Theorem hashgt12el2 14348

Description: In a set with more than one element are two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hashgt12el2	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏)

Distinct variable groups:   𝑉,𝑏   𝐴,𝑏

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑏)

Proof of Theorem hashgt12el2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash0 14292	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
2		fveq2 6834	. . . 4 ⊢ (∅ = 𝑉 → (♯‘∅) = (♯‘𝑉))
3	1, 2	eqtr3id 2785	. . 3 ⊢ (∅ = 𝑉 → 0 = (♯‘𝑉))
4		breq2 5102	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑉) = 0 → (1 < (♯‘𝑉) ↔ 1 < 0))
5	4	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑉) = 0 → (1 < (♯‘𝑉) → 1 < 0))
6	5	eqcoms 2744	. . . . 5 ⊢ (0 = (♯‘𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → 1 < 0))
7		0le1 11662	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
8		0re 11136	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		1re 11134	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
10	8, 9	lenlti 11255	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
11		pm2.21 123	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 1 < 0 → (1 < 0 → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏))
12	10, 11	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 1 → (1 < 0 → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏))
13	7, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏)
14	6, 13	syl6com 37	. . . 4 ⊢ (1 < (♯‘𝑉) → (0 = (♯‘𝑉) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏))
15	14	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (0 = (♯‘𝑉) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏))
16	3, 15	syl5com 31	. 2 ⊢ (∅ = 𝑉 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏))
17		df-ne 2933	. . . 4 ⊢ (∅ ≠ 𝑉 ↔ ¬ ∅ = 𝑉)
18		necom 2985	. . . 4 ⊢ (∅ ≠ 𝑉 ↔ 𝑉 ≠ ∅)
19	17, 18	bitr3i 277	. . 3 ⊢ (¬ ∅ = 𝑉 ↔ 𝑉 ≠ ∅)
20		ralnex 3062	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑉 ¬ 𝐴 ≠ 𝑏 ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏)
21		nne 2936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝐴 ≠ 𝑏 ↔ 𝐴 = 𝑏)
22		eqcom 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = 𝑏 ↔ 𝑏 = 𝐴)
23	21, 22	bitri 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝐴 ≠ 𝑏 ↔ 𝑏 = 𝐴)
24	23	ralbii 3082	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑉 ¬ 𝐴 ≠ 𝑏 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝐴)
25	20, 24	bitr3i 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝐴)
26		eqsn 4785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 = {𝐴} ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝐴))
27	26	bicomd 223	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝐴 ↔ 𝑉 = {𝐴}))
28	27	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝐴 ↔ 𝑉 = {𝐴}))
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝐴 ↔ 𝑉 = {𝐴}))
30		hashsnle1 14342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (♯‘{𝐴}) ≤ 1
31		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑉 = {𝐴} → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝐴}))
32	31	breq1d 5108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑉 = {𝐴} → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ (♯‘{𝐴}) ≤ 1))
33	32	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑉 = {𝐴}) → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ (♯‘{𝐴}) ≤ 1))
34	30, 33	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑉 = {𝐴}) → (♯‘𝑉) ≤ 1)
35	34	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑉 = {𝐴} → (♯‘𝑉) ≤ 1))
36	29, 35	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝐴 → (♯‘𝑉) ≤ 1))
37		hashxrcl 14282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
40		1xr 11193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ*
41		xrlenlt 11199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
42	39, 40, 41	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
43	36, 42	sylibd 239	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝐴 → ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
44	25, 43	biimtrid 242	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (¬ ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏 → ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
45	44	con4d 115	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏))
46	45	exp31 419	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ 𝑉 → (1 < (♯‘𝑉) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏))))
47	46	com24 95	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑉 ≠ ∅ → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏))))
48	47	3imp 1110	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑉 ≠ ∅ → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏))
49	48	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏))
50	19, 49	sylbi 217	. 2 ⊢ (¬ ∅ = 𝑉 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏))
51	16, 50	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ∅c0 4285  {csn 4580   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  0cc0 11028  1c1 11029  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169  ♯chash 14255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-xnn0 12477  df-z 12491  df-uz 12754  df-fz 13426  df-hash 14256

This theorem is referenced by:  conngrv2edg  30272  3cyclfrgrrn  30363  copisnmnd  48436