‘0)
22		ballotth.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
23		ballotth.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
24		ballotth.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
25	1, 2, 22, 23, 24	ballotlemfval0 34955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘0) = 0)
26	21, 25	eqtrid 2812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) = 0)
27	26	oveq1d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1) = (0 − 1))
28	27	breq2d 5123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (0 < (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1) ↔ 0 < (0 − 1)))
29	19, 28	mtbiri 330	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ¬ 0 < (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1))
30	29	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ 0 < (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1))
31		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → 𝐶 ∈ 𝑂)
32		1nn 12263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → 1 ∈ ℕ)
34	1, 2, 22, 23, 24, 31, 33	ballotlemfp1 34951	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → ((¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1)) ∧ (1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) + 1))))
35	34	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → (¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1)))
36	8, 35	mpan2 704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1)))
37	36	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1))
38	37	breq2d 5123	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (0 < ((𝐹‘𝐶)‘1) ↔ 0 < (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1)))
39	30, 38	mtbird 328	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘1))
40		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝐹‘𝐶)‘𝑖) = ((𝐹‘𝐶)‘1))
41	40	breq2d 5123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → (0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖) ↔ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘1)))
42	41	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → (¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖) ↔ ¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘1)))
43	42	rspcev 3583	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘1)) → ∃𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖))
44	8, 39, 43	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ∃𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖))
45		rexnal 3119	. . . 4 ⊢ (∃𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖))
46	44, 45	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖))
47		ballotth.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
48	1, 2, 22, 23, 24, 47	ballotleme 34956	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐸 ↔ (𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖)))
49	48	simprbi 503	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖))
50	46, 49	nsyl 141	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐸)
51	50	ex 418	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (¬ 1 ∈ 𝐶 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  {crab 3418   ∖ cdif 3903   ∩ cin 3905  𝒫 cpw 4564   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝcr 11118  0cc0 11119  1c1 11120   + caddc 11122   < clt 11262   ≤ cle 11263   − cmin 11460   / cdiv 11890  ℕcn 12252  ℤcz 12610  ℤ_≥cuz 12882  ...cfz 13555  ♯chash 14388

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-fz 13556  df-hash 14389

This theorem is used by:  ballotth  34997