divalglem6 - Metamath Proof Explorer

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Theorem divalglem6 16359

Description: Lemma for divalg 16364. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
divalglem6.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
divalglem6.2	⊢ 𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1))
divalglem6.3	⊢ 𝐾 ∈ ℤ

**Assertion**
Ref	Expression
divalglem6	⊢ (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))

**Proof of Theorem divalglem6**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem6.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
2	1	zrei 12522	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
3		0re 11138	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4	2, 3	lttri2i 11252	. 2 ⊢ (𝐾 ≠ 0 ↔ (𝐾 < 0 ∨ 0 < 𝐾))
5		divalglem6.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1))
6		0z 12527	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		divalglem6.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
8	7	nnzi 12543	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
9		elfzm11 13541	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐴)))
10	6, 8, 9	mp2an 698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐴))
11	5, 10	mpbi 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐴)
12	11	simp3i 1147	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 < 𝐴
13	11	simp1i 1145	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 ∈ ℤ
14	13	zrei 12522	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 ∈ ℝ
15	7	nnrei 12175	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
16	2, 15	remulcli 11153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ
17	14, 15, 16	ltadd1i 11696	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 < 𝐴 ↔ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)))
18	12, 17	mpbi 231	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < (𝐴 + (𝐾 · 𝐴))
19	2	renegcli 11447	. . . . . . . 8 ⊢ -𝐾 ∈ ℝ
20	7	nnnn0i 12437	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ₀
21	20	nn0ge0i 12456	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 𝐴
22		lemulge12 12011	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐾 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ -𝐾)) → 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
23	22	an4s 666	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (-𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ -𝐾)) → 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
24	15, 21, 23	mpanl12 708	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ -𝐾) → 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
25	19, 24	mpan 696	. . . . . . 7 ⊢ (1 ≤ -𝐾 → 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
26		lt0neg1 11648	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 < 0 ↔ 0 < -𝐾))
27	2, 26	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 < 0 ↔ 0 < -𝐾)
28		znegcl 12554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → -𝐾 ∈ ℤ)
29	1, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ -𝐾 ∈ ℤ
30		zltp1le 12569	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ -𝐾 ∈ ℤ) → (0 < -𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ -𝐾))
31	6, 29, 30	mp2an 698	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < -𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ -𝐾)
32		0p1e1 12290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
33	32	breq1i 5080	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 + 1) ≤ -𝐾 ↔ 1 ≤ -𝐾)
34	31, 33	bitri 276	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < -𝐾 ↔ 1 ≤ -𝐾)
35	27, 34	bitri 276	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 < 0 ↔ 1 ≤ -𝐾)
36	2	recni 11151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
37	15	recni 11151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
38	36, 37	mulneg1i 11588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-𝐾 · 𝐴) = -(𝐾 · 𝐴)
39	38	oveq2i 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) = (𝐴 − -(𝐾 · 𝐴))
40	16	recni 11151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 · 𝐴) ∈ ℂ
41	37, 40	subnegi 11465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 − -(𝐾 · 𝐴)) = (𝐴 + (𝐾 · 𝐴))
42	39, 41	eqtri 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) = (𝐴 + (𝐾 · 𝐴))
43	42	breq1i 5080	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0)
44	19, 15	remulcli 11153	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ
45		suble0 11656	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (-𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴)))
46	15, 44, 45	mp2an 698	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
47	43, 46	bitr3i 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
48	25, 35, 47	3imtr4i 293	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 < 0 → (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0)
49	14, 16	readdcli 11152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℝ
50	15, 16	readdcli 11152	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℝ
51	49, 50, 3	ltletri 11266	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ∧ (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0) → (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 0)
52	18, 48, 51	sylancr 593	. . . . 5 ⊢ (𝐾 < 0 → (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 0)
53	49, 3	ltnlei 11259	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
54	52, 53	sylib 219	. . . 4 ⊢ (𝐾 < 0 → ¬ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
55		elfzle1 13473	. . . 4 ⊢ ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) → 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
56	54, 55	nsyl 140	. . 3 ⊢ (𝐾 < 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
57		zltp1le 12569	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (0 < 𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ 𝐾))
58	6, 1, 57	mp2an 698	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ 𝐾)
59	32	breq1i 5080	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 1) ≤ 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾)
60	58, 59	bitri 276	. . . . . . 7 ⊢ (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾)
61		lemulge12 12011	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
62	15, 2, 61	mpanl12 708	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
63	21, 62	mpan 696	. . . . . . 7 ⊢ (1 ≤ 𝐾 → 𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
64	60, 63	sylbi 218	. . . . . 6 ⊢ (0 < 𝐾 → 𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
65	11	simp2i 1146	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 𝑋
66		addge02 11653	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑋 ↔ (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴))))
67	16, 14, 66	mp2an 698	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 𝑋 ↔ (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
68	65, 67	mpbi 231	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴))
69	15, 16, 49	letri 11267	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴) ∧ (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴))) → 𝐴 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
70	64, 68, 69	sylancl 592	. . . . 5 ⊢ (0 < 𝐾 → 𝐴 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
71	15, 49	lenlti 11258	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ↔ ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)
72	70, 71	sylib 219	. . . 4 ⊢ (0 < 𝐾 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)
73		elfzm11 13541	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∧ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)))
74	6, 8, 73	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∧ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴))
75	74	simp3bi 1153	. . . 4 ⊢ ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) → (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)
76	72, 75	nsyl 140	. . 3 ⊢ (0 < 𝐾 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
77	56, 76	jaoi 863	. 2 ⊢ ((𝐾 < 0 ∨ 0 < 𝐾) → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
78	4, 77	sylbi 218	1 ⊢ (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 207 ∧ wa 396 ∨ wo 853 ∧ w3a 1092 ∈ wcel 2119 ≠ wne 2934 class class class wbr 5073 (class class class)co 7357 ℝcr 11029 0cc0 11030 1c1 11031 + caddc 11033 · cmul 11035 < clt 11171 ≤ cle 11172 − cmin 11369 -cneg 11370 ℕcn 12166 ℤcz 12516 ...cfz 13453

