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Theorem divalglem6 15741
Description: Lemma for divalg 15746. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem6.1 𝐴 ∈ ℕ
divalglem6.2 𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1))
divalglem6.3 𝐾 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
divalglem6 (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))

Proof of Theorem divalglem6
StepHypRef Expression
1 divalglem6.3 . . . 4 𝐾 ∈ ℤ
21zrei 11979 . . 3 𝐾 ∈ ℝ
3 0re 10635 . . 3 0 ∈ ℝ
42, 3lttri2i 10746 . 2 (𝐾 ≠ 0 ↔ (𝐾 < 0 ∨ 0 < 𝐾))
5 divalglem6.2 . . . . . . . . 9 𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1))
6 0z 11984 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
7 divalglem6.1 . . . . . . . . . . 11 𝐴 ∈ ℕ
87nnzi 11998 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ ℤ
9 elfzm11 12971 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 < 𝐴)))
106, 8, 9mp2an 688 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 < 𝐴))
115, 10mpbi 231 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 < 𝐴)
1211simp3i 1135 . . . . . . 7 𝑋 < 𝐴
1311simp1i 1133 . . . . . . . . 9 𝑋 ∈ ℤ
1413zrei 11979 . . . . . . . 8 𝑋 ∈ ℝ
157nnrei 11639 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℝ
162, 15remulcli 10649 . . . . . . . 8 (𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ
1714, 15, 16ltadd1i 11186 . . . . . . 7 (𝑋 < 𝐴 ↔ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)))
1812, 17mpbi 231 . . . . . 6 (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < (𝐴 + (𝐾 · 𝐴))
192renegcli 10939 . . . . . . . 8 -𝐾 ∈ ℝ
207nnnn0i 11897 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ ℕ0
2120nn0ge0i 11916 . . . . . . . . 9 0 ≤ 𝐴
22 lemulge12 11495 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐾 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ -𝐾)) → 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
2322an4s 656 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (-𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ -𝐾)) → 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
2415, 21, 23mpanl12 698 . . . . . . . 8 ((-𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ -𝐾) → 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
2519, 24mpan 686 . . . . . . 7 (1 ≤ -𝐾𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
26 lt0neg1 11138 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 < 0 ↔ 0 < -𝐾))
272, 26ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐾 < 0 ↔ 0 < -𝐾)
28 znegcl 12009 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → -𝐾 ∈ ℤ)
291, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 -𝐾 ∈ ℤ
30 zltp1le 12024 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℤ ∧ -𝐾 ∈ ℤ) → (0 < -𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ -𝐾))
316, 29, 30mp2an 688 . . . . . . . . 9 (0 < -𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ -𝐾)
32 0p1e1 11751 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
3332breq1i 5069 . . . . . . . . 9 ((0 + 1) ≤ -𝐾 ↔ 1 ≤ -𝐾)
3431, 33bitri 276 . . . . . . . 8 (0 < -𝐾 ↔ 1 ≤ -𝐾)
3527, 34bitri 276 . . . . . . 7 (𝐾 < 0 ↔ 1 ≤ -𝐾)
362recni 10647 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 ∈ ℂ
3715recni 10647 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ∈ ℂ
3836, 37mulneg1i 11078 . . . . . . . . . . 11 (-𝐾 · 𝐴) = -(𝐾 · 𝐴)
3938oveq2i 7162 . . . . . . . . . 10 (𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) = (𝐴 − -(𝐾 · 𝐴))
4016recni 10647 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 · 𝐴) ∈ ℂ
4137, 40subnegi 10957 . . . . . . . . . 10 (𝐴 − -(𝐾 · 𝐴)) = (𝐴 + (𝐾 · 𝐴))
4239, 41eqtri 2848 . . . . . . . . 9 (𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) = (𝐴 + (𝐾 · 𝐴))
4342breq1i 5069 . . . . . . . 8 ((𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0)
4419, 15remulcli 10649 . . . . . . . . 9 (-𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ
45 suble0 11146 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (-𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴)))
4615, 44, 45mp2an 688 . . . . . . . 8 ((𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
4743, 46bitr3i 278 . . . . . . 7 ((𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
4825, 35, 473imtr4i 293 . . . . . 6 (𝐾 < 0 → (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0)
4914, 16readdcli 10648 . . . . . . 7 (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℝ
5015, 16readdcli 10648 . . . . . . 7 (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℝ
5149, 50, 3ltletri 10760 . . . . . 6 (((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ∧ (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0) → (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 0)
5218, 48, 51sylancr 587 . . . . 5 (𝐾 < 0 → (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 0)
5349, 3ltnlei 10753 . . . . 5 ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
5452, 53sylib 219 . . . 4 (𝐾 < 0 → ¬ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
55 elfzle1 12903 . . . 4 ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) → 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
5654, 55nsyl 142 . . 3 (𝐾 < 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
57 zltp1le 12024 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (0 < 𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ 𝐾))
586, 1, 57mp2an 688 . . . . . . . 8 (0 < 𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ 𝐾)
5932breq1i 5069 . . . . . . . 8 ((0 + 1) ≤ 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾)
6058, 59bitri 276 . . . . . . 7 (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾)
61 lemulge12 11495 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
6215, 2, 61mpanl12 698 . . . . . . . 8 ((0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
6321, 62mpan 686 . . . . . . 7 (1 ≤ 𝐾𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
6460, 63sylbi 218 . . . . . 6 (0 < 𝐾𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
6511simp2i 1134 . . . . . . 7 0 ≤ 𝑋
66 addge02 11143 . . . . . . . 8 (((𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑋 ↔ (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴))))
6716, 14, 66mp2an 688 . . . . . . 7 (0 ≤ 𝑋 ↔ (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
6865, 67mpbi 231 . . . . . 6 (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴))
6915, 16, 49letri 10761 . . . . . 6 ((𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴) ∧ (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴))) → 𝐴 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
7064, 68, 69sylancl 586 . . . . 5 (0 < 𝐾𝐴 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
7115, 49lenlti 10752 . . . . 5 (𝐴 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ↔ ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)
7270, 71sylib 219 . . . 4 (0 < 𝐾 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)
73 elfzm11 12971 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∧ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)))
746, 8, 73mp2an 688 . . . . 5 ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∧ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴))
7574simp3bi 1141 . . . 4 ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) → (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)
7672, 75nsyl 142 . . 3 (0 < 𝐾 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
7756, 76jaoi 853 . 2 ((𝐾 < 0 ∨ 0 < 𝐾) → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
784, 77sylbi 218 1 (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843  w3a 1081  wcel 2107  wne 3020   class class class wbr 5062  (class class class)co 7151  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   < clt 10667  cle 10668  cmin 10862  -cneg 10863  cn 11630  cz 11973  ...cfz 12885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886
This theorem is referenced by:  divalglem7  15742
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