MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem6 16338
Description: Lemma for divalg 16343. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem6.1 ๐ด โˆˆ โ„•
divalglem6.2 ๐‘‹ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))
divalglem6.3 ๐พ โˆˆ โ„ค
Assertion
Ref Expression
divalglem6 (๐พ โ‰  0 โ†’ ยฌ (๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด)) โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1)))

Proof of Theorem divalglem6
StepHypRef Expression
1 divalglem6.3 . . . 4 ๐พ โˆˆ โ„ค
21zrei 12561 . . 3 ๐พ โˆˆ โ„
3 0re 11213 . . 3 0 โˆˆ โ„
42, 3lttri2i 11325 . 2 (๐พ โ‰  0 โ†” (๐พ < 0 โˆจ 0 < ๐พ))
5 divalglem6.2 . . . . . . . . 9 ๐‘‹ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1))
6 0z 12566 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„ค
7 divalglem6.1 . . . . . . . . . . 11 ๐ด โˆˆ โ„•
87nnzi 12583 . . . . . . . . . 10 ๐ด โˆˆ โ„ค
9 elfzm11 13569 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1)) โ†” (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ < ๐ด)))
106, 8, 9mp2an 689 . . . . . . . . 9 (๐‘‹ โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1)) โ†” (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ < ๐ด))
115, 10mpbi 229 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ < ๐ด)
1211simp3i 1138 . . . . . . 7 ๐‘‹ < ๐ด
1311simp1i 1136 . . . . . . . . 9 ๐‘‹ โˆˆ โ„ค
1413zrei 12561 . . . . . . . 8 ๐‘‹ โˆˆ โ„
157nnrei 12218 . . . . . . . 8 ๐ด โˆˆ โ„
162, 15remulcli 11227 . . . . . . . 8 (๐พ ยท ๐ด) โˆˆ โ„
1714, 15, 16ltadd1i 11765 . . . . . . 7 (๐‘‹ < ๐ด โ†” (๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด)) < (๐ด + (๐พ ยท ๐ด)))
1812, 17mpbi 229 . . . . . 6 (๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด)) < (๐ด + (๐พ ยท ๐ด))
192renegcli 11518 . . . . . . . 8 -๐พ โˆˆ โ„
207nnnn0i 12477 . . . . . . . . . 10 ๐ด โˆˆ โ„•0
2120nn0ge0i 12496 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค ๐ด
22 lemulge12 12074 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง -๐พ โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 1 โ‰ค -๐พ)) โ†’ ๐ด โ‰ค (-๐พ ยท ๐ด))
2322an4s 657 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (-๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค -๐พ)) โ†’ ๐ด โ‰ค (-๐พ ยท ๐ด))
2415, 21, 23mpanl12 699 . . . . . . . 8 ((-๐พ โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค -๐พ) โ†’ ๐ด โ‰ค (-๐พ ยท ๐ด))
2519, 24mpan 687 . . . . . . 7 (1 โ‰ค -๐พ โ†’ ๐ด โ‰ค (-๐พ ยท ๐ด))
26 lt0neg1 11717 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„ โ†’ (๐พ < 0 โ†” 0 < -๐พ))
272, 26ax-mp 5 . . . . . . . 8 (๐พ < 0 โ†” 0 < -๐พ)
28 znegcl 12594 . . . . . . . . . . 11 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ -๐พ โˆˆ โ„ค)
291, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 -๐พ โˆˆ โ„ค
30 zltp1le 12609 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง -๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 < -๐พ โ†” (0 + 1) โ‰ค -๐พ))
316, 29, 30mp2an 689 . . . . . . . . 9 (0 < -๐พ โ†” (0 + 1) โ‰ค -๐พ)
32 0p1e1 12331 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
3332breq1i 5145 . . . . . . . . 9 ((0 + 1) โ‰ค -๐พ โ†” 1 โ‰ค -๐พ)
3431, 33bitri 275 . . . . . . . 8 (0 < -๐พ โ†” 1 โ‰ค -๐พ)
3527, 34bitri 275 . . . . . . 7 (๐พ < 0 โ†” 1 โ‰ค -๐พ)
362recni 11225 . . . . . . . . . . . 12 ๐พ โˆˆ โ„‚
3715recni 11225 . . . . . . . . . . . 12 ๐ด โˆˆ โ„‚
3836, 37mulneg1i 11657 . . . . . . . . . . 11 (-๐พ ยท ๐ด) = -(๐พ ยท ๐ด)
3938oveq2i 7412 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆ’ (-๐พ ยท ๐ด)) = (๐ด โˆ’ -(๐พ ยท ๐ด))
4016recni 11225 . . . . . . . . . . 11 (๐พ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚
4137, 40subnegi 11536 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆ’ -(๐พ ยท ๐ด)) = (๐ด + (๐พ ยท ๐ด))
4239, 41eqtri 2752 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆ’ (-๐พ ยท ๐ด)) = (๐ด + (๐พ ยท ๐ด))
4342breq1i 5145 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆ’ (-๐พ ยท ๐ด)) โ‰ค 0 โ†” (๐ด + (๐พ ยท ๐ด)) โ‰ค 0)
4419, 15remulcli 11227 . . . . . . . . 9 (-๐พ ยท ๐ด) โˆˆ โ„
45 suble0 11725 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (-๐พ ยท ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ (-๐พ ยท ๐ด)) โ‰ค 0 โ†” ๐ด โ‰ค (-๐พ ยท ๐ด)))
4615, 44, 45mp2an 689 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆ’ (-๐พ ยท ๐ด)) โ‰ค 0 โ†” ๐ด โ‰ค (-๐พ ยท ๐ด))
4743, 46bitr3i 277 . . . . . . 7 ((๐ด + (๐พ ยท ๐ด)) โ‰ค 0 โ†” ๐ด โ‰ค (-๐พ ยท ๐ด))
4825, 35, 473imtr4i 292 . . . . . 6 (๐พ < 0 โ†’ (๐ด + (๐พ ยท ๐ด)) โ‰ค 0)