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1802 ax-4 1816 ax-5 1917 ax-6 1974 ax-7 2015 ax-8 2121 ax-9 2129 ax-10 2152 ax-11 2168 ax-12 2189 ax-ext 2711 ax-sep 5219 ax-nul 5229 ax-pow 5295 ax-pr 5363 ax-un 7679 ax-cnex 11086 ax-resscn 11087 ax-1cn 11088 ax-icn 11089 ax-addcl 11090 ax-addrcl 11091 ax-mulcl 11092 ax-mulrcl 11093 ax-mulcom 11094 ax-addass 11095 ax-mulass 11096 ax-distr 11097 ax-i2m1 11098 ax-1ne0 11099 ax-1rid 11100 ax-rnegex 11101 ax-rrecex 11102 ax-cnre 11103 ax-pre-lttri 11104 ax-pre-lttrn 11105 ax-pre-ltadd 11106 ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions: df-bi 208 df-an 397 df-or 854 df-3or 1093 df-3an 1094 df-tru 1550 df-fal 1560 df-ex 1787 df-nf 1791 df-sb 2074 df-mo 2543 df-eu 2573 df-clab 2718 df-cleq 2731 df-clel 2814 df-nfc 2888 df-ne 2935 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3064 df-reu 3345 df-rab 3392 df-v 3433 df-sbc 3724 df-csb 3832 df-dif 3886 df-un 3888 df-in 3890 df-ss 3900 df-pss 3903 df-nul 4263 df-if 4456 df-pw 4532 df-sn 4557 df-pr 4559 df-op 4563 df-uni 4840 df-iun 4924 df-br 5074 df-opab 5136 df-mpt 5155 df-tr 5181 df-id 5514 df-eprel 5519 df-po 5527 df-so 5528 df-fr 5572 df-we 5574 df-xp 5625 df-rel 5626 df-cnv 5627 df-co 5628 df-dm 5629 df-rn 5630 df-res 5631 df-ima 5632 df-pred 6253 df-ord 6314 df-on 6315 df-lim 6316 df-suc 6317 df-iota 6442 df-fun 6488 df-fn 6489 df-f 6490 df-f1 6491 df-fo 6492 df-f1o 6493 df-fv 6494 df-riota 7314 df-ov 7360 df-oprab 7361 df-mpo 7362 df-om 7808 df-1st 7932 df-2nd 7933 df-frecs 8222 df-wrecs 8253 df-recs 8302 df-rdg 8340 df-er 8634 df-en 8885 df-dom 8886 df-sdom 8887 df-pnf 11173 df-mnf 11174 df-xr 11175 df-ltxr 11176 df-le 11177 df-sub 11371 df-neg 11372 df-nn 12167 df-n0 12430 df-z 12517 df-uz 12781 df-fz 13454

This theorem is referenced by: divalglem7 16360

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