divalglem6 - Metamath Proof Explorer

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Theorem divalglem6 16337

Description: Lemma for divalg 16342. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
divalglem6.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
divalglem6.2	⊢ 𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1))
divalglem6.3	⊢ 𝐾 ∈ ℤ

**Assertion**
Ref	Expression
divalglem6	⊢ (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))

**Proof of Theorem divalglem6**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem6.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
2	1	zrei 12506	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ ℝ
3		0re 11146	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4	2, 3	lttri2i 11259	. 2 ⊢ (𝐾 ≠ 0 ↔ (𝐾 < 0 ∨ 0 < 𝐾))
5		divalglem6.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1))
6		0z 12511	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		divalglem6.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
8	7	nnzi 12527	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
9		elfzm11 13523	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐴)))
10	6, 8, 9	mp2an 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐴))
11	5, 10	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐴)
12	11	simp3i 1142	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 < 𝐴
13	11	simp1i 1140	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 ∈ ℤ
14	13	zrei 12506	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 ∈ ℝ
15	7	nnrei 12166	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
16	2, 15	remulcli 11160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ
17	14, 15, 16	ltadd1i 11703	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 < 𝐴 ↔ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)))
18	12, 17	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < (𝐴 + (𝐾 · 𝐴))
19	2	renegcli 11454	. . . . . . . 8 ⊢ -𝐾 ∈ ℝ
20	7	nnnn0i 12421	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ₀
21	20	nn0ge0i 12440	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 𝐴
22		lemulge12 12017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐾 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ -𝐾)) → 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
23	22	an4s 661	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (-𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ -𝐾)) → 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
24	15, 21, 23	mpanl12 703	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ -𝐾) → 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
25	19, 24	mpan 691	. . . . . . 7 ⊢ (1 ≤ -𝐾 → 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
26		lt0neg1 11655	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 < 0 ↔ 0 < -𝐾))
27	2, 26	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 < 0 ↔ 0 < -𝐾)
28		znegcl 12538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → -𝐾 ∈ ℤ)
29	1, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ -𝐾 ∈ ℤ
30		zltp1le 12553	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ -𝐾 ∈ ℤ) → (0 < -𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ -𝐾))
31	6, 29, 30	mp2an 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < -𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ -𝐾)
32		0p1e1 12274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
33	32	breq1i 5107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 + 1) ≤ -𝐾 ↔ 1 ≤ -𝐾)
34	31, 33	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < -𝐾 ↔ 1 ≤ -𝐾)
35	27, 34	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 < 0 ↔ 1 ≤ -𝐾)
36	2	recni 11158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
37	15	recni 11158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
38	36, 37	mulneg1i 11595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-𝐾 · 𝐴) = -(𝐾 · 𝐴)
39	38	oveq2i 7379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) = (𝐴 − -(𝐾 · 𝐴))
40	16	recni 11158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 · 𝐴) ∈ ℂ
41	37, 40	subnegi 11472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 − -(𝐾 · 𝐴)) = (𝐴 + (𝐾 · 𝐴))
42	39, 41	eqtri 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) = (𝐴 + (𝐾 · 𝐴))
43	42	breq1i 5107	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0)
44	19, 15	remulcli 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ
45		suble0 11663	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (-𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴)))
46	15, 44, 45	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
47	43, 46	bitr3i 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
48	25, 35, 47	3imtr4i 292	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 < 0 → (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0)
49	14, 16	readdcli 11159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℝ
50	15, 16	readdcli 11159	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℝ
51	49, 50, 3	ltletri 11273	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ∧ (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0) → (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 0)
52	18, 48, 51	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝐾 < 0 → (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 0)
53	49, 3	ltnlei 11266	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
54	52, 53	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝐾 < 0 → ¬ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
55		elfzle1 13455	. . . 4 ⊢ ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) → 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
56	54, 55	nsyl 140	. . 3 ⊢ (𝐾 < 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
57		zltp1le 12553	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (0 < 𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ 𝐾))
58	6, 1, 57	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ 𝐾)
59	32	breq1i 5107	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 1) ≤ 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾)
60	58, 59	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾)
61		lemulge12 12017	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
62	15, 2, 61	mpanl12 703	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
63	21, 62	mpan 691	. . . . . . 7 ⊢ (1 ≤ 𝐾 → 𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
64	60, 63	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (0 < 𝐾 → 𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
65	11	simp2i 1141	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 𝑋
66		addge02 11660	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑋 ↔ (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴))))
67	16, 14, 66	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 𝑋 ↔ (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
68	65, 67	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴))
69	15, 16, 49	letri 11274	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴) ∧ (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴))) → 𝐴 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
70	64, 68, 69	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (0 < 𝐾 → 𝐴 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
71	15, 49	lenlti 11265	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ↔ ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)
72	70, 71	sylib 218	. . . 4 ⊢ (0 < 𝐾 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)
73		elfzm11 13523	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∧ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)))
74	6, 8, 73	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∧ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴))
75	74	simp3bi 1148	. . . 4 ⊢ ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) → (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)
76	72, 75	nsyl 140	. . 3 ⊢ (0 < 𝐾 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
77	56, 76	jaoi 858	. 2 ⊢ ((𝐾 < 0 ∨ 0 < 𝐾) → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
78	4, 77	sylbi 217	1 ⊢ (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 848 ∧ w3a 1087 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2933 class class class wbr 5100 (class class class)co 7368 ℝcr 11037 0cc0 11038 1c1 11039 + caddc 11041 · cmul 11043 < clt 11178 ≤ cle 11179 − cmin 11376 -cneg 11377 ℕcn 12157 ℤcz 12500 ...cfz 13435

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-sep 5243 ax-nul 5253 ax-pow 5312 ax-pr 5379 ax-un 7690 ax-cnex 11094 ax-resscn 11095 ax-1cn 11096 ax-icn 11097 ax-addcl 11098 ax-addrcl 11099 ax-mulcl 11100 ax-mulrcl 11101 ax-mulcom 11102 ax-addass 11103 ax-mulass 11104 ax-distr 11105 ax-i2m1 11106 ax-1ne0 11107 ax-1rid 11108 ax-rnegex 11109 ax-rrecex 11110 ax-cnre 11111 ax-pre-lttri 11112 ax-pre-lttrn 11113 ax-pre-ltadd 11114 ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-reu 3353 df-rab 3402 df-v 3444 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-dif 3906 df-un 3908 df-in 3910 df-ss 3920 df-pss 3923 df-nul 4288 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4583 df-pr 4585 df-op 4589 df-uni 4866 df-iun 4950 df-br 5101 df-opab 5163 df-mpt 5182 df-tr 5208 df-id 5527 df-eprel 5532 df-po 5540 df-so 5541 df-fr 5585 df-we 5587 df-xp 5638 df-rel 5639 df-cnv 5640 df-co 5641 df-dm 5642 df-rn 5643 df-res 5644 df-ima 5645 df-pred 6267 df-ord 6328 df-on 6329 df-lim 6330 df-suc 6331 df-iota 6456 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-riota 7325 df-ov 7371 df-oprab 7372 df-mpo 7373 df-om 7819 df-1st 7943 df-2nd 7944 df-frecs 8233 df-wrecs 8264 df-recs 8313 df-rdg 8351 df-er 8645 df-en 8896 df-dom 8897 df-sdom 8898 df-pnf 11180 df-mnf 11181 df-xr 11182 df-ltxr 11183 df-le 11184 df-sub 11378 df-neg 11379 df-nn 12158 df-n0 12414 df-z 12501 df-uz 12764 df-fz 13436

This theorem is referenced by: divalglem7 16338

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