MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgt12el2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashgt12el2 13990
Description: In a set with more than one element are two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashgt12el2 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏)
Distinct variable groups:   𝑉,𝑏   𝐴,𝑏
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑏)

Proof of Theorem hashgt12el2
StepHypRef Expression
1 hash0 13934 . . . 4 (♯‘∅) = 0
2 fveq2 6717 . . . 4 (∅ = 𝑉 → (♯‘∅) = (♯‘𝑉))
31, 2eqtr3id 2792 . . 3 (∅ = 𝑉 → 0 = (♯‘𝑉))
4 breq2 5057 . . . . . . 7 ((♯‘𝑉) = 0 → (1 < (♯‘𝑉) ↔ 1 < 0))
54biimpd 232 . . . . . 6 ((♯‘𝑉) = 0 → (1 < (♯‘𝑉) → 1 < 0))
65eqcoms 2745 . . . . 5 (0 = (♯‘𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → 1 < 0))
7 0le1 11355 . . . . . 6 0 ≤ 1
8 0re 10835 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
9 1re 10833 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
108, 9lenlti 10952 . . . . . . 7 (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
11 pm2.21 123 . . . . . . 7 (¬ 1 < 0 → (1 < 0 → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
1210, 11sylbi 220 . . . . . 6 (0 ≤ 1 → (1 < 0 → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
137, 12ax-mp 5 . . . . 5 (1 < 0 → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏)
146, 13syl6com 37 . . . 4 (1 < (♯‘𝑉) → (0 = (♯‘𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
15143ad2ant2 1136 . . 3 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → (0 = (♯‘𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
163, 15syl5com 31 . 2 (∅ = 𝑉 → ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
17 df-ne 2941 . . . 4 (∅ ≠ 𝑉 ↔ ¬ ∅ = 𝑉)
18 necom 2994 . . . 4 (∅ ≠ 𝑉𝑉 ≠ ∅)
1917, 18bitr3i 280 . . 3 (¬ ∅ = 𝑉𝑉 ≠ ∅)
20 ralnex 3158 . . . . . . . . . 10 (∀𝑏𝑉 ¬ 𝐴𝑏 ↔ ¬ ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏)
21 nne 2944 . . . . . . . . . . . 12 𝐴𝑏𝐴 = 𝑏)
22 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = 𝑏𝑏 = 𝐴)
2321, 22bitri 278 . . . . . . . . . . 11 𝐴𝑏𝑏 = 𝐴)
2423ralbii 3088 . . . . . . . . . 10 (∀𝑏𝑉 ¬ 𝐴𝑏 ↔ ∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴)
2520, 24bitr3i 280 . . . . . . . . 9 (¬ ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏 ↔ ∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴)
26 eqsn 4742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 = {𝐴} ↔ ∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴))
2726bicomd 226 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴𝑉 = {𝐴}))
2827adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴𝑉 = {𝐴}))
2928adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴𝑉 = {𝐴}))
30 hashsnle1 13984 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘{𝐴}) ≤ 1
31 fveq2 6717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 = {𝐴} → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝐴}))
3231breq1d 5063 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑉 = {𝐴} → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ (♯‘{𝐴}) ≤ 1))
3332adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑉 = {𝐴}) → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ (♯‘{𝐴}) ≤ 1))
3430, 33mpbiri 261 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑉 = {𝐴}) → (♯‘𝑉) ≤ 1)
3534ex 416 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (𝑉 = {𝐴} → (♯‘𝑉) ≤ 1))
3629, 35sylbid 243 . . . . . . . . . 10 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴 → (♯‘𝑉) ≤ 1))
37 hashxrcl 13924 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉𝑊 → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
3837adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
3938adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
40 1xr 10892 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ*
41 xrlenlt 10898 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑉) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
4239, 40, 41sylancl 589 . . . . . . . . . 10 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
4336, 42sylibd 242 . . . . . . . . 9 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴 → ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
4425, 43syl5bi 245 . . . . . . . 8 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (¬ ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏 → ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
4544con4d 115 . . . . . . 7 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
4645exp31 423 . . . . . 6 (𝑉𝑊 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐴𝑉 → (1 < (♯‘𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))))
4746com24 95 . . . . 5 (𝑉𝑊 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐴𝑉 → (𝑉 ≠ ∅ → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))))
48473imp 1113 . . . 4 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → (𝑉 ≠ ∅ → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
4948com12 32 . . 3 (𝑉 ≠ ∅ → ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
5019, 49sylbi 220 . 2 (¬ ∅ = 𝑉 → ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
5116, 50pm2.61i 185 1 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wral 3061  wrex 3062  c0 4237  {csn 4541   class class class wbr 5053  cfv 6380  0cc0 10729  1c1 10730  *cxr 10866   < clt 10867  cle 10868  chash 13896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-hash 13897
This theorem is referenced by:  conngrv2edg  28278  3cyclfrgrrn  28369  copisnmnd  45036
  Copyright terms: Public domain W3C validator