MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgt12el2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashgt12el2 14387
Description: In a set with more than one element are two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashgt12el2 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏)
Distinct variable groups:   𝑉,𝑏   𝐴,𝑏
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑏)

Proof of Theorem hashgt12el2
StepHypRef Expression
1 hash0 14331 . . . 4 (♯‘∅) = 0
2 fveq2 6890 . . . 4 (∅ = 𝑉 → (♯‘∅) = (♯‘𝑉))
31, 2eqtr3id 2784 . . 3 (∅ = 𝑉 → 0 = (♯‘𝑉))
4 breq2 5151 . . . . . . 7 ((♯‘𝑉) = 0 → (1 < (♯‘𝑉) ↔ 1 < 0))
54biimpd 228 . . . . . 6 ((♯‘𝑉) = 0 → (1 < (♯‘𝑉) → 1 < 0))
65eqcoms 2738 . . . . 5 (0 = (♯‘𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → 1 < 0))
7 0le1 11741 . . . . . 6 0 ≤ 1
8 0re 11220 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
9 1re 11218 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
108, 9lenlti 11338 . . . . . . 7 (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
11 pm2.21 123 . . . . . . 7 (¬ 1 < 0 → (1 < 0 → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
1210, 11sylbi 216 . . . . . 6 (0 ≤ 1 → (1 < 0 → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
137, 12ax-mp 5 . . . . 5 (1 < 0 → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏)
146, 13syl6com 37 . . . 4 (1 < (♯‘𝑉) → (0 = (♯‘𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
15143ad2ant2 1132 . . 3 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → (0 = (♯‘𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
163, 15syl5com 31 . 2 (∅ = 𝑉 → ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
17 df-ne 2939 . . . 4 (∅ ≠ 𝑉 ↔ ¬ ∅ = 𝑉)
18 necom 2992 . . . 4 (∅ ≠ 𝑉𝑉 ≠ ∅)
1917, 18bitr3i 276 . . 3 (¬ ∅ = 𝑉𝑉 ≠ ∅)
20 ralnex 3070 . . . . . . . . . 10 (∀𝑏𝑉 ¬ 𝐴𝑏 ↔ ¬ ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏)
21 nne 2942 . . . . . . . . . . . 12 𝐴𝑏𝐴 = 𝑏)
22 eqcom 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = 𝑏𝑏 = 𝐴)
2321, 22bitri 274 . . . . . . . . . . 11 𝐴𝑏𝑏 = 𝐴)
2423ralbii 3091 . . . . . . . . . 10 (∀𝑏𝑉 ¬ 𝐴𝑏 ↔ ∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴)
2520, 24bitr3i 276 . . . . . . . . 9 (¬ ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏 ↔ ∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴)
26 eqsn 4831 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 = {𝐴} ↔ ∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴))
2726bicomd 222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴𝑉 = {𝐴}))
2827adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴𝑉 = {𝐴}))
2928adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴𝑉 = {𝐴}))
30 hashsnle1 14381 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘{𝐴}) ≤ 1
31 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 = {𝐴} → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝐴}))
3231breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑉 = {𝐴} → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ (♯‘{𝐴}) ≤ 1))
3332adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑉 = {𝐴}) → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ (♯‘{𝐴}) ≤ 1))
3430, 33mpbiri 257 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑉 = {𝐴}) → (♯‘𝑉) ≤ 1)
3534ex 411 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (𝑉 = {𝐴} → (♯‘𝑉) ≤ 1))
3629, 35sylbid 239 . . . . . . . . . 10 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴 → (♯‘𝑉) ≤ 1))
37 hashxrcl 14321 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉𝑊 → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
3837adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
3938adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
40 1xr 11277 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ*
41 xrlenlt 11283 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑉) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
4239, 40, 41sylancl 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
4336, 42sylibd 238 . . . . . . . . 9 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴 → ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
4425, 43biimtrid 241 . . . . . . . 8 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (¬ ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏 → ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
4544con4d 115 . . . . . . 7 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
4645exp31 418 . . . . . 6 (𝑉𝑊 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐴𝑉 → (1 < (♯‘𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))))
4746com24 95 . . . . 5 (𝑉𝑊 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐴𝑉 → (𝑉 ≠ ∅ → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))))
48473imp 1109 . . . 4 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → (𝑉 ≠ ∅ → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
4948com12 32 . . 3 (𝑉 ≠ ∅ → ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
5019, 49sylbi 216 . 2 (¬ ∅ = 𝑉 → ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
5116, 50pm2.61i 182 1 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147  cfv 6542  0cc0 11112  1c1 11113  *cxr 11251   < clt 11252  cle 11253  chash 14294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-hash 14295
This theorem is referenced by:  conngrv2edg  29715  3cyclfrgrrn  29806  copisnmnd  46845
  Copyright terms: Public domain W3C validator