MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgt12el2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashgt12el2 13632
Description: In a set with more than one element are two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashgt12el2 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏)
Distinct variable groups:   𝑉,𝑏   𝐴,𝑏
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑏)

Proof of Theorem hashgt12el2
StepHypRef Expression
1 hash0 13578 . . . 4 (♯‘∅) = 0
2 fveq2 6541 . . . 4 (∅ = 𝑉 → (♯‘∅) = (♯‘𝑉))
31, 2syl5eqr 2844 . . 3 (∅ = 𝑉 → 0 = (♯‘𝑉))
4 breq2 4968 . . . . . . 7 ((♯‘𝑉) = 0 → (1 < (♯‘𝑉) ↔ 1 < 0))
54biimpd 230 . . . . . 6 ((♯‘𝑉) = 0 → (1 < (♯‘𝑉) → 1 < 0))
65eqcoms 2802 . . . . 5 (0 = (♯‘𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → 1 < 0))
7 0le1 11013 . . . . . 6 0 ≤ 1
8 0re 10492 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
9 1re 10490 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
108, 9lenlti 10609 . . . . . . 7 (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
11 pm2.21 123 . . . . . . 7 (¬ 1 < 0 → (1 < 0 → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
1210, 11sylbi 218 . . . . . 6 (0 ≤ 1 → (1 < 0 → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
137, 12ax-mp 5 . . . . 5 (1 < 0 → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏)
146, 13syl6com 37 . . . 4 (1 < (♯‘𝑉) → (0 = (♯‘𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
15143ad2ant2 1127 . . 3 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → (0 = (♯‘𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
163, 15syl5com 31 . 2 (∅ = 𝑉 → ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
17 df-ne 2984 . . . 4 (∅ ≠ 𝑉 ↔ ¬ ∅ = 𝑉)
18 necom 3036 . . . 4 (∅ ≠ 𝑉𝑉 ≠ ∅)
1917, 18bitr3i 278 . . 3 (¬ ∅ = 𝑉𝑉 ≠ ∅)
20 ralnex 3199 . . . . . . . . . 10 (∀𝑏𝑉 ¬ 𝐴𝑏 ↔ ¬ ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏)
21 nne 2987 . . . . . . . . . . . 12 𝐴𝑏𝐴 = 𝑏)
22 eqcom 2801 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = 𝑏𝑏 = 𝐴)
2321, 22bitri 276 . . . . . . . . . . 11 𝐴𝑏𝑏 = 𝐴)
2423ralbii 3131 . . . . . . . . . 10 (∀𝑏𝑉 ¬ 𝐴𝑏 ↔ ∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴)
2520, 24bitr3i 278 . . . . . . . . 9 (¬ ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏 ↔ ∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴)
26 eqsn 4671 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 = {𝐴} ↔ ∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴))
2726bicomd 224 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴𝑉 = {𝐴}))
2827adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴𝑉 = {𝐴}))
2928adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴𝑉 = {𝐴}))
30 hashsnle1 13626 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘{𝐴}) ≤ 1
31 fveq2 6541 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 = {𝐴} → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝐴}))
3231breq1d 4974 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑉 = {𝐴} → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ (♯‘{𝐴}) ≤ 1))
3332adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑉 = {𝐴}) → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ (♯‘{𝐴}) ≤ 1))
3430, 33mpbiri 259 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑉 = {𝐴}) → (♯‘𝑉) ≤ 1)
3534ex 413 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (𝑉 = {𝐴} → (♯‘𝑉) ≤ 1))
3629, 35sylbid 241 . . . . . . . . . 10 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴 → (♯‘𝑉) ≤ 1))
37 hashxrcl 13568 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉𝑊 → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
3938adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
40 1xr 10549 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ*
41 xrlenlt 10555 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑉) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
4239, 40, 41sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
4336, 42sylibd 240 . . . . . . . . 9 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴 → ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
4425, 43syl5bi 243 . . . . . . . 8 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (¬ ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏 → ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
4544con4d 115 . . . . . . 7 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
4645exp31 420 . . . . . 6 (𝑉𝑊 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐴𝑉 → (1 < (♯‘𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))))
4746com24 95 . . . . 5 (𝑉𝑊 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐴𝑉 → (𝑉 ≠ ∅ → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))))
48473imp 1104 . . . 4 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → (𝑉 ≠ ∅ → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
4948com12 32 . . 3 (𝑉 ≠ ∅ → ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
5019, 49sylbi 218 . 2 (¬ ∅ = 𝑉 → ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
5116, 50pm2.61i 183 1 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2080  wne 2983  wral 3104  wrex 3105  c0 4213  {csn 4474   class class class wbr 4964  cfv 6228  0cc0 10386  1c1 10387  *cxr 10523   < clt 10524  cle 10525  chash 13540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-int 4785  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-1o 7956  df-er 8142  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-fin 8364  df-card 9217  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-nn 11489  df-n0 11748  df-xnn0 11818  df-z 11832  df-uz 12094  df-fz 12743  df-hash 13541
This theorem is referenced by:  conngrv2edg  27656  3cyclfrgrrn  27749  copisnmnd  43572
  Copyright terms: Public domain W3C validator