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Theorem divalglem6 16328
Description: Lemma for divalg 16333. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem6.1 𝐴 ∈ ℕ
divalglem6.2 𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1))
divalglem6.3 𝐾 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
divalglem6 (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))

Proof of Theorem divalglem6
StepHypRef Expression
1 divalglem6.3 . . . 4 𝐾 ∈ ℤ
21zrei 12551 . . 3 𝐾 ∈ ℝ
3 0re 11203 . . 3 0 ∈ ℝ
42, 3lttri2i 11315 . 2 (𝐾 ≠ 0 ↔ (𝐾 < 0 ∨ 0 < 𝐾))
5 divalglem6.2 . . . . . . . . 9 𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1))
6 0z 12556 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
7 divalglem6.1 . . . . . . . . . . 11 𝐴 ∈ ℕ
87nnzi 12573 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ ℤ
9 elfzm11 13559 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 < 𝐴)))
106, 8, 9mp2an 691 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 < 𝐴))
115, 10mpbi 229 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 < 𝐴)
1211simp3i 1142 . . . . . . 7 𝑋 < 𝐴
1311simp1i 1140 . . . . . . . . 9 𝑋 ∈ ℤ
1413zrei 12551 . . . . . . . 8 𝑋 ∈ ℝ
157nnrei 12208 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℝ
162, 15remulcli 11217 . . . . . . . 8 (𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ
1714, 15, 16ltadd1i 11755 . . . . . . 7 (𝑋 < 𝐴 ↔ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)))
1812, 17mpbi 229 . . . . . 6 (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < (𝐴 + (𝐾 · 𝐴))
192renegcli 11508 . . . . . . . 8 -𝐾 ∈ ℝ
207nnnn0i 12467 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ ℕ0
2120nn0ge0i 12486 . . . . . . . . 9 0 ≤ 𝐴
22 lemulge12 12064 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐾 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ -𝐾)) → 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
2322an4s 659 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (-𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ -𝐾)) → 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
2415, 21, 23mpanl12 701 . . . . . . . 8 ((-𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ -𝐾) → 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
2519, 24mpan 689 . . . . . . 7 (1 ≤ -𝐾𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
26 lt0neg1 11707 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 < 0 ↔ 0 < -𝐾))
272, 26ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐾 < 0 ↔ 0 < -𝐾)
28 znegcl 12584 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → -𝐾 ∈ ℤ)
291, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 -𝐾 ∈ ℤ
30 zltp1le 12599 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℤ ∧ -𝐾 ∈ ℤ) → (0 < -𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ -𝐾))
316, 29, 30mp2an 691 . . . . . . . . 9 (0 < -𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ -𝐾)
32 0p1e1 12321 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
3332breq1i 5151 . . . . . . . . 9 ((0 + 1) ≤ -𝐾 ↔ 1 ≤ -𝐾)
3431, 33bitri 275 . . . . . . . 8 (0 < -𝐾 ↔ 1 ≤ -𝐾)
3527, 34bitri 275 . . . . . . 7 (𝐾 < 0 ↔ 1 ≤ -𝐾)
362recni 11215 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 ∈ ℂ
3715recni 11215 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ∈ ℂ
3836, 37mulneg1i 11647 . . . . . . . . . . 11 (-𝐾 · 𝐴) = -(𝐾 · 𝐴)
3938oveq2i 7407 . . . . . . . . . 10 (𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) = (𝐴 − -(𝐾 · 𝐴))
4016recni 11215 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 · 𝐴) ∈ ℂ
4137, 40subnegi 11526 . . . . . . . . . 10 (𝐴 − -(𝐾 · 𝐴)) = (𝐴 + (𝐾 · 𝐴))
4239, 41eqtri 2761 . . . . . . . . 9 (𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) = (𝐴 + (𝐾 · 𝐴))
4342breq1i 5151 . . . . . . . 8 ((𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0)
4419, 15remulcli 11217 . . . . . . . . 9 (-𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ
45 suble0 11715 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (-𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴)))
4615, 44, 45mp2an 691 . . . . . . . 8 ((𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
4743, 46bitr3i 277 . . . . . . 7 ((𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
4825, 35, 473imtr4i 292 . . . . . 6 (𝐾 < 0 → (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0)
4914, 16readdcli 11216 . . . . . . 7 (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℝ
5015, 16readdcli 11216 . . . . . . 7 (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℝ
5149, 50, 3ltletri 11329 . . . . . 6 (((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ∧ (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0) → (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 0)
5218, 48, 51sylancr 588 . . . . 5 (𝐾 < 0 → (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 0)
5349, 3ltnlei 11322 . . . . 5 ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
5452, 53sylib 217 . . . 4 (𝐾 < 0 → ¬ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
55 elfzle1 13491 . . . 4 ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) → 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
5654, 55nsyl 140 . . 3 (𝐾 < 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
57 zltp1le 12599 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (0 < 𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ 𝐾))
586, 1, 57mp2an 691 . . . . . . . 8 (0 < 𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ 𝐾)
5932breq1i 5151 . . . . . . . 8 ((0 + 1) ≤ 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾)
6058, 59bitri 275 . . . . . . 7 (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾)
61 lemulge12 12064 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
6215, 2, 61mpanl12 701 . . . . . . . 8 ((0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
6321, 62mpan 689 . . . . . . 7 (1 ≤ 𝐾𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
6460, 63sylbi 216 . . . . . 6 (0 < 𝐾𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
6511simp2i 1141 . . . . . . 7 0 ≤ 𝑋
66 addge02 11712 . . . . . . . 8 (((𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑋 ↔ (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴))))
6716, 14, 66mp2an 691 . . . . . . 7 (0 ≤ 𝑋 ↔ (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
6865, 67mpbi 229 . . . . . 6 (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴))
6915, 16, 49letri 11330 . . . . . 6 ((𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴) ∧ (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴))) → 𝐴 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
7064, 68, 69sylancl 587 . . . . 5 (0 < 𝐾𝐴 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
7115, 49lenlti 11321 . . . . 5 (𝐴 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ↔ ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)
7270, 71sylib 217 . . . 4 (0 < 𝐾 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)
73 elfzm11 13559 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∧ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)))
746, 8, 73mp2an 691 . . . . 5 ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∧ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴))
7574simp3bi 1148 . . . 4 ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) → (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)
7672, 75nsyl 140 . . 3 (0 < 𝐾 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
7756, 76jaoi 856 . 2 ((𝐾 < 0 ∨ 0 < 𝐾) → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
784, 77sylbi 216 1 (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088  wcel 2107  wne 2941   class class class wbr 5144  (class class class)co 7396  cr 11096  0cc0 11097  1c1 11098   + caddc 11100   · cmul 11102   < clt 11235  cle 11236  cmin 11431  -cneg 11432  cn 12199  cz 12545  ...cfz 13471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-nn 12200  df-n0 12460  df-z 12546  df-uz 12810  df-fz 13472
This theorem is referenced by:  divalglem7  16329
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