divalglem6 - Metamath Proof Explorer

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Theorem divalglem6 16451

Description: Lemma for divalg 16456. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
divalglem6.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
divalglem6.2	⊢ 𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1))
divalglem6.3	⊢ 𝐾 ∈ ℤ

**Assertion**
Ref	Expression
divalglem6	⊢ (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))

**Proof of Theorem divalglem6**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem6.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
2	1	zrei 12592	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
3		0re 11205	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4	2, 3	lttri2i 11319	. 2 ⊢ (𝐾 ≠ 0 ↔ (𝐾 < 0 ∨ 0 < 𝐾))
5		divalglem6.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1))
6		0z 12597	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		divalglem6.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
8	7	nnzi 12613	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
9		elfzm11 13619	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐴)))
10	6, 8, 9	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐴))
11	5, 10	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐴)
12	11	simp3i 1159	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 < 𝐴
13	11	simp1i 1157	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 ∈ ℤ
14	13	zrei 12592	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 ∈ ℝ
15	7	nnrei 12237	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
16	2, 15	remulcli 11220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ
17	14, 15, 16	ltadd1i 11763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 < 𝐴 ↔ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)))
18	12, 17	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < (𝐴 + (𝐾 · 𝐴))
19	2	renegcli 11514	. . . . . . . 8 ⊢ -𝐾 ∈ ℝ
20	7	nnnn0i 12507	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ₀
21	20	nn0ge0i 12526	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 𝐴
22		lemulge12 12073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐾 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ -𝐾)) → 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
23	22	an4s 672	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (-𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ -𝐾)) → 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
24	15, 21, 23	mpanl12 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ -𝐾) → 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
25	19, 24	mpan 702	. . . . . . 7 ⊢ (1 ≤ -𝐾 → 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
26		lt0neg1 11715	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 < 0 ↔ 0 < -𝐾))
27	2, 26	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 < 0 ↔ 0 < -𝐾)
28		znegcl 12624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → -𝐾 ∈ ℤ)
29	1, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ -𝐾 ∈ ℤ
30		zltp1le 12639	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ -𝐾 ∈ ℤ) → (0 < -𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ -𝐾))
31	6, 29, 30	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < -𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ -𝐾)
32		0p1e1 12356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
33	32	breq1i 5116	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 + 1) ≤ -𝐾 ↔ 1 ≤ -𝐾)
34	31, 33	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < -𝐾 ↔ 1 ≤ -𝐾)
35	27, 34	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 < 0 ↔ 1 ≤ -𝐾)
36	2	recni 11218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
37	15	recni 11218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
38	36, 37	mulneg1i 11655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-𝐾 · 𝐴) = -(𝐾 · 𝐴)
39	38	oveq2i 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) = (𝐴 − -(𝐾 · 𝐴))
40	16	recni 11218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 · 𝐴) ∈ ℂ
41	37, 40	subnegi 11532	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 − -(𝐾 · 𝐴)) = (𝐴 + (𝐾 · 𝐴))
42	39, 41	eqtri 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) = (𝐴 + (𝐾 · 𝐴))
43	42	breq1i 5116	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0)
44	19, 15	remulcli 11220	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ
45		suble0 11723	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (-𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴)))
46	15, 44, 45	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
47	43, 46	bitr3i 280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
48	25, 35, 47	3imtr4i 295	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 < 0 → (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0)
49	14, 16	readdcli 11219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℝ
50	15, 16	readdcli 11219	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℝ
51	49, 50, 3	ltletri 11333	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ∧ (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0) → (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 0)
52	18, 48, 51	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ (𝐾 < 0 → (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 0)
53	49, 3	ltnlei 11326	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
54	52, 53	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝐾 < 0 → ¬ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
55		elfzle1 13550	. . . 4 ⊢ ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) → 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
56	54, 55	nsyl 141	. . 3 ⊢ (𝐾 < 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
57		zltp1le 12639	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (0 < 𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ 𝐾))
58	6, 1, 57	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ 𝐾)
59	32	breq1i 5116	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 1) ≤ 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾)
60	58, 59	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾)
61		lemulge12 12073	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
62	15, 2, 61	mpanl12 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
63	21, 62	mpan 702	. . . . . . 7 ⊢ (1 ≤ 𝐾 → 𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
64	60, 63	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (0 < 𝐾 → 𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
65	11	simp2i 1158	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 𝑋
66		addge02 11720	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑋 ↔ (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴))))
67	16, 14, 66	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 𝑋 ↔ (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
68	65, 67	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴))
69	15, 16, 49	letri 11334	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴) ∧ (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴))) → 𝐴 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
70	64, 68, 69	sylancl 597	. . . . 5 ⊢ (0 < 𝐾 → 𝐴 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
71	15, 49	lenlti 11325	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ↔ ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)
72	70, 71	sylib 221	. . . 4 ⊢ (0 < 𝐾 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)
73		elfzm11 13619	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∧ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)))
74	6, 8, 73	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∧ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴))
75	74	simp3bi 1165	. . . 4 ⊢ ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) → (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)
76	72, 75	nsyl 141	. . 3 ⊢ (0 < 𝐾 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
77	56, 76	jaoi 870	. 2 ⊢ ((𝐾 < 0 ∨ 0 < 𝐾) → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
78	4, 77	sylbi 220	1 ⊢ (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 400 ∨ wo 860 ∧ w3a 1103 ∈ wcel 2143 ≠ wne 2958 class class class wbr 5109 (class class class)co 7410 ℝcr 11094 0cc0 11095 1c1 11096 + caddc 11098 · cmul 11100 < clt 11238 ≤ cle 11239 − cmin 11436 -cneg 11437 ℕcn 12228 ℤcz 12586 ...cfz 13530

