Theorem ballotlem4 32177

Description: If the first pick is a vote for B, A is not ahead throughout the count. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e	⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
ballotlem4	⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (¬ 1 ∈ 𝐶 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐶,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐸(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		ballotth.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		nnaddcl 11853	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ
5		elnnuz 12478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ ↔ (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘1))
6	4, 5	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘1)
7		eluzfz1 13119	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))
9		0le1 11355	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
10		0re 10835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		1re 10833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
12	10, 11	lenlti 10952	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
13	9, 12	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 1 < 0
14		ltsub13 11313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < (0 − 1) ↔ 1 < (0 − 0)))
15	10, 10, 11, 14	mp3an 1463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < (0 − 1) ↔ 1 < (0 − 0))
16		0m0e0 11950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 − 0) = 0
17	16	breq2i 5061	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 < (0 − 0) ↔ 1 < 0)
18	15, 17	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < (0 − 1) ↔ 1 < 0)
19	13, 18	mtbir 326	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 0 < (0 − 1)
20		1m1e0 11902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 − 1) = 0
21	20	fveq2i 6720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) = ((𝐹‘𝐶)‘0)
22		ballotth.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
23		ballotth.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
24		ballotth.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
25	1, 2, 22, 23, 24	ballotlemfval0 32174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘0) = 0)
26	21, 25	syl5eq 2790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) = 0)
27	26	oveq1d 7228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1) = (0 − 1))
28	27	breq2d 5065	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (0 < (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1) ↔ 0 < (0 − 1)))
29	19, 28	mtbiri 330	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ¬ 0 < (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1))
30	29	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ 0 < (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1))
31		simpl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → 𝐶 ∈ 𝑂)
32		1nn 11841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → 1 ∈ ℕ)
34	1, 2, 22, 23, 24, 31, 33	ballotlemfp1 32170	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → ((¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1)) ∧ (1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) + 1))))
35	34	simpld 498	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → (¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1)))
36	8, 35	mpan2 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1)))
37	36	imp 410	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝐶)‘1) = (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1))
38	37	breq2d 5065	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (0 < ((𝐹‘𝐶)‘1) ↔ 0 < (((𝐹‘𝐶)‘(1 − 1)) − 1)))
39	30, 38	mtbird 328	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘1))
40		fveq2 6717	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝐹‘𝐶)‘𝑖) = ((𝐹‘𝐶)‘1))
41	40	breq2d 5065	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → (0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖) ↔ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘1)))
42	41	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → (¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖) ↔ ¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘1)))
43	42	rspcev 3537	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘1)) → ∃𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖))
44	8, 39, 43	sylancr 590	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ∃𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖))
45		rexnal 3160	. . . 4 ⊢ (∃𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ¬ 0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖))
46	44, 45	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖))
47		ballotth.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
48	1, 2, 22, 23, 24, 47	ballotleme 32175	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐸 ↔ (𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖)))
49	48	simprbi 500	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝐶)‘𝑖))
50	46, 49	nsyl 142	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐸)
51	50	ex 416	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (¬ 1 ∈ 𝐶 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐸))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061  ∃wrex 3062  {crab 3065   ∖ cdif 3863   ∩ cin 3865  𝒫 cpw 4513   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5135  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℝcr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   < clt 10867   ≤ cle 10868   − cmin 11062   / cdiv 11489  ℕcn 11830  ℤcz 12176  ℤ_≥cuz 12438  ...cfz 13095  ♯chash 13896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-oadd 8206  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-dju 9517  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-hash 13897

This theorem is referenced by:  ballotth  32216