MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgt12el2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashgt12el2 14462
Description: In a set with more than one element are two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashgt12el2 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏)
Distinct variable groups:   𝑉,𝑏   𝐴,𝑏
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑏)

Proof of Theorem hashgt12el2
StepHypRef Expression
1 hash0 14406 . . . 4 (♯‘∅) = 0
2 fveq2 6906 . . . 4 (∅ = 𝑉 → (♯‘∅) = (♯‘𝑉))
31, 2eqtr3id 2791 . . 3 (∅ = 𝑉 → 0 = (♯‘𝑉))
4 breq2 5147 . . . . . . 7 ((♯‘𝑉) = 0 → (1 < (♯‘𝑉) ↔ 1 < 0))
54biimpd 229 . . . . . 6 ((♯‘𝑉) = 0 → (1 < (♯‘𝑉) → 1 < 0))
65eqcoms 2745 . . . . 5 (0 = (♯‘𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → 1 < 0))
7 0le1 11786 . . . . . 6 0 ≤ 1
8 0re 11263 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
9 1re 11261 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
108, 9lenlti 11381 . . . . . . 7 (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
11 pm2.21 123 . . . . . . 7 (¬ 1 < 0 → (1 < 0 → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
1210, 11sylbi 217 . . . . . 6 (0 ≤ 1 → (1 < 0 → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
137, 12ax-mp 5 . . . . 5 (1 < 0 → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏)
146, 13syl6com 37 . . . 4 (1 < (♯‘𝑉) → (0 = (♯‘𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
15143ad2ant2 1135 . . 3 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → (0 = (♯‘𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
163, 15syl5com 31 . 2 (∅ = 𝑉 → ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
17 df-ne 2941 . . . 4 (∅ ≠ 𝑉 ↔ ¬ ∅ = 𝑉)
18 necom 2994 . . . 4 (∅ ≠ 𝑉𝑉 ≠ ∅)
1917, 18bitr3i 277 . . 3 (¬ ∅ = 𝑉𝑉 ≠ ∅)
20 ralnex 3072 . . . . . . . . . 10 (∀𝑏𝑉 ¬ 𝐴𝑏 ↔ ¬ ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏)
21 nne 2944 . . . . . . . . . . . 12 𝐴𝑏𝐴 = 𝑏)
22 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = 𝑏𝑏 = 𝐴)
2321, 22bitri 275 . . . . . . . . . . 11 𝐴𝑏𝑏 = 𝐴)
2423ralbii 3093 . . . . . . . . . 10 (∀𝑏𝑉 ¬ 𝐴𝑏 ↔ ∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴)
2520, 24bitr3i 277 . . . . . . . . 9 (¬ ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏 ↔ ∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴)
26 eqsn 4829 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 = {𝐴} ↔ ∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴))
2726bicomd 223 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴𝑉 = {𝐴}))
2827adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴𝑉 = {𝐴}))
2928adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴𝑉 = {𝐴}))
30 hashsnle1 14456 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘{𝐴}) ≤ 1
31 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 = {𝐴} → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝐴}))
3231breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑉 = {𝐴} → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ (♯‘{𝐴}) ≤ 1))
3332adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑉 = {𝐴}) → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ (♯‘{𝐴}) ≤ 1))
3430, 33mpbiri 258 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑉 = {𝐴}) → (♯‘𝑉) ≤ 1)
3534ex 412 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (𝑉 = {𝐴} → (♯‘𝑉) ≤ 1))
3629, 35sylbid 240 . . . . . . . . . 10 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴 → (♯‘𝑉) ≤ 1))
37 hashxrcl 14396 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉𝑊 → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
3938adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
40 1xr 11320 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ*
41 xrlenlt 11326 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑉) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
4239, 40, 41sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
4336, 42sylibd 239 . . . . . . . . 9 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴 → ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
4425, 43biimtrid 242 . . . . . . . 8 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (¬ ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏 → ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
4544con4d 115 . . . . . . 7 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
4645exp31 419 . . . . . 6 (𝑉𝑊 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐴𝑉 → (1 < (♯‘𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))))
4746com24 95 . . . . 5 (𝑉𝑊 → (1 < (♯‘𝑉) → (𝐴𝑉 → (𝑉 ≠ ∅ → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))))
48473imp 1111 . . . 4 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → (𝑉 ≠ ∅ → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
4948com12 32 . . 3 (𝑉 ≠ ∅ → ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
5019, 49sylbi 217 . 2 (¬ ∅ = 𝑉 → ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
5116, 50pm2.61i 182 1 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143  cfv 6561  0cc0 11155  1c1 11156  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  chash 14369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370
This theorem is referenced by:  conngrv2edg  30214  3cyclfrgrrn  30305  copisnmnd  48085
  Copyright terms: Public domain W3C validator