4914, 16readdcli 11226 . . . . . . 7 (๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด)) โˆˆ โ„
5015, 16readdcli 11226 . . . . . . 7 (๐ด + (๐พ ยท ๐ด)) โˆˆ โ„
5149, 50, 3ltletri 11339 . . . . . 6 (((๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด)) < (๐ด + (๐พ ยท ๐ด)) โˆง (๐ด + (๐พ ยท ๐ด)) โ‰ค 0) โ†’ (๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด)) < 0)
5218, 48, 51sylancr 586 . . . . 5 (๐พ < 0 โ†’ (๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด)) < 0)
5349, 3ltnlei 11332 . . . . 5 ((๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด)) < 0 โ†” ยฌ 0 โ‰ค (๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด)))
5452, 53sylib 217 . . . 4 (๐พ < 0 โ†’ ยฌ 0 โ‰ค (๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด)))
55 elfzle1 13501 . . . 4 ((๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด)) โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1)) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด)))
5654, 55nsyl 140 . . 3 (๐พ < 0 โ†’ ยฌ (๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด)) โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1)))
57 zltp1le 12609 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 < ๐พ โ†” (0 + 1) โ‰ค ๐พ))
586, 1, 57mp2an 689 . . . . . . . 8 (0 < ๐พ โ†” (0 + 1) โ‰ค ๐พ)
5932breq1i 5145 . . . . . . . 8 ((0 + 1) โ‰ค ๐พ โ†” 1 โ‰ค ๐พ)
6058, 59bitri 275 . . . . . . 7 (0 < ๐พ โ†” 1 โ‰ค ๐พ)
61 lemulge12 12074 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 1 โ‰ค ๐พ)) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐พ ยท ๐ด))
6215, 2, 61mpanl12 699 . . . . . . . 8 ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 1 โ‰ค ๐พ) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐พ ยท ๐ด))
6321, 62mpan 687 . . . . . . 7 (1 โ‰ค ๐พ โ†’ ๐ด โ‰ค (๐พ ยท ๐ด))
6460, 63sylbi 216 . . . . . 6 (0 < ๐พ โ†’ ๐ด โ‰ค (๐พ ยท ๐ด))
6511simp2i 1137 . . . . . . 7 0 โ‰ค ๐‘‹
66 addge02 11722 . . . . . . . 8 (((๐พ ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐‘‹ โ†” (๐พ ยท ๐ด) โ‰ค (๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด))))
6716, 14, 66mp2an 689 . . . . . . 7 (0 โ‰ค ๐‘‹ โ†” (๐พ ยท ๐ด) โ‰ค (๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด)))
6865, 67mpbi 229 . . . . . 6 (๐พ ยท ๐ด) โ‰ค (๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด))
6915, 16, 49letri 11340 . . . . . 6 ((๐ด โ‰ค (๐พ ยท ๐ด) โˆง (๐พ ยท ๐ด) โ‰ค (๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด))) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด)))
7064, 68, 69sylancl 585 . . . . 5 (0 < ๐พ โ†’ ๐ด โ‰ค (๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด)))
7115, 49lenlti 11331 . . . . 5 (๐ด โ‰ค (๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด)) โ†” ยฌ (๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด)) < ๐ด)
7270, 71sylib 217 . . . 4 (0 < ๐พ โ†’ ยฌ (๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด)) < ๐ด)
73 elfzm11 13569 . . . . . 6 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด)) โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1)) โ†” ((๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค (๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด)) โˆง (๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด)) < ๐ด)))
746, 8, 73mp2an 689 . . . . 5 ((๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด)) โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1)) โ†” ((๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค (๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด)) โˆง (๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด)) < ๐ด))
7574simp3bi 1144 . . . 4 ((๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด)) โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1)) โ†’ (๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด)) < ๐ด)
7672, 75nsyl 140 . . 3 (0 < ๐พ โ†’ ยฌ (๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด)) โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1)))
7756, 76jaoi 854 . 2 ((๐พ < 0 โˆจ 0 < ๐พ) โ†’ ยฌ (๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด)) โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1)))
784, 77sylbi 216 1 (๐พ โ‰  0 โ†’ ยฌ (๐‘‹ + (๐พ ยท ๐ด)) โˆˆ (0...(๐ด โˆ’ 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1084   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   < clt 11245   โ‰ค cle 11246   โˆ’ cmin 11441  -cneg 11442  โ„•cn 12209  โ„คcz 12555  ...cfz 13481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482
This theorem is referenced by:  divalglem7  16339
  Copyright terms: Public domain W3C validator