Theorem hashgt12el2 14217

Description: In a set with more than one element are two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hashgt12el2	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏)

Distinct variable groups:   𝑉,𝑏   𝐴,𝑏

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑏)

Proof of Theorem hashgt12el2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash0 14161	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
2		fveq2 6812	. . . 4 ⊢ (∅ = 𝑉 → (♯‘∅) = (♯‘𝑉))
3	1, 2	eqtr3id 2791	. . 3 ⊢ (∅ = 𝑉 → 0 = (♯‘𝑉))
4		breq2 5091	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑉) = 0 → (1 < (♯‘𝑉) ↔ 1 < 0))
5	4	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑉) = 0 → (1 < (♯‘𝑉) → 1 < 0))
6	5	eqcoms 2745	. . . . 5 ⊢ (0 = (♯‘𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → 1 < 0))
7		0le1 11578	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
8		0re 11057	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		1re 11055	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
10	8, 9	lenlti 11175	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
11		pm2.21 123	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 1 < 0 → (1 < 0 → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏))
12	10, 11	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 1 → (1 < 0 → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏))
13	7, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏)
14	6, 13	syl6com 37	. . . 4 ⊢ (1 < (♯‘𝑉) → (0 = (♯‘𝑉) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏))
15	14	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (0 = (♯‘𝑉) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏))
16	3, 15	syl5com 31	. 2 ⊢ (∅ = 𝑉 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏))
17		df-ne 2942	. . . 4 ⊢ (∅ ≠ 𝑉 ↔ ¬ ∅ = 𝑉)
18		necom 2995	. . . 4 ⊢ (∅ ≠ 𝑉 ↔ 𝑉 ≠ ∅)
19	17, 18	bitr3i 276	. . 3 ⊢ (¬ ∅ = 𝑉 ↔ 𝑉 ≠ ∅)
20		ralnex 3073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑉 ¬ 𝐴 ≠ 𝑏 ↔ ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏)
21		nne 2945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝐴 ≠ 𝑏 ↔ 𝐴 = 𝑏)
22		eqcom 2744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = 𝑏 ↔ 𝑏 = 𝐴)
23	21, 22	bitri 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝐴 ≠ 𝑏 ↔ 𝑏 = 𝐴)
24	23	ralbii 3093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑉 ¬ 𝐴 ≠ 𝑏 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝐴)
25	20, 24	bitr3i 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝐴)
26		eqsn 4774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 = {𝐴} ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝐴))
27	26	bicomd 222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝐴 ↔ 𝑉 = {𝐴}))
28	27	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝐴 ↔ 𝑉 = {𝐴}))
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝐴 ↔ 𝑉 = {𝐴}))
30		hashsnle1 14211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (♯‘{𝐴}) ≤ 1
31		fveq2 6812	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑉 = {𝐴} → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝐴}))
32	31	breq1d 5097	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑉 = {𝐴} → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ (♯‘{𝐴}) ≤ 1))
33	32	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑉 = {𝐴}) → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ (♯‘{𝐴}) ≤ 1))
34	30, 33	mpbiri 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑉 = {𝐴}) → (♯‘𝑉) ≤ 1)
35	34	ex 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑉 = {𝐴} → (♯‘𝑉) ≤ 1))
36	29, 35	sylbid 239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝐴 → (♯‘𝑉) ≤ 1))
37		hashxrcl 14151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
40		1xr 11114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ*
41		xrlenlt 11120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
42	39, 40, 41	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
43	36, 42	sylibd 238	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (∀𝑏 ∈ 𝑉 𝑏 = 𝐴 → ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
44	25, 43	biimtrid 241	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (¬ ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏 → ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
45	44	con4d 115	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏))
46	45	exp31 420	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ 𝑉 → (1 < (♯‘𝑉) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏))))
47	46	com24 95	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑉 ≠ ∅ → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏))))
48	47	3imp 1110	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑉 ≠ ∅ → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏))
49	48	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏))
50	19, 49	sylbi 216	. 2 ⊢ (¬ ∅ = 𝑉 → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏))
51	16, 50	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐴 ≠ 𝑏)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  ∅c0 4267  {csn 4571   class class class wbr 5087  ‘cfv 6466  0cc0 10951  1c1 10952  ℝ^*cxr 11088   < clt 11089   ≤ cle 11090  ♯chash 14124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-om 7760  df-1st 7878  df-2nd 7879  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-1o 8346  df-er 8548  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-fin 8787  df-card 9775  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-nn 12054  df-n0 12314  df-xnn0 12386  df-z 12400  df-uz 12663  df-fz 13320  df-hash 14125

This theorem is referenced by:  conngrv2edg  28695  3cyclfrgrrn  28786  copisnmnd  45628