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Theorem divalglem6 15330
Description: Lemma for divalg 15335. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem6.1 𝐴 ∈ ℕ
divalglem6.2 𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1))
divalglem6.3 𝐾 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
divalglem6 (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))

Proof of Theorem divalglem6
StepHypRef Expression
1 divalglem6.3 . . . 4 𝐾 ∈ ℤ
21zrei 11586 . . 3 𝐾 ∈ ℝ
3 0re 10243 . . 3 0 ∈ ℝ
42, 3lttri2i 10354 . 2 (𝐾 ≠ 0 ↔ (𝐾 < 0 ∨ 0 < 𝐾))
5 divalglem6.2 . . . . . . . . 9 𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1))
6 0z 11591 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
7 divalglem6.1 . . . . . . . . . . 11 𝐴 ∈ ℕ
87nnzi 11604 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ ℤ
9 elfzm11 12619 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 < 𝐴)))
106, 8, 9mp2an 666 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 < 𝐴))
115, 10mpbi 220 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 < 𝐴)
1211simp3i 1135 . . . . . . 7 𝑋 < 𝐴
1311simp1i 1133 . . . . . . . . 9 𝑋 ∈ ℤ
1413zrei 11586 . . . . . . . 8 𝑋 ∈ ℝ
157nnrei 11232 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℝ
162, 15remulcli 10257 . . . . . . . 8 (𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ
1714, 15, 16ltadd1i 10785 . . . . . . 7 (𝑋 < 𝐴 ↔ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)))
1812, 17mpbi 220 . . . . . 6 (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < (𝐴 + (𝐾 · 𝐴))
192renegcli 10545 . . . . . . . 8 -𝐾 ∈ ℝ
207nnnn0i 11503 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ ℕ0
2120nn0ge0i 11523 . . . . . . . . 9 0 ≤ 𝐴
22 lemulge12 11089 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐾 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ -𝐾)) → 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
2322an4s 633 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (-𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ -𝐾)) → 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
2415, 21, 23mpanl12 676 . . . . . . . 8 ((-𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ -𝐾) → 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
2519, 24mpan 664 . . . . . . 7 (1 ≤ -𝐾𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
26 lt0neg1 10737 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 < 0 ↔ 0 < -𝐾))
272, 26ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐾 < 0 ↔ 0 < -𝐾)
28 znegcl 11615 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → -𝐾 ∈ ℤ)
291, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 -𝐾 ∈ ℤ
30 zltp1le 11630 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℤ ∧ -𝐾 ∈ ℤ) → (0 < -𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ -𝐾))
316, 29, 30mp2an 666 . . . . . . . . 9 (0 < -𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ -𝐾)
32 0p1e1 11335 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
3332breq1i 4794 . . . . . . . . 9 ((0 + 1) ≤ -𝐾 ↔ 1 ≤ -𝐾)
3431, 33bitri 264 . . . . . . . 8 (0 < -𝐾 ↔ 1 ≤ -𝐾)
3527, 34bitri 264 . . . . . . 7 (𝐾 < 0 ↔ 1 ≤ -𝐾)
362recni 10255 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 ∈ ℂ
3715recni 10255 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ∈ ℂ
3836, 37mulneg1i 10679 . . . . . . . . . . 11 (-𝐾 · 𝐴) = -(𝐾 · 𝐴)
3938oveq2i 6805 . . . . . . . . . 10 (𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) = (𝐴 − -(𝐾 · 𝐴))
4016recni 10255 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 · 𝐴) ∈ ℂ
4137, 40subnegi 10563 . . . . . . . . . 10 (𝐴 − -(𝐾 · 𝐴)) = (𝐴 + (𝐾 · 𝐴))
4239, 41eqtri 2793 . . . . . . . . 9 (𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) = (𝐴 + (𝐾 · 𝐴))
4342breq1i 4794 . . . . . . . 8 ((𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0)
4419, 15remulcli 10257 . . . . . . . . 9 (-𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ
45 suble0 10745 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (-𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴)))
4615, 44, 45mp2an 666 . . . . . . . 8 ((𝐴 − (-𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
4743, 46bitr3i 266 . . . . . . 7 ((𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0 ↔ 𝐴 ≤ (-𝐾 · 𝐴))
4825, 35, 473imtr4i 281 . . . . . 6 (𝐾 < 0 → (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0)
4914, 16readdcli 10256 . . . . . . 7 (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℝ
5015, 16readdcli 10256 . . . . . . 7 (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℝ
5149, 50, 3ltletri 10368 . . . . . 6 (((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ∧ (𝐴 + (𝐾 · 𝐴)) ≤ 0) → (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 0)
5218, 48, 51sylancr 569 . . . . 5 (𝐾 < 0 → (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 0)
5349, 3ltnlei 10361 . . . . 5 ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
5452, 53sylib 208 . . . 4 (𝐾 < 0 → ¬ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
55 elfzle1 12552 . . . 4 ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) → 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
5654, 55nsyl 137 . . 3 (𝐾 < 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
57 zltp1le 11630 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (0 < 𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ 𝐾))
586, 1, 57mp2an 666 . . . . . . . 8 (0 < 𝐾 ↔ (0 + 1) ≤ 𝐾)
5932breq1i 4794 . . . . . . . 8 ((0 + 1) ≤ 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾)
6058, 59bitri 264 . . . . . . 7 (0 < 𝐾 ↔ 1 ≤ 𝐾)
61 lemulge12 11089 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐾)) → 𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
6215, 2, 61mpanl12 676 . . . . . . . 8 ((0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐾) → 𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
6321, 62mpan 664 . . . . . . 7 (1 ≤ 𝐾𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
6460, 63sylbi 207 . . . . . 6 (0 < 𝐾𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴))
6511simp2i 1134 . . . . . . 7 0 ≤ 𝑋
66 addge02 10742 . . . . . . . 8 (((𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑋 ↔ (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴))))
6716, 14, 66mp2an 666 . . . . . . 7 (0 ≤ 𝑋 ↔ (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
6865, 67mpbi 220 . . . . . 6 (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴))
6915, 16, 49letri 10369 . . . . . 6 ((𝐴 ≤ (𝐾 · 𝐴) ∧ (𝐾 · 𝐴) ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴))) → 𝐴 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
7064, 68, 69sylancl 568 . . . . 5 (0 < 𝐾𝐴 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)))
7115, 49lenlti 10360 . . . . 5 (𝐴 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ↔ ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)
7270, 71sylib 208 . . . 4 (0 < 𝐾 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)
73 elfzm11 12619 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∧ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)))
746, 8, 73mp2an 666 . . . . 5 ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) ↔ ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∧ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴))
7574simp3bi 1141 . . . 4 ((𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)) → (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) < 𝐴)
7672, 75nsyl 137 . . 3 (0 < 𝐾 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
7756, 76jaoi 838 . 2 ((𝐾 < 0 ∨ 0 < 𝐾) → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
784, 77sylbi 207 1 (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · 𝐴)) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 828  w3a 1071  wcel 2145  wne 2943   class class class wbr 4787  (class class class)co 6794  cr 10138  0cc0 10139  1c1 10140   + caddc 10142   · cmul 10144   < clt 10277  cle 10278  cmin 10469  -cneg 10470  cn 11223  cz 11580  ...cfz 12534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-er 7897  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-nn 11224  df-n0 11496  df-z 11581  df-uz 11890  df-fz 12535
This theorem is referenced by:  divalglem7  15331
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