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1825 ax-4 1839 ax-5 1940 ax-6 1997 ax-7 2038 ax-8 2145 ax-9 2153 ax-10 2176 ax-11 2192 ax-12 2213 ax-ext 2735 ax-sep 5257 ax-nul 5269 ax-pow 5336 ax-pr 5404 ax-un 7732 ax-cnex 11151 ax-resscn 11152 ax-1cn 11153 ax-icn 11154 ax-addcl 11155 ax-addrcl 11156 ax-mulcl 11157 ax-mulrcl 11158 ax-mulcom 11159 ax-addass 11160 ax-mulass 11161 ax-distr 11162 ax-i2m1 11163 ax-1ne0 11164 ax-1rid 11165 ax-rnegex 11166 ax-rrecex 11167 ax-cnre 11168 ax-pre-lttri 11169 ax-pre-lttrn 11170 ax-pre-ltadd 11171 ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1810 df-nf 1814 df-sb 2097 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2838 df-nfc 2912 df-ne 2959 df-nel 3065 df-ral 3080 df-rex 3090 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3457 df-sbc 3745 df-csb 3854 df-dif 3908 df-un 3910 df-in 3912 df-ss 3922 df-pss 3925 df-nul 4287 df-if 4488 df-pw 4564 df-sn 4590 df-pr 4592 df-op 4596 df-uni 4873 df-iun 4958 df-br 5110 df-opab 5174 df-mpt 5193 df-tr 5219 df-id 5556 df-eprel 5561 df-po 5569 df-so 5570 df-fr 5614 df-we 5616 df-xp 5667 df-rel 5668 df-cnv 5669 df-co 5670 df-dm 5671 df-rn 5672 df-res 5673 df-ima 5674 df-pred 6302 df-ord 6363 df-on 6364 df-lim 6365 df-suc 6366 df-iota 6492 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7367 df-ov 7413 df-oprab 7414 df-mpo 7415 df-om 7859 df-1st 7982 df-2nd 7983 df-frecs 8274 df-wrecs 8305 df-recs 8354 df-rdg 8393 df-er 8690 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-pnf 11240 df-mnf 11241 df-xr 11242 df-ltxr 11243 df-le 11244 df-sub 11438 df-neg 11439 df-nn 12229 df-n0 12500 df-z 12587 df-uz 12858 df-fz 13531

This theorem is referenced by: divalglem7 16452